极限习题课.ppt

单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,极限,习题课,左右极限,两个重要,极限,求极限的常用方法,无穷小,的性质,极限存在的,充要条件,判定极限,存在的准则,无穷小的比较,极限的性质,数列极限,函 数 极 限,等价无穷小,及其性质,无穷小,两者的,关系,无穷大,1.,极限的定义,定义,设有数列 ，及常数,.,若 使得,当 时，,恒有,成立，则称 是 当 时,的极限，记为 或 否则，,就说 不是 的极限，可记为,.,左极限,右极限,2,、函数极限的性质,（,1,）有界性,（,2,）唯一性,推论,（,3,）不等式性质,定理,(,保序性,),定理,(,保号性,),推论,（,4,）子列收敛性,(,函数极限与数列极限的关系,),定义,定理,无穷小,:,极限为零的变量称为,无穷小,.,绝对值无限增大的变量称为,无穷大,.,无穷大,:,在同一过程中,无穷大的倒数为无穷小,;,恒不为零的无穷小的倒数为无穷大,.,无穷小与无穷大的关系,3.,无穷小与无穷大,定理,1,在同一过程中,有限个无穷小的代数和仍是无穷小,.,定理,2,有界函数与无穷小的乘积是无穷小,.,推论,1,在同一过程中,有极限的变量与无穷小的乘积是无穷小,.,推论,2,常数与无穷小的乘积是无穷小,.,推论,3,有限个无穷小的乘积也是无穷小,.,4.,无穷小的运算性质,定理,推论,1,推论,2,5.,极限的四则运算性质,6.,求极限的几种常用方法,a.,多项式与分式函数代入法求极限,;,b.,消去零因子法求极限,;,c.,无穷小因子分出法求极限,;,d.,利用无穷小运算性质求极限,;,e.,利用左右极限求分段函数极限,.,7.,判定极限存在的准则,(,迫敛准则,),(1),(2),两个重要极限,定义,:,8.,无穷小的比较,定理,(,等价无穷小替换定理,),等价无穷小的性质,左右连续,在区间,a,b,上连续,连续函数,的 性 质,初等函数,的连续性,间断点定义,连 续 定 义,连续的,充要条件,连续函数的,运算性质,非初等函数,的连续性,振荡间断点,无穷间断点,跳跃间断点,可去间断点,第一类,第二类,连续的概念,1.,连续的定义,定理,连续的充要条件,2.,单侧连续,3.,间断点的定义,(1),跳跃间断点,(2),可去间断点,4.,间断点的分类,跳跃间断点与可去间断点统称为,第一类间断点,.,特点,:,可去型,第一类间断点,跳跃型,0,y,x,0,y,x,0,y,x,无穷型,振荡型,第二类间断点,0,y,x,第二类间断点,5.,闭区间的连续性,连续性的运算性质,定理,定理,严格单调的连续函数必有严格单调的连续反函数,.,定理,21,、初等函数的连续性,定理,定理,基本初等函数在定义域内是连续的,.,定理,一切初等函数在其,定义区间,内都是连续的,.,定义区间是指包含在定义域内的区间,.,闭区间上连续函数的性质,定理,(,最大值和最小值定理,),在闭区间上连续的函数一定有最大值和最小值,.,定理,(,有界性定理,),在闭区间上连续的函数一定在该区间上有界,.,推论,在闭区间上连续的函数必取得介于最大值,M,与最小值,m,之间的任何值,.,二,、复习题，例题,1.,填空题：,解,2.,选择题,A,3.,求下列极限：,极限解答：,4.,指出函数 的间断点,及其类型，并画出 的图形。,即,故有：第一类间断点,(,跳跃间断点,),及 （可去间断点,),；,第二类间断点,(,无穷型间断点,),。,证 令 则 又,故当 时，有 ，于是,使得 当 时，有,*9.,证明,证 设,由夹逼准则得,10.,解,将分子、分母同乘以因子,(1,-,x,),则,*11.,解,12.,证明,讨论,:,由零点定理知,综上,13,14,解,