考前归纳总结：导数中常见的分类讨论.docx

导数中的分类讨论问题
分类讨论思想就是根据所研究对象的性质差异，分各种不同的情况予以分析解决.分类讨论题覆盖知识点较多，利于考查学生的知识面、分类思想和技巧；同时方式多样，具有较高的逻辑性及很强的综合性，树立分类讨论思想，应注重理解和掌握分类的原则、方法与技巧、做到“确定对象的全体，明确分类的标准，分层别类不重复、不遗漏的分析讨论.”
一、参数引起的分类讨论
例1.：已知函数, 当时，讨论函数的单调性。

练习1：已知函数，求函数的单调区间；

二、判别式引起的分类讨论
例2：已知函数，，讨论在定义域上的单调性。

三、 二次函数对称轴与给定区间引起的分类讨论
例3：已知函数，令，若在 上单调递增，求实数的取值范围.

四、 二项系数引起的分类讨论
例4.已知函数.
(1)讨论函数的单调性；
(2)设a≤－2，求证：对任意x1，x2∈(0，＋∞)，|f(x1)－f(x2)|≥4|x1－x2|.

三、针对性练习
1.已知函数 ．
（Ⅰ）求函数的单调区间；
（Ⅱ）当时，设函数，若在区间上至少存在一个， 使得成立，试求实数的取值范围．

2.已知函数,求函数的单调区间；

3.若函数，求函数的极值点。
变式1：若函数，试讨论函数的极值存在情况。

变式2：若函数，求函数的单调区间。

变式3：若函数，求在区间[2，3]上的最小值。

三、小结：
在利用导数求函数极值、最值及单调区间等问题时，若函数中含有参数，我们需对参数进行讨论。
1）若导函数的二次项系数为参数，需对二次项系数为正、负或零进行分类讨论；
2）若需考虑判别式Δ，需对Δ>0、 Δ=0、 Δ<0进行分类讨论；
3）在求最值或单调区间时，由f’(x)=0解出的根， 需与给定区间的两个端点比较大小，进行分类讨论。
分类讨论的思想方法：就是当问题所给的对象不能进行统一研究时，就需要对研究对象按某个标准分类，然后对每一类分别研究得出第一类的结论，最后综合各类结果得到整个问题的解答，其实质是“化整为零，各个击破，再积零为整”。在分类讨论时，要注意：1、分类对象确定，标准统一；2、不重复，不遗漏；3、分层次，不越级讨论。
近些年年高考模拟题及真题：
1．已知二次函数f(x)＝ax2＋2ax＋1在区间[－3,2]上的最大值为4，则a等于(　　)
A．－3 B．－ C．3 D.或－3
2．对一切实数，不等式x2＋a|x|＋1≥0恒成立，则实数a的取值范围是(　　)
A．(－∞，－2) B．[－2，＋∞) C．[－2,2] D．[0，＋∞)
3．（2013年普通高等学校招生统一考试福建数学（理）试题）已知函数(1)当时,求曲线在点处的切线方程; (2)求函数的极值.

4．（汕头四中2014届高三数学（理））已知函数,为函数的导函数. (1)设函数f(x)的图象与x轴交点为A,曲线y=f(x)在A点处的切线方程是,求的值;(2)若函数,求函数的单调区间.

5．（广东省珠海一中等六校2014届高三上学期第二次联考数学（理）试题）已知函数(1)若函数在处的切线垂直轴,求的值;(2)若函数在区间上为增函数,求的取值范围;(3)讨论函数的单调性.

6.已知函数。（1）求的单调区间；（2）求在区间上的最小值。

7. 【浙江宁波市期末】设函数，且为的极值点．(Ⅰ) 若为的极大值点，求的单调区间（用表示）；
(Ⅱ)若恰有两解，求实数的取值范围．

8. 已知函数（Ⅰ）求函数的单调区间；
（Ⅱ）若恒成立，试确定实数k的取值范围；
（Ⅲ）证明：

导数中的分类讨论问题参考答案
例1.解： 的定义域为（0，+∞），，
当时，＞0，故在（0，+∞）单调递增；
当0＜＜1时，令=0，解得.
则当时，＞0；时，＜0.
故在单调递增，在单调递减.
练习1 解:（1）,所以,
,,由得:所以,
上为增函数；
上为增函数；在上为减函数；
例2：解：由已知得，
（1）当，时，恒成立，在上为增函数．
（2）当，时，
1)时，，在
上为减函数，在上为增函数，
2）当时，，故在上为减函数，
在[，＋∞）上为增函数．
综上，当时，在上为增函数; 当时，在上为减函数， 在上为增函数，
当a＜0时，在（0， ]上为减函数，在[＋∞）上为增函数．
例3 解：由已知得，
，
又当时，恒有，
设，其对称轴为，
(i) 当,即时，应有
解得:，所以时成立，
(ii) 当,即时，应有即:
解得，
综上：实数的取值范围是。
例4 解析：(1)f(x)的定义域为(0，＋∞)，f′(x)＝＋2ax＝.
当a≥0时，f′(x)＞0，故f(x)在(0，＋∞)上单调递增．
当a≤－1时，f′(x)＜0，故f(x)在(0，＋∞)上单调递减．
当－1＜a＜0时，令f′(x)＝0，解得x＝，
则当时，f′(x)＞0；当时，；
故在上单调递增，在上单调递减．
不妨设x1≥x2.由于a≤－2，故f(x)在(0，＋∞)上单调减少，所以|f(x1)－f(x2)|≥4|x1－x2|等价于f(x2)－f(x1)≥4x1－4x2，即f(x2)＋4x2≥f(x1)＋4x1.
令g(x)＝f(x)＋4x，则g′(x)＝＋2ax＋4＝.
于是g′(x)≤＝≤0.
从而g(x)在(0，＋∞)上单调减少，故g(x1)≤g(x2)，即f(x1)＋4x1≤f(x2)＋4x2，
故对任意x1，x2∈(0，＋∞)，|f(x1)－f(x2)|≥4|x1－x2|.

三、针对性练习
1.解：（Ι）由知：
当时，函数的单调增区间是，单调减区间是；
当时，函数的单调增区间是，单调减区间是；
（Ⅱ）令，
则.
1. 当时，由得，
从而, 所以，在上不存在使得 ；
2. 当时，,
在上恒成立，
故在上单调递增。
故只要，解得
综上所述，的取值范围是。
2.解：,
若时，则>0在（1，）恒成立，
所以的增区间（1，）.
若，故当，，
当时，，
所以a>0时的减区间为（），的增区间为［.
3.解：因为，所以
令得（舍）或
列表如下：

（0，1）
1
（1，+∞）

—
0
+

↘
极小值
↗
由上表知：是函数的极小值点。
变式1解：
法一：令，因为对称轴，所以只需考虑的正负，
当即时，在（0，+∞）上，即在（0，+∞）单调递增，无极值
当即时，在（0，+∞）是有解，所以函数存在极值。
综上所述：当时，函数存在极值；当时，函数不存在极值。
法二：令即，
当即时，，在（0，+∞）单调递增，无极值
当即时，解得：或
若则
列表如下：

（0，）

（，+∞）

—
0
+

↘
极小值
↗
由上表知：时函数取到极小值，即函数存在极小值。
若，则，所以在（0，+∞）单调递减，函数不存在极值。
综上所述，当时，函数存在极值，当时。函数不存在极值
变式2 解：
设
1°当时，因为，
若时，在上即，所以在（0，+∞）单调递减。
若时，或
列表如下：

（0，x1）
x1
（x1，x2）
x2
（x2，+∞）

—
0
+
0
—

↘
极小值
↗
极大值
↘
由上表知： 的减区间为，
增区间为：。
2°当时，即，所以在（0，2）单调递减
即，所以在（2，+∞）单调递增
3°当时，因为，4所以有一正一负两根，解得：
或
列表如下：

（0，）

（，+∞）

—
0
+

↘
极小值
↗
由上表知： 的减区间为，增区间为：。
综上所述：时，的减区间为，
增区间为：。
时， 递减区间为（0，2），递增区间为（2，+∞）
时，的递减区间为，增区间为：
变式3 解：
设，解得：或
1°当时，即，所以在（0，1）单调递增
即，所以在（1，+∞）单调递减
所以在[2，3]上单调递减，所以。
2°当时，若即时，， 即，所以递增，所以
若即时，， 即，所以递减；， 即，所以递增，
所以
若即时，， 即，所以递减，所以
综上所述：

近些年年高考模拟题及真题
1.解析：当a<0时，在x∈[－3,2]上，当x＝－1时取得最大值，得a＝－3；当a>0时，在x∈[－3,2]上，当x＝2时取得最大值，得a＝. 答案：D
2.解析：本题是不等式恒成立问题，可以构造函数，把函数转化为y＝x＋型，通过求解函数的最值得到结论．由不等式x2＋a|x|＋1≥0对一切实数恒成立．①当x＝0时，则1≥0，显然成立；②当x≠0时，可得不等式a≥－|x|－对x≠0的一切实数成立．令f(x)＝－|x|－＝－≤－2.当且仅当|x|＝1时，“＝”成立．∴f(x)max＝－2，故a≥f(x)max＝－2. 答案：B
3.解:函数的定义域为,.
(Ⅰ)当时,,, ,
在点处的切线方程为, 即.
(Ⅱ)由可知:
①当时,,函数为上的增函数,函数无极值;
②当时,由,解得;
时,,时,
在处取得极小值,且极小值为,无极大值.
综上:当时,函数无极值
当时,函数在处取得极小值,无极大值.
4. 【答案】解:(Ⅰ)∵, ∴
∵在处切线方程为, ∴, ∴,. (各1分)
(Ⅱ).

①当时,,

0

-
0
+

极小值

的单调递增区间为,单调递减区间为
②当时,令,得或
(ⅰ)当,即时,

0

-
0
+
0
-

极小值

极大值

的单调递增区间为,单调递减区间为,;
(ⅱ)当,即时,,
故在单调递减;
(ⅲ)当,即时,

0

-
0
+
0
-

极小值

极大值

在上单调递增,在,上单调递减
综上所述,当时,的单调递增区间为,单调递减区间为;
当时,的单调递增区间为,单调递减区间为
当,的单调递减区间为
当时,的单调递增区间为,单调递减区间为、
5. 【答案】解:(1)因为,故,
函数在处的切线垂直轴,所以
(2)函数在为增函数,所以当时,恒成立,分离参数得:,从而有:
(3)

令,因为函数的定义域为,所以
(1)当,即时,函数在上递减,在上递增;
(2)当,即时,函数在上递增,
在上递减,在上递增
(3)当,即时,函数在上递增;
(4)当,即时,函数在上递增,在上递减,在上递增
6. 解：（1）求导可得，函数的递增区间是，递减区间是。
（2）当时，函数在单调递增，此时函数的最小值为；
当时，由（1）可知，函数在上单调递减，在上递增，
所以在上的最小值为；当时，函数在单调递减
此时的最小值为。
7. 【解析】 ，又
所以且， …………4分
（I）因为为的极大值点，所以
当时，；当时，；当时，
所以的递增区间为，；递减区间为．…………7分
（II）①若，则在上递减，在上递增
恰有两解，则，即，所以；
②若，则，
因为，则
，从而只有一解；③若，则,, 则只有一解.综上，使恰有两解的的范围为．…………15分
8. 解:（Ⅰ）函数的定义域为，．
当时，，则在上是增函数 ；
当时，若，则；若，则．
所以在上是增函数，在上是减函数 ．
（Ⅱ）由（Ⅰ）知时，在上是增函数，
而不成立，故．
当时，由（Ⅰ）知．
要使恒成立，则即可．
故，解得．
（Ⅲ）由（Ⅱ）知，当时有在恒成立，且在上是减函数，，所以在上恒成立．
令，则，即，从而．
所以 ．
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