高三调研考试数学包含文理试题与复习资料.doc

绝密*启用前
高三调研考试
理科数学
注息事项:
1.本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷(非选择题)两部分。答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在本试卷和答题卡相应位置上。
2.问答第Ⅰ卷时。选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动.用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。写在本试卷上无效.
3.回答第Ⅱ卷时。将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效·
4.考试结束后.将本试卷和答且卡一并交回。

第Ⅰ卷
一.选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给同的四个选项中，只有一项是符合
题目要求的。
1．已知集合，，则( )
A. B. C. D.
2．设是虚数单位，若复数是纯虚数，则（ ）
A．4 B．3 C．2 D．1

3． 有一个食品商店为了调查气温对热饮销售的影响，经过调查得到关于卖出的热饮杯数
与当 天气温的数据如下表，绘出散点图如下．通过计算，可以得到对应的回归方程
，根据以上信息，判断下列结论中正确的是(　　)
摄氏温度
－5
0
4
7
12

6
热饮杯数

8

93
76
54

A.气温与热饮的销售杯数之间成正相关;
B．当天气温为2℃时，这天大约可以卖出143杯热饮;
C．当天气温为10℃时，这天恰卖出124杯热饮;
D．由于时，的值与调查数据不符，故气温与卖出 热饮杯数不存在线性相关性.

4.《九章算术》是我国古代内容极为丰富的一部数学专著，书中有如下问题：今有女子善织，日增等尺，七日织二十八尺，第二日、第五日、第八日所织之和为十五尺，则第九日所织尺数为（ )
A． B． C． D．
5.已知，则下列不等式一定成立的是（ ）
A. B. C. D.

6.右边程序框图的算法思路源于我国古代数学名著《九章算术》中的“更相减损术”，执行该程序框图，若输入分别为63，18，则输出的＝(　　)

A．27 B．18

C．9 D．3

7.如图是某几何体的三视图，则该几何体的体积为（ ）

A. 15 B.

C. D.18

8.已知直线被圆截得的弦长为，则直线的倾斜角为（ ）
A． B． C． D．

9.同一球面上的四个点A，B，C，D满足AB，AC，AD两两垂直，且AB=1， AC=2，AD=3，则该球的球心到直线AB的距离为（ ）
A． B． C． D．
10.为了研究函数的性质,某同学构造了如图所示的两个
边长为的正方形和,点是边上的一个动点,设,则.
那么,可推知方程的解的个数是（　　）
A． . B．.
C．. D．.

11.双曲线的左、右焦点分别为为坐标原点. 是双曲线在第一象限上的点，直线分别交双曲线左、右支于另一点.若, 且，则双曲线的离心率为（ ）
A. B. C. D.
12．设函数是奇函数的导函数，，当时，，则使得函数成立的x的取值范围是（ ）
A. B. C. D.

第Ⅱ卷
本卷包括必考题和选考题两部分。第13题-第21题为必考题，每个试题考生都必须作答，第22-23题为选考题，考生根据要求作答。
二．填空题：本大题共4小题，每小题5分。
13.已知向量,的夹角为120°，且向量在向量向上的投影为
14.若展开式中的常数项为，则______
15.设满足约束条件,且函数的最小值是，则实数的取值范围为
16.设是数列的前n项和，且，，则__________。

三.解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.（本小题满分12分）
在中，角的对边分别为已知
（1）求证：成等差数列； （2）若，的面积为，求.

18.（本小题满分12分）
去年冬季雾霾长时间笼罩着我国北方大部，严重影响了居民的生活。为降低雾霾气候对居民的影响，某公司研发了一种新型防雾霾产品．每一台新产品在进入市场前都必须进行两种不同的检测，只有两种检测都合格才能进行销售，否则不能销售．已知该新型防雾霾产品第一种检测不合格的概率为，第二种检测不合格的概率为，两种检测是否合格相互独立．
（1）求每台新型防雾霾产品不能销售的概率；
（2）如果产品可以销售，则每台产品可获利40元；如果产品不能销售，则每台产品亏损80元（即获利﹣80元）．现有该新型防雾霾产品3台，随机变量X表示这3台产品的获利，求X的分布列及数学期望．

19.（本小题满分12分）
在三棱锥P﹣ABC中，平面PAC⊥平面ABC，△PAC为等腰直角三角形，PA⊥PC，AC⊥BC，BC=2AC=2，M为AB的中点．
（1）求证：AC⊥PM；
（2）求PC与平面PAB所成角的正弦值；
（3）在线段PB上是否存在点N使得平面CNM⊥平面PAB？若存在，求出PN的长度，若不存在，说明理由．

20.（本小题满分12分）
已知直线，圆.在圆上任取一点,过点作轴的垂线段，为垂足。点在线段上，且,当点在圆上运动时，点的轨迹为曲线。若直线与曲线相交与两点（不是左右顶点），且以为直径的圆过曲线的右顶点。
（1） 求曲线的方程；

（2） 求证：直线过定点，并求出该定点的坐标。

21.（本小题满分12分）
已知函数.
（1）当为何值时，曲线的切线是x轴?
（2）当时，求实数的取值范围．

请考生在第22,23题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题计分，做答时请写清楚题号。
22. （本小题满分10分）
已知直线的参数方程为（为参数），在直角坐标系中，以为极点，轴正半轴为极轴建立坐标系，圆的方程为。
（1）求圆的直角坐标方程；
（2）判断直线与圆的位置关系．

23.（本小题满分10分）已知实数且.
（1） 证明：，并指出等号成立的条件；
（2） 若不等式对任意实数都成立，求实数的取值范围。

绝密*启用前
高三调研考试
文科数学
注息事项:
1.本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷(非选择题)两部分。答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在本试卷和答题卡相应位置上。
2.问答第Ⅰ卷时。选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动.用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。写在本试卷上无效.
3.回答第Ⅱ卷时。将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效·
4.考试结束后.将本试卷和答且卡一并交回。

第Ⅰ卷
一.选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给同的四个选项中，只有一项是符合
题目要求的。
1．已知集合，，则( )
A. B. C. D.
2．设是虚数单位，若复数是纯虚数，则（ ）
A．4 B．3 C．2 D．1

3.有一个食品商店为了调查气温对热饮销售的影响，经过调查得到关于卖出的热饮杯数
与当 天气温的数据如下表，绘出散点图如下．通过计算，可以得到对应的回归方程
，根据以上信息，判断下列结论中正确的是(　　)
摄氏温度
－5
0
4
7
12

6
热饮杯数

8

93
76
54

A.气温与热饮的销售杯数之间成正相关;
B．当天气温为2℃时，这天大约可以卖出143杯热饮;
C．当天气温为10℃时，这天恰卖出124杯热饮;
D．由于时，的值与调查数据不符，故气温与卖出 热饮杯数不存在线性相关性.

4. 已知向量,的夹角为120°，且向量在向量向上的投影为（ ）
A． 1 B． -1 C． D．
5.《九章算术》是我国古代内容极为丰富的一部数学专著，书中有如下问题：今有女子善织，日增等尺，七日织二十八尺，第二日、第五日、第八日所织之和为十五尺，则第九日所织尺数为（ )
A． B． C． D．

6.右边程序框图的算法思路源于我国古代数学名著《九章算术》中的“更相减损术”，执行该程序框图，若输入分别为63，18，则输出的＝(　　)

A．27 B．18

C．9 D．3

7.如图是某几何体的三视图，则该几何体最长的棱长为（ ）

A. 3 B.

C. D.4

8.已知直线被圆截得的弦长为，则直线的倾斜角为（ ）
A． B． C． D．

9．等比数列前项和为，已知，则 = （ ）

A． B． C． D．
10.同一球面上的四个点A，B，C，D满足AB，AC，AD两两垂直，且AB=1， AC=2，AD=3，则该球的球心到直线AB的距离为（ ）
A． B． C． D．
11.为了研究函数的性质,某同学构造了如图所示的两个
边长为的正方形和,点是边上的一个动点,设,则.
那么,可推知方程的解的个数是（　　）
B． . B．.
C．. D．.

12．设函数是奇函数的导函数，，当时，，则使得函数成立的x的取值范围是（ ）
A. B. C. D.

第Ⅱ卷
本卷包括必考题和选考题两部分。第13题-第21题为必考题，每个试题考生都必须作答，第22-23题为选考题，考生根据要求作答。
二．填空题：本大题共4小题，每小题5分。
13.幂函数的图像过点，则=
14.设满足约束条件,则函数的最小值是
15.已知双曲线的渐近线方程为，则此双曲线的离心率是
16.用直径为2米的圆铁皮剪去一个圆心角为的扇形，制成一个圆锥形容器，当容器的体积最大时，扇形圆心角为等于__________

三.解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.（本小题满分12分）
在中，角的对边分别为已知
（1）求证：成等差数列； （2）若，的面积为，求.

项目
数学
优秀
合格
不合格
英
语
优秀
70
30
20
合格
60
240

不合格

20
10
18. （本小题满分12分）学业水平考试后，某校对高三学生的数学、英语成绩进行了统计，结果如右表（人数）：已知英语、数学的优秀率分别为24%、30%
（注：合格人数中不包含优秀人数）．

（1）求的值；
（2）现按照英语成绩的等级，采用分层抽样的方法，从数学不合格的学生中选取6人，若再从这6人中任选2人，求这两名学生的英语成绩恰为一人优秀一人合格的概率．

19.（本小题满分12分）在三棱锥P﹣ABC中，平面PAC⊥平面ABC，△PAC为等腰直角三角形，PA⊥PC，AC⊥BC，BC=2AC=2，M为AB的中点．
（1）求证：AC⊥PM；
（2）若点N在线段PB上且CN⊥PN,求三棱锥的体积。

20.（本小题满分12分）
已知圆.在圆上任取一点,过点作轴的垂线段，为垂足。点在线段上，且,当点在圆上运动时，点的轨迹为曲线。若直线与曲线
相交与两点，且线段的中点为。
（1）求曲线的方程；

（2）求直线的方程。

21.（本小题满分12分）已知函数，其中.
（1）求曲线在点处的切线方程；
（2）当时，不等式恒成立，求实数的取值范围．

请考生在第22,23题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题计分，做答时请写清楚题号。
22.（本小题满分10分）
已知直线的参数方程为（为参数），在直角坐标系中，以为极点，轴正半轴为极轴建立坐标系，圆的方程为。
（1）求圆的直角坐标方程；
（2）判断直线与圆的位置关系．

23.（本小题满分10分）已知实数且.
（3） 证明：，并指出等号成立的条件；
（4） 若不等式对任意实数都成立，求实数的取值范围。

理数答案
一. ADBBD CADCA BB
二.
二.13.-1 14. 15. 16.
三．
17.解（1）因为，所以即。.......................................3F
所以，化简得，所以成等差数列。.........................................................6F
（2）因为的面积为，，所以，所以...8F
由余弦定理，
...........10F
由（1）知 所以，所以........................12F
18.解：（Ⅰ）（Ⅰ）记“每台新型防雾霾产品不能销售”为事件A，
则P（A）=1﹣（1﹣）（1﹣）=．
所以，该产品不能销售的概率为．..................................4F
（Ⅱ）由已知，可知X的取值为﹣240，﹣120，0，120．.................5F
P（X=﹣240）=（）3=，.......................................6F
P（X=﹣120）==，....................................7F
P（X=0）==，.......................................8F
P（X=120）=（）3=，.........................................9F
∴X的分布列为：
X
﹣240
﹣120
0
120
P

.........................10F
EX=﹣240×﹣120×+0×+120×=30．................12F
19.解:（1）证明：取AC中点O，连接OP，OM．∵PA=PC，∴PO⊥AC，
∵平面PAC⊥平面ABC，平面PAC∩平面ABC=AC，∴PO⊥平面ABC．
∵M是AB的中点，∴OM∥BC，
∵BC⊥AC，∴OM⊥AC．又OP∩OM=O，∴AC⊥平面POM，∵PM⊂平面POM，∴AC⊥PM．.....4F
（2）以O为原点，以OA，OM，OP为坐标轴建立空间直角坐标系，
则A（，0，0），C（，0，0），P（0，0，），B（，2，0）．
∴=（，0，），=（，0，1），=（-1，2，0）．
设平面PAB的法向量为=（x，y，z），则，
∴，令y=1得=（2，1，2），∴cos＜＞==﹣．
∴PC与平面PAB所成角的正弦值为．....................................8F
（3）∵M（0，1，0），∴=（，2，），=（，0，），=（，1，0）．
设线段PB上存在点N使得平面CNM⊥平面PAB．
设=（λ，2λ，λ），（0≤λ≤1）．
则==（-λ，2λ，﹣λ）．
设平面CNM的法向量为=（x，y，z），则，
∴，设y=1得=（﹣2，1，）．
∵平面CNM⊥平面PAB，∴．
即﹣4+1+=0，解得．
∴线段PB上存在点N使得平面CNM⊥平面PAB， =．
∵∴............................12F

20. 解(1)设.
∵ ∴,∴
∵点在圆上，∴，
∴即为曲线的方程。.............................4F
（2） 设,
由得，
∵，∴.
∴。......................7F
∵以为直径的圆过曲线的右顶点。
∴,∴,∴.
∴且均满足。......................10F
当时，直线则直线过定点，与已知矛盾.
当时，直线则直线过定点.
∴直线过定点，坐标为....................................12F

21解：（1）t（x）=2（ex﹣x+m），设曲线y=t（x）与x轴相切于点（x0，0），则t（x0）=0，t'（x0）=0．即即，解得x0=0，m=﹣1，
因此当m=﹣1时，x轴是曲线y=t（x）的切线． .....................4F.
（2） 先证t（x）在[0，+∞）有唯一零点．
由（1）知，当m=﹣1时，曲线y=t（x）与x轴相切于点（0，0）．
当x≥0时，t'（x）=2（ex﹣1）≥0，t（x）在[0，+∞）单调递增．
当m＜﹣1时，t（0）=2（1+m）＜0．
所以曲线y=t（x）在y轴两侧与x轴各有一个交点．
因此t（x）在[0，+∞）有唯一零点......................................7F
当x≥0时，f（x）≥0，等价于f（x）在[0，+∞）最小值大于或等于0．
首先，f（0）≥0，即2﹣m2+3≥0，解得。
当时，由知f'（x）≥f'（0）≥0．
所以f（x）在[0，+∞）内单调递增，f（x）≥f（0）≥0；...................9F
当时，f'（x）=t（x）在[0，+∞）有唯一零点，设零点是t，则et=t﹣m．
当x∈（0，t）时，f'（x）＜0；当x∈（t，+∞）时，f'（x）＞0．
所以f（x）在（0，t）上单调递减，在（t，+∞）上单调递增．
所以f（x）在[0，+∞）最小值是f（t）=2et﹣（t﹣m）2+3=﹣（et+1）（et﹣3）．
由f（t）≥0，得0＜t≤ln3．
由于m=t﹣et，
设h（x）=x﹣ex，当x∈（0，+∞）时，h'（x）=1﹣ex＜0，h（x）在（0，+∞）单调递减．
因为0＜t≤ln3，所以a=t﹣et∈[ln3﹣3，﹣1）．
综上，实数m的取值范围是..........................12F

22.解：（1）∵y=ρsinθ，x2+y2=ρ2，.............................2F
∴由ρ2﹣6ρsinθ+8=0得x2+y2﹣6y+8=0，..........................4F
即x2+（y﹣3）2=1，
则圆N的直角坐标方程是x2+（y﹣3）2=1；...........................5F
（2）∵直线的参数方程为，
∴消去参数m得，即3x+4y﹣19=0，..........................7F
则圆心C（0，3）的直线的距离d==＞1，......................9F
即直线l与圆N的位置关系是相离．......................................10F

23.解：（1）∵ ∴
∵∴
∴当且仅当“”时“=”号成立。......................5F
(2) ∵,∴即∴。
当且仅当“”时，...........................7F
∵不等式对任意实数都成立，
∴解得。.................................10F

文数答案
一.ADBBB CCDBC AB
二．13.，14.，15.，16.

三.17.解（1）因为，所以即。.......................................3F
所以，化简得，所以成等差数列。.........................................................6F
（2）因为的面积为，，所以，所以...8F
由余弦定理，
...........10F
由（1）知 所以，所以........................12F

18.解：（1）依题意，

解得。........................................6F
(2)∵∴数学不合格的学生共有60人，按照英语成绩的等级，采用分层抽样的选取6人成绩优秀为2人，记为；合格为3人，记为；不合格为,1人，记为。记“从这6人中任选2人，这两名学生的英语成绩恰为一人优秀一人合格”为事件A.则实验包含的基本事件共15个，是：,..9F
则事件A包含的基本事件共6个，是：...............10F
∴............................................................12F

19.解:（1）证明：取AC中点O，连接OP，OM．∵PA=PC，∴PO⊥AC，
∵平面PAC⊥平面ABC，平面PAC∩平面ABC=AC，∴PO⊥平面ABC．
∵M是AB的中点，∴OM∥BC，
∵BC⊥AC，∴OM⊥AC．又OP∩OM=O，∴AC⊥平面POM，∵PM⊂平面POM，∴AC⊥PM．.....6F
(2)连接BO，作NH⊥BO,垂足为H.
由（1）知PO是三棱锥P-BCM的高，∴...8F
在中，,∴
在中，∵∴,∴
易知为三棱锥N-BCM的高，∴...11F
∴.....................................12F
20.解(1)设.
∵ ∴,∴
∵点在圆上，∴，
∴即为曲线的方程。.............................4F
20.（本小题满分12分）
已知圆.在圆上任取一点,过点作轴的垂线段，为垂足。点在线段上，且,当点在圆上运动时，点的轨迹为曲线。若直线与曲线
相交与两点，且线段的中点为。
（1）求曲线的方程；

（2） 求直线的方程。
依题意直线的斜率存在，设为，∵过点，∴设方程为代入
中的

21.解：（1）g（x）=f（x）+e=x3﹣x2+e，（x＞0），
g′（x）=3x2﹣2x+e，g′（1）=1+e，g（1）=e，
∴切线方程是：y-e=1+e（x﹣1），即ex﹣y+1=0；..........................5F
（2）∵函数其中.
∴若f（x）+f（m）≥0对x∈（﹣∞，0]恒成立，
即xex+m2﹣m≥0对x∈（﹣∞，0]恒成立，
即m2﹣m≥﹣xex对x∈（﹣∞，0]恒成立，..............................7F
令h（x）=﹣xex，x∈（﹣∞，0]，
h′（x）=﹣ex（x+1），
令h′（x）＞0，解得：x＜﹣1，令h′（x）＜0，解得：﹣1＜x≤0，
∴h（x）在（﹣∞，﹣1）递增，在（﹣1，0]递减，
∴h（x）max=h（﹣1）=，
∴m2﹣m≥，.....................................................10F
解得：m≥（1+）．............................................12F
22.解：（1）∵y=ρsinθ，x2+y2=ρ2，.............................2F
∴由ρ2﹣6ρsinθ+8=0得x2+y2﹣6y+8=0，..........................4F
即x2+（y﹣3）2=1，
则圆N的直角坐标方程是x2+（y﹣3）2=1；...........................5F
（2）∵直线的参数方程为，
∴消去参数m得，即3x+4y﹣19=0，..........................7F
则圆心C（0，3）的直线的距离d==＞1，......................9F
即直线l与圆N的位置关系是相离．......................................10F

23.解：（1）∵ ∴
∵∴
∴当且仅当“”时“=”号成立。......................5F
(3) ∵,∴即∴。
当且仅当“”时，...........................7F
∵不等式对任意实数都成立，
∴解得。.................................10F

20 / 20