学生书-§5-1-导数的概念及运算、定积分.docx

§5.1　导数的概念及运算、定积分
(对应答案分册第6~7页)

1.函数y=f(x)在x=x0处的导数
(1)定义:称函数y=f(x)在x=x0处的瞬时变化率limΔx→0f(x0+Δx)-f(x0)Δx=limΔx→0ΔyΔx为函数y=f(x)在x=x0处的导数,记作f'(x0)或y'|x=x0,即f'(x0)= limΔx→0ΔyΔx=limΔx→0f(x0+Δx)-f(x0)Δx.
(2)几何意义:函数f(x)在点x0处的导数f'(x0)的几何意义是在曲线y=f(x)上点(x0,f(x0))处的切线的斜率.相应地,切线方程为y-y0=f'(x0)(x-x0).
2.函数y=f(x)的导函数
f'(x)=limΔx→0f(x+Δx)-f(x)Δx称为函数y=f(x)的导函数.
3.基本初等函数的导数公式

基本初等函数
导函数
f(x)=c(c为常数)
f'(x)=0
f(x)=xα(α∈Q*)
f'(x)=αxα-1
f(x)=sin x
f'(x)=cos x
f(x)=cos x
f'(x)=-sin x
f(x)=ex
f'(x)=ex
f(x)=ax(a>0且a≠1)
f'(x)=axln a
f(x)=ln x
f'(x)=1x

(续表)
基本初等函数
导函数
f(x)=logax(a>0,a≠1)
f'(x)=1xlna

　　4.导数的运算法则
若f'(x),g'(x)存在,则有
(1)[f(x)±g(x)]'=f'(x)±g'(x);
(2)[f(x)·g(x)]'=f'(x)g(x)+f(x)·g'(x);
(3)f(x)g(x)'=f'(x)g(x)-f(x)g'(x)[g(x)]2(g(x)≠0).
5.复合函数的导数
复合函数y=f(g(x))的导数和函数y=f(u),u=g(x)的导数间的关系为yx'=yu'·ux'.
6.定积分的概念与几何意义
(1)定积分的定义
如果函数f(x)在区间[a,b]上连续,用分点将区间[a,b]等分成n个小区间,在每个小区间上任取一点ξi(i=1,2,…,n),作和式􀰐i=1nb-an·f(ξi),当n→+∞时,上述和式无限接近于某个常数,这个常数叫作函数f(x)在区间[a,b]上的定积分,记作ab f(x)dx,即ab f(x)dx=limn→+∞􀰐i=1nb-anf(ξi).
在ab f(x)dx中,a,b分别叫作积分下限、积分上限,区间[a,b]叫作积分区间,函数f(x)叫作被积函数,x叫作积分变量,f(x)dx叫作被积式.
(2)定积分的几何意义

f(x)
ab f(x)dx的几何意义
f(x)≥0
表示由直线x=a,x=b,y=0及曲线y=f(x)所围成的曲边梯形的面积
f(x)<0
表示由直线x=a,x=b,y=0及曲线y=f(x)所围成的曲边梯形的面积的相反数
f(x)在[a,b]
上有正有负
表示位于x轴上方的曲边梯形的面积减去位于x轴下方的曲边梯形的面积

　　7.定积分的性质
(1)ab kf(x)dx=kab f(x)dx(k为常数).
(2)ab [f1(x)±f2(x)]dx=ab f1(x)dx±ab f2(x)dx.
(3)ab f(x)dx=ac f(x)dx+cb f(x)dx(其中a<c<b).
8.微积分基本定理
一般地,如果f(x)是在区间[a,b]上的连续函数,且F'(x)=f(x),那么ab f(x)dx=F(b)-F(a).这个结论叫作微积分基本定理,又叫作牛顿—莱布尼兹公式.可以把F(b)-F(a)记为F(x) b a,即ab f(x)dx=F(x) b a=F(b)-F(a).

　　1.f'(x0)代表函数f(x)在x=x0处的导数值;(f(x0))'是函数值f(x0)的导数,且(f(x0))'=0.

　　2.1f(x)'=-f'(x)[f(x)]2.
3.曲线的切线与曲线的公共点的个数不一定只有一个,而直线与二次曲线相切只有一个公共点.
4.函数y=f(x)的导数f'(x)反映了函数f(x)的瞬时变化趋势,其正、负号反映了变化的方向,其大小|f'(x)|反映了变化的快慢,|f'(x)|越大,曲线在这点处的切线越“陡”.
5.函数f(x)在闭区间[-a,a]上连续,则有
(1)若f(x)为偶函数,则-aa f(x)dx=20a f(x)dx;
(2)若f(x)为奇函数,则-aa f(x)dx=0.

【概念辨析】
1. 判断下列结论是否正确.(对的打“√”,错的打“×”)
(1)f'(x0)是函数y=f(x)在x=x0附近的平均变化率.(　　)
(2)曲线y=f(x)在某点处的切线与曲线y=f(x)过某点的切线意义是相同的.(　　)
(3)因为(ln x)'=1x,所以1x'=ln x.(　　)
(4)设函数y=f(x)在区间[a,b]上连续,则ab f(x)dx=ab f(t)dt.(　　)
【对接教材】
2.曲线y=x3+11在点P(1,12)处的切线与y轴交点的纵坐标是(　　).

A.-9 B.-3 C.9 D.15
3.曲线y=x在点(4,2)处的切线方程为　　　. 
【易错自纠】

4.如图所示的是函数y=f(x),y=g(x)的导函数的图象,那么y=f(x),y=g(x)的图象可能是(　　).

5.曲线y=13x3-2x+3在点1,43处的切线的倾斜角α为(　　).
A.π4 B.π3 C.2π3 D.3π4

　导数的运算、定积分　【题组过关】
1.(2022·重庆月考)求下列函数的导数.
(1)y=x2sin x;
(2)y=ln x+1x;
(3)y=cosxex.

2.(1)π 0(cos x+1)dx=　　　　. 
(2)-22 |x2-2x|dx=　　　　. 
(3)01 2x+1-x2dx=　　　　. 
　　点拨　1.求函数的导数要准确地把函数分割成基本初等函数的和、差、积、商,再利用运算法则求导.
2.复合函数求导,应由外到内逐层求导,必要时要进行换元.
3.计算定积分的解题步骤
(1)把被积函数变形为基本初等函数与常数的积的和或差;
(2)把定积分变形为被积函数为基本初等函数的定积分;
(3)分别用求导公式的逆运算找到一个相应的原函数;
(4)利用微积分基本定理求出各个定积分的值,然后求其代数和.
4.根据定积分的几何意义可计算定积分.

　导数与函数的图象　【典例迁移】

　　 (2022·广西月考)设函数f(x)在定义域内可导,y=f(x)的图象如图所示,则导函数f'(x)的图象可能是(　　).

　　【变式设问】

已知函数y=f(x)的图象是下列四个图象之一,且其导函数y=f'(x)的图象如图所示,则该函数的图象是(　　).

　　点拨　解决此类导函数图象与原函数图象关系问题的关键点有两个:一是抓住原函数的增区间对应的导函数函数值为正、原函数的减区间对应的导函数函数值为负;二是抓住函数图象在每一点处的切线斜率的变化情况反映导函数图象在相应点处的变化情况.
　　【追踪训练1】(2022·四川绵阳高三开学考试)已知函数f(x)的导函数为f'(x),且y=f'(x)的图象如图所示,则下列结论一定正确的是(　　).

A.f(a)=0
B.f(x)没有极大值
C.当x=b时,f(x)有极大值
D.当x=c时,f(x)有极小值

　导数的几何意义　【考向变换】
　　考向1　求切线方程
(1)(2021年全国甲卷)曲线y=2x-1x+2在点(-1,-3)处的切线方程为　　　　　　　　. 
(2)(2022·贵州贵阳模拟)曲线y=xex+2在x=0处的切线方程为(　　).

A.x+y+2=0 B.2x+y+2=0
C.y-2=0 D.x-y+2=0
　　点拨　求切线方程时,注意区分曲线在某点处的切线和曲线过某点的切线.曲线y=f(x)在点P(x0,f(x0))处的切线方程是y-f(x0)=f'(x0)(x-x0).求曲线过某点的切线方程,需先设出切点坐标,再依据已知点在切线上求解.
【追踪训练2】(1)(2022·吉林四平模拟)曲线y=4x+sin 2x在点(0,0)处的切线方程为(　　).
A.y=2x B.y=3x
C.y=5x D.y=6x
(2)(2022·广东茂名模拟)已知f(x)为奇函数,且当x>0时,f(x)=x2-4x,则曲线y=f(x)在点(-2,f(-2))处的切线方程为(　　).
A.3x-y=0 B.3x+y-12=0
C.5x-y+8=0 D.5x+y-12=0
　　考向2　求切点坐标
设曲线y=ex在点(0,1)处的切线与曲线y=1x(x>0)在点P处的切线垂直,则点P的坐标为　　　　. 
　　点拨　求切点坐标,其一般思路是先求函数的导数,然后让导数值等于切线的斜率,从而求出切点坐标.
　　【追踪训练3】已知函数f(x)=xln x的图象在点P(x0,f(x0))处的切线与直线x+y=0垂直,则切点P的坐标为　　　　. 
　　考向3　求与切线有关的参数的取值范围(含公切线)
　　(1)函数f(x)=ln x+ax的图象存在与直线2x-y=0平行的切线,则实数a的取值范围是(　　).
A.(-∞,2] B.(-∞,2)
C.(2,+∞) D.(0,+∞)
(2)(2022·广东深圳模拟)已知函数f(x)=x2ex-2ex,若曲线y=f(x)在x=1处的切线与直线2x-ay+3=0垂直,则a=(　　).
A.-2e B.-2e C.e2 D.2e
　　点拨　处理与切线有关的参数问题,通常根据曲线、切线、切点的三个关系列出参数的方程并解出参数,解题关键:①切点处的导数是切线的斜率;②切点在切线上;③切点在曲线上.
【追踪训练4】(1)(2022·东北三省第一次联考)已知曲线f(x)=x+ax+b(x≠0)在点(1,f(1))处的切线方程为y=2x+5,则a-b=　　　　. 
(2)(2022·湖北模拟)已知函数f(x)=x2+xln x的图象在点(1,f(1))处的切线与直线x-ay-1=0平行,则实数a=　　　　. 

　求切线方程的方法
　　导数的几何意义是切点处切线的斜率,应用时主要体现在以下几个方面:
(1)已知切点A(x0,f(x0)),求斜率k,即求该点处的导数值f'(x0).
(2)已知斜率k,求切点A(x1,f(x1)),即解方程f'(x1)=k.
(3)若求过点P(x0,y0)的切线方程,可设切点为(x1,y1),由y1=f(x1),y0-y1=f'(x1)(x0-x1)求解即可.
　　(1)(2022·陕西西安模拟)曲线f(x)=x(ln x+x)+1在点(1,f(1))处的切线方程为　　　　　　　　. 
(2)若存在过点O(0,0)的直线l与曲线y=x3-3x2+2x和y=x2+a都相切,则实数a的值为　　　　. 

　　求曲线过一点的切线方程,要考虑已知点是切点和已知点不是切点两种情况:当已知点是切点时,求切线的方法与例(1)相同;当已知点不是切点时,需先设出切点坐标,再依据已知点在切线上求解即可.

　　【突破训练】(1)(2022·江苏南京模拟)函数f(x)=ln x-2x2x+1在x=1处的切线方程为　　　　　　　　. 
(2)已知函数f(x)=xln x,若直线l过点(0,-1),并且与曲线y=f(x)相切,则直线l的方程为　　　　　　　　　.