学生书-§9-3-简单的线性规划问题.docx

§9.3　简单的线性规划问题
(对应答案分册第30页)

1.二元一次不等式(组)表示的平面区域

不等式
表示区域
Ax+By+C>0
直线Ax+By+C=0某一侧的所有点组成的平面区域
不包括
边界直线
Ax+By+C≥0
包括
边界直线
不等式组
各个不等式所表示平面区域的公共部分

　　2.线性规划中的基本概念
(1)约束条件:由变量x,y组成的不等式(组).　
(2)线性约束条件:由x,y的一次不等式(或方程)组成的不等式(组).
(3)目标函数:欲求最大值或最小值所涉及的变量x,y的函数.
(4)线性目标函数:关于x,y的一次解析式.
(5)可行解:满足线性约束条件的解.
(6)可行域:所有可行解组成的集合.
(7)最优解:使目标函数取得最大值或最小值的可行解.
(8)线性规划问题:在线性约束条件下求线性目标函数的最大值或最小值问题.

　　1.画二元一次不等式表示的平面区域的直线定界,特殊点定域
(1)线定界:不等式中无等号时直线画成虚线,有等号时直线画成实线.

　　(2)点定域:若直线不过原点,则特殊点常选原点;若直线过原点,则特殊点常选取(0,1)或(1,0)来验证.
2.最优解和可行解的关系
最优解必定是可行解,但可行解不一定是最优解.最优解不一定唯一,有时唯一,有时有多个.

【概念辨析】
1.判断下面结论是否正确.(对的打“√”,错的打“×”)
(1)不等式Ax+By+C>0表示的平面区域一定在直线Ax+By+C=0的上方.(　　)
(2)线性目标函数的最优解可能是不唯一的.(　　)
(3)在目标函数z=ax+by(b≠0)中,z的几何意义是直线ax+by-z=0在y轴上的截距.(　　)
(4)线性目标函数取得最值的点一定在可行域的顶点或边界上.(　　)
【对接教材】
2.已知x,y满足2≤x+y≤4,-4≤x-y≤-2,则2x-y的最大值是(　　).

A.-6 B.-5 C.-1 D.0
3.4枝玫瑰花与5枝茶花的价格之和不小于22元,而6枝玫瑰花与3枝茶花的价格之和不大于24元,则2枝玫瑰花与3枝茶花的价格之差的最小值为　　　　. 
【易错自纠】
4.若不等式组x+y≥0,x-y+4≥0,x≤m(m>0)表示的平面区域的面积是9,则m的值是(　　).
A.-5 B.-1 C.1 D.5
5.变量x,y满足约束条件x+y≥0,x-2y+2≥0,mx-y≤0,若z=2x-y的最大值为2,则实数m等于　　　　. 

　二元一次不等式(组)表示的平面区域　【题组过关】
1.不等式组y≤-x+2,y≤x-1,y≥0所表示的平面区域的面积为(　　).

A.1 B.12 C.13 D.14
2.直线y=k(x+1)(k∈R)与不等式组2x+y-2≤0,2x-y-2≤0,x≥0表示的平面区域有公共点,则k的取值范围是(　　).
A.[-2,2]
B.(-∞,-2]∪[2,+∞)
C.-12,12
D.-∞,-12∪12,+∞
　　点拨　1.求平面区域面积的方法
(1)先画出不等式组表示的平面区域,若不能直接画出,则应利用题目的已知条件先转化为不等式组,再作出平面区域;
(2)对平面区域进行分析,若为三角形,则应确定底与高,若为规则的四边形(如平行四边形或梯形),可利用面积公式直接求解,若为不规则四边形,可分割成几个三角形分别求解再求和.
2.根据平面区域确定参数的方法
在含有参数的二元一次不等式组所表示的平面区域问题中,先把不含参数的平面区域确定好,然后用数形结合的方法根据参数的不同取值情况画图并观察区域的形状,最后根据要求求解,确定问题的答案.
　线性目标函数的最值　【考向变换】
　　考向1　求线性目标函数的最值
(2021年全国甲卷)若x,y满足约束条件x+y≥4,x-y≤2,y≤3,则z=3x+y的最小值为(　　).

A.18 B.10 C.6 D.4
　　点拨　求线性目标函数最值的一般步骤
(1)根据线性约束条件,画出可行域;
(2)将目标函数进行转化,确定z的几何意义;
(3)画出目标函数等于0时的直线l0,平行移动直线l0,使平移后的直线与可行域有公共点;
(4)求出最优解的坐标,代入目标函数,即可求出最值.
　　【追踪训练1】设变量x,y满足约束条件x+y-2≤0,x-y+2≥0,x≥-1,y≥-1,则目标函数z=-4x+y的最大值为(　　).
A.2 B.3 C.5 D.6
　　考向2　求非线性目标函数的最值
(2022·全国高三专题练习)设实数x,y满足x+y-3≤0,y-12x≥0,x-1≥0,则u=yx-xy的取值范围为(　　).

A.12,2 B.-23,2
C.-23,32 D.-32,32
　　点拨　画出不等式组所表示的平面区域,令yx=t,由t表示可行域内的点与原点(0,0)连线的斜率可求t的范围,再由函数u=t-1t的单调性可求其取值范围.
【追踪训练2】(2022·江西景德镇期中)已知函数f(x)=x2-x,实数x,y满足f(x)≤f(y),0≤y≤1,则4x12y的取值范围是(　　).
A.[1,4] B.[1,8]
C.[1,2] D.1,22
　　考向3　求参数值或取值范围
已知实数x,y满足y≥0,y-x+1≤0,y-2x+4≥0,若z=y-ax(a≠0)取得的最优解(x,y)有无数个,则a的值为　　　　. 
　　点拨　当目标函数含有参数时,要根据临界位置确定参数所满足的条件.
【追踪训练3】若直线y=2x上存在点(x,y),其坐标满足条件x+y-3<0,x-2y-3<0,x>m,则实数m的取值范围为　　　　. 
　线性规划的实际应用　【典例迁移】
　　(2022·大连高三模拟)快递行业的高速发展极大地满足了人们的购物需求,也提供了大量的就业岗位,出现了大批快递员.某快递公司接到甲、乙两批快件,基本数据如下表:

体积(立方
分米/件)
重量
(千克/件)
快递员工
资(元/件)
甲批
快件
20
10
8
乙批
快件
10
20
10

　　快递员小马接受派送任务.已知小马的送货车载货的最大容积为350立方分米,最大载重量为250千克,则小马一次送货可获得的最多工资为(　　).

A.150元 B.170元
C.180元 D.200元
　　点拨　解线性规划应用问题的一般步骤
审题:仔细阅读材料,抓住关键,准确理解题意,明确有哪些限制条件,借助表格或图形理清变量之间的关系.
设元:设问题中起关键作用(或关联较多)的量为未知量x,y,并列出相应的不等式组和目标函数.
作图:准确作出可行域,平移找点(最优解).
求解:代入目标函数求解(最大值或最小值).
检验:根据结果,检验反馈.

　　【追踪训练4】为了活跃学生课余生活,某校高三年级计划使用不超过1200元的资金购买单价分别为90元和120元的排球和篮球.根据需要,排球至少买3个,篮球至少买2个,并且排球的数量不得超过篮球数量的2倍,则能买排球和篮球的个数之和的最大值是　　　　. 

　常见的两种非线性目标函数及其意义
　　在非线性目标函数中,表示距离与斜率的居多,还有一些表示函数图象与可行域相交的问题,解题时需要先了解函数的图象特征,再进行分析.
已知实数x,y满足x-y-2≥0,y≥1,x≤4.
(1)求yx的最值;
(2)求y-1x+1的取值范围;
(3)求x2+y2的最值;
(4)求(x+4)2+(y-1)2的取值范围.

　　(1)点到点的距离型:形如z=(x-a)2+(y-b)2,表示区域内的动点(x,y)与定点(a,b)的距离的平方;
(2)斜率型:z=y-bx-a,表示区域内的动点(x,y)与定点(a,b)连线的斜率.

　　【突破训练】已知实数x,y满足x-y+1≤0,x>0,y≤2.
(1)若z=yx,求z的最大值和最小值,并求z的取值范围;
(2)若z=x2+y2,求z的最大值和最小值,并求z的取值范围.

链接《精练案》分册P57