学生书-§11-1-空间向量及其运算.docx

§11.1　空间向量及其运算
(对应答案分册第35~36页)

1.空间向量的有关定理

共线向量定理
对空间任意两个向量a,b(b≠0),a∥b的充要条件是存在唯一的实数λ,使得a=λb.
共面向量定理
如果两个向量a,b不共线,那么向量p与向量a,b共面的充要条件是存在唯一的有序实数对(x,y),使得p=xa+yb.
空间向量基本定理
如果三个向量a,b,c不共面,那么对空间任一向量p,存在有序实数组{x,y,z},使得p=xa+yb+zc.其中{a,b,c}叫作空间的一个基底.

　　2.两个向量的数量积(与平面向量基本相同)
(1)两向量的夹角:已知两个非零向量a,b,在空间中任取一点O,作OA=a,OB=b,则∠AOB叫作向量a与b的夹角,记作<a,b>.通常规定,0≤<a,b>≤π.若<a,b>=π2,则称向量a,b互相垂直,记作a⊥b;若<a,b>=0或<a,b>=π,则称向量a,b互相平行,记作a∥b.
(2)两向量的数量积
两个非零向量a,b的数量积a·b=|a|·|b|cos<a,b>.

　　(3)向量的数量积的性质
①a·e=|a|cos<a,e>(其中e为单位向量);
②a⊥b⇔a·b=0;
③|a|2=a·a=a2;
④|a·b|≤|a||b|.
(4)向量的数量积满足如下运算律
①(λa)·b=λ(a·b);
②a·b=b·a(交换律);
③a·(b+c)=a·b+a·c(分配律).
3.空间向量的坐标运算
(1)设a=(a1,a2,a3),b=(b1,b2,b3),则
a+b=(a1+b1,a2+b2,a3+b3),
a-b=(a1-b1,a2-b2,a3-b3),
λa=(λa1,λa2,λa3),
a·b=a1b1+a2b2+a3b3,
a⊥b⇔a1b1+a2b2+a3b3=0,
a∥b⇔a1=λb1,a2=λb2,a3=λb3(λ∈R),
cos<a,b>=a·b|a||b|
=a1b1+a2b2+a3b3a12+a22+a32·b12+b22+b32.
(2)设A(x1,y1,z1),B(x2,y2,z2),
则AB=OB-OA=(x2-x1,y2-y1,z2-z1).

　　(1)注意向量夹角与两直线夹角的区别.
(2)共线向量定理中a∥b⇔存在唯一的实数λ∈R,使a=λb,易忽视b≠0的情况.
(3)共面向量定理中,注意有序实数对(x,y)是唯一存在的.
(4)向量的数量积满足交换律、分配律,但不满足结合律,即(a·b)·c=a·(b·c)不一定成立.

【概念辨析】
1.判断下面结论是否正确.(对的打“√”,错的打“×”)
(1)空间中任意两非零向量a,b共面.(　　)
(2)在向量的数量积运算中(a·b)·c=a·(b·c).(　　)
(3)对于非零向量b,由a·b=b·c,得a=c.(　　)
(4)若{a,b,c}是空间的一个基底,则a,b,c中至多有一个零向量.(　　)
【对接教材】
2.如图,在四面体OABC中,OA⊥BC,OB⊥AC,试判断OC与AB的关系.

3.下列命题:
①若A,B,C,D是空间中任意四点,则有AB+BC+CD+DA=0;
②|a|-|b|=|a+b|是a,b共线的充要条件;
③若a,b共线,则a与b所在的直线平行;
④对空间任意一点O与不共线的三点A,B,C,若OP=xOA+yOB+zOC(其中x,y,z∈R),则P,A,B,C四点共面.
其中假命题的个数是(　　).

A.1 B.2 C.3 D.4
【易错自纠】
4.

已知空间四边形OABC,其对角线为OB,AC,M,N分别是边OA,CB的中点,点G在线段MN上,且MG=2GN,则用向量OA,OB,OC表示向量OG正确的是(　　).
A.OG=OA+23OB+23OC
B.OG=12OA+23OB+23OC
C.OG=16OA+13OB+13OC
D.OG=16OA+13OB+23OC
5.(2022·沧县月考)下列四个结论正确的是(　　).
A.对于任意向量a,b,若a·b=0,则<a,b>=π2
B.若空间中点O,A,B,C满足OC=13OA+23OB,则A,B,C三点共线
C.空间中任意向量a,b,c都满足(a·b)·c=a·(b·c)
D.已知向量a=(1,1,x),b=(-2,x,4),若x<25,则<a,b>为钝角

　空间向量的线性运算　【题组过关】
1.

如图,在长方体ABCD-A1B1C1D1中,O为AC的中点.
(1)化简:A1O-12AB-12AD=　　　　. 
(2)用AB,AD,AA1表示OC1,则OC1=　　　　. 
2.如图所示,在平行六面体ABCD-A1B1C1D1中,设AA1=a,AB=b,AD=c,M,N,P分别是AA1,BC,C1D1的中点,试用a,b,c表示以下各向量:
(1)AP;(2)A1N;(3)MP+NC1.

　　点拨　用已知向量表示未知向量的解题策略
(1)用已知向量来表示未知向量,一定要结合图形,以图形为指导是解题的关键.
(2)要正确理解向量加法、减法与数乘运算的几何意义.首尾相接的若干向量之和,等于由起始向量的始点指向末尾向量的终点的向量,我们可把这个法则称为向量加法的多边形法则.
(3)在立体几何中要灵活应用三角形法则,向量加法的平行四边形法则在空间中仍然成立.

　共线、共面向量定理的应用　【题组过关】
1.已知E,F,G,H分别是空间四边形ABCD的边AB,BC,CD,DA的中点,用向量方法求证:
(1)E,F,G,H四点共面;
(2)BD∥平面EFGH.

2.如图所示,已知斜三棱柱ABC-A1B1C1,点M,N分别在AC1,BC上,且满足AM=kAC1,BN=kBC(0≤k≤1).判断向量MN是否与向量AB,AA1共面.

　　点拨　在求一个向量由其他向量来表示时,通常是利用向量的三角形法则、平行四边形法则和共线向量的特点,把要求的向量逐步分解,向已知向量靠近.常见的向量处理方法见下表:
三点(P,A,B)共线
空间四点(M,P,A,B)共面
PA=λPB且同过点P
MP=xMA+yMB
对空间任意一点O,OP=OA+tAB
对空间任意一点O,OP=OM+xMA+yMB
对空间任意一点O,OP=xOA+(1-x)OB
对空间任意一点O,OP=xOM+yOA+(1-x-y)OB

　空间数量积及应用　【典例迁移】
　　如图所示,已知三棱锥A-BCD的每条棱长都为1,E,F,G分别是AB,AD,CD的中点,计算:
(1)EF·BA;(2)EG·BD.

　　【变式设问】在本例条件下,求证:EG⊥AB.

　　点拨　(1)空间向量数量积的计算方法
①定义法:设向量a,b的夹角为θ,则a·b=|a||b|·cos θ.
②坐标法:设a=(x1,y1,z1),b=(x2,y2,z2),则a·b=x1x2+y1y2+z1z2.
(2)数量积的应用
①求夹角:设向量a,b所成的角为θ,则cos θ=a·b|a||b|,进而可求出两异面直线所成的角.
②求长度(距离):运用公式|a|2=a·a,可使线段长度的计算问题转化为向量数量积的计算问题.
③解决垂直问题:利用a⊥b⇔a·b=0(a≠0,b≠0),可将垂直问题转化为向量数量积的计算问题.
　　【追踪训练】如图,建立空间直角坐标系O-xyz.正方体ABCD-A'B'C'D'的棱长为1,顶点A位于坐标原点,其中点B(1,0,0),点D(0,1,0),点A'(0,0,1).

(1)若E是棱B'C'的中点,F是棱B'B的中点,G是侧面CDD'C'的中心,分别求出向量OE,OG,FG的坐标;
(2)在(1)的条件下,分别求出(OE+OG)·FG,|EG|的值.

　利用空间向量求距离和异面直线的夹角
　　如图所示,已知空间四边形ABCD的每条边和对角线长都等于1,E,F,G分别是AB,AD,CD的中点,计算:
(1)EG的长;
(2)异面直线AG与CE所成角的余弦值.

　　(1)利用空间向量数量积求夹角:设向量a,b所成的角为θ,则cos θ=a·b|a||b|,进而可求两异面直线所成的角.
(2)利用空间向量数量积求长度(距离):运用公式|a|2=a·a,可使线段长度的计算问题转化为向量数量积的计算问题.

　　【突破训练】如图,已知平行六面体ABCD-A1B1C1D1中,底面ABCD是边长为1的正方形,AA1=2,∠A1AB=∠A1AD=120°.
(1)求线段AC1的长.
(2)求异面直线AC1与A1D所成角的余弦值.
(3)求证:AA1⊥BD.

链接《精练案》分册P75