第九章-§9-2-两条直线的位置关系.docx

9.2两条直线的位置关系考试要求1.能根据斜率判定两条直线平行或垂直.2.能用解方程组的方法求两条直线的交点坐标.3.掌握平面上两点间的距离公式、点到直线的距离公式，会求两条平行直线间的距离知识梳理1两条直线的位置关系平面内两条直线的位置关系包括平行、相交、重合三种情况(1)两条直线平行对于直线l1：yk1xb1，l2：yk2xb2，l1l2k1k2，且b1b2.对于直线l1：A1xB1yC10，l2：A2xB2yC20，l1l2A1B2A2B10，且B1C2B2C10(或A1C2A2C10)(2)两条直线垂直对于直线l1：yk1xb1，l2：yk2xb2，l1l2k1k21.对于直线l1：A1xB1yC10，l2：A2xB2yC20，l1l2A1A2B1B20.2三种距离公式(1)两点间的距离公式条件：点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)结论：|P1P2|.特例：点P(x，y)到原点O(0,0)的距离|OP|.(2)点到直线的距离点P(x0，y0)到直线l：AxByC0的距离d.(3)两条平行直线间的距离两条平行直线l1：AxByC10与l2：AxByC20之间的距离d.常用结论1直线系方程(1)与直线AxByC0平行的直线系方程是AxBym0(mR且mC)(2)与直线AxByC0垂直的直线系方程是BxAyn0(nR)(3)过直线l1：A1xB1yC10与l2：A2xB2yC20的交点的直线系方程为A1xB1yC1(A2xB2yC2)0(R)，但不包括l2.2五种常用对称关系(1)点(x，y)关于原点(0,0)的对称点为(x，y)(2)点(x，y)关于x轴的对称点为(x，y)，关于y轴的对称点为(x，y)(3)点(x，y)关于直线yx的对称点为(y，x)，关于直线yx的对称点为(y，x)(4)点(x，y)关于直线xa的对称点为(2ax，y)，关于直线yb的对称点为(x,2by)(5)点(x，y)关于点(a，b)的对称点为(2ax,2by)思考辨析判断下列结论是否正确(请在括号中打“”或“”)(1)当直线l1和l2斜率都存在时，一定有k1k2l1l2.()(2)若两直线的方程组成的方程组有解，则两直线相交()(3)点P(x0，y0)到直线ykxb的距离为.()(4)直线外一点与直线上点的距离的最小值就是点到直线的距离()教材改编题1点A(2,5)到直线l：x2y30的距离为()A2 B. C. D.答案C解析点A(2,5)到直线l：x2y30的距离为d.2直线2x(m1)y40与直线mx3y20平行，则m等于()A2 B3C2或3 D2或3答案C解析直线2x(m1)y40与直线mx3y20平行，则有(m0)，故m2或3.3直线l1：2xy10和l2：x2y70的交点的坐标为_答案(1,3)解析解方程组得所以两条直线交点的坐标为(1,3).题型一两条直线的平行与垂直例1(1)(2022汉中模拟)已知直线l1：ax(a2)y10，l2：xay20(aR)，则“ea”是“l1l2”的()A充分不必要条件B必要不充分条件C充要条件D既不充分也不必要条件答案A解析当l1l2时，解得a1或a2.而由ea，解得a1，所以“ea”是“l1l2”的充分不必要条件(2)(2022长春模拟)已知直线l经过点(1，1)，且与直线2xy50垂直，则直线l的方程为()A2xy10 Bx2y30Cx2y10 D2xy30答案C解析直线l与直线2xy50垂直，设直线l的方程为x2yc0，直线l经过点(1，1)，12c0，即c1.直线l的方程为x2y10.教师备选1“m3”是“直线l1：2(m1)x(m3)y75m0与直线l2：(m3)x2y50垂直”的()A充分不必要条件B必要不充分条件C充要条件D既不充分也不必要条件答案A解析由l1l2，得2(m1)(m3)2(m3)0，m3或m2，“m3”是“l1l2”的充分不必要条件2已知三条直线2x3y10,4x3y50，mxy10不能构成三角形，则实数m的取值集合为()A. B.C. D.答案D解析由题意得直线mxy10与2x3y10或4x3y50平行，或者直线mxy10过2x3y10与4x3y50的交点当直线mxy10与2x3y10或4x3y50平行时，m或m；当直线mxy10过2x3y10与4x3y50的交点时，m.所以实数m的取值集合为.思维升华判断两条直线位置关系的注意点(1)斜率不存在的特殊情况(2)可直接利用直线方程系数间的关系得出结论跟踪训练1(1)(2022洛阳模拟)数学家欧拉在1765年提出定理：三角形的外心、重心、垂心依次位于同一直线上，且重心到外心的距离是重心到垂心距离的一半这条直线被后人称为三角形的欧拉线，已知ABC的顶点A(2,0)，B(1,2)，且ACBC，则ABC的欧拉线的方程为()Ax2y40 B2xy40C4x2y10 D2x4y10答案D解析由题设，可得kAB2，且AB的中点为，AB垂直平分线的斜率k，故AB的垂直平分线方程为y1，ACBC，则ABC的外心、重心、垂心都在AB的垂直平分线上，ABC的欧拉线的方程为2x4y10.(2)已知两直线l1：xysin 10和l2：2xsin y10.若l1l2，则_.答案k，kZ解析由A1B2A2B10，得12sin20，所以sin .又A1C2A2C10，所以12sin 0，即sin .所以k，kZ.故当k，kZ时，l1l2.题型二两直线的交点与距离问题例2(1)两条平行直线2xy30和ax3y40间的距离为d，则a，d的值分别为()Aa6，d Ba6，dCa6，d Da6，d答案B解析由题知23a，解得a6，又6x3y40可化为2xy0，d.(2)已知直线经过点(1,2)，并且与点(2,3)和(0，5)的距离相等，则此直线的方程为_答案4xy20或x1解析若所求直线的斜率存在，则可设其方程为y2k(x1)，即kxyk20，由题设有，即|k1|7k|，解得k4.此时直线方程为4xy20.若所求直线的斜率不存在，则直线方程为x1，满足题设条件故所求直线的方程为4xy20或x1.教师备选1经过两直线l1：x2y40和l2：xy20的交点P，且与直线l3：3x4y50垂直的直线l的方程为_答案4x3y60解析由方程组得即P(0,2)因为ll3，所以直线l的斜率k，所以直线l的方程为y2x，即4x3y60.2直线l1经过点(3,0)，直线l2经过点(0,4)，且l1l2，d表示l1和l2之间的距离，则d的取值范围是_答案(0,5解析当直线l1，l2都与过(3,0)，(0,4)两点的直线垂直时，dmax5；当直线l1和l2都经过(3,0)，(0,4)两点时，两条直线重合所以0d5.思维升华利用距离公式应注意的点(1)点P(x0，y0)到直线xa的距离d|x0a|，到直线yb的距离d|y0b|.(2)两条平行线间的距离公式要把两条直线方程中x，y的系数化为相等跟踪训练2(1)若P，Q分别为直线3x4y120与6x8y50上任意一点，则|PQ|的最小值为()A. B. C. D.答案C解析因为，所以两直线平行，将直线3x4y120化为6x8y240，由题意可知|PQ|的最小值为这两条平行直线间的距离，即，所以|PQ|的最小值为.(2)点(0，1)到直线yk(x1)距离的最大值为()A1 B. C. D2答案B解析由yk(x1)可知直线过定点P(1,0)，设A(0，1)，当直线yk(x1)与AP垂直时，点A到直线yk(x1)的距离最大，即为|AP|.题型三对称问题命题点1点关于点中心对称例3过点P(0,1)作直线l，使它被直线l1：2xy80和l2：x3y100截得的线段被点P平分，则直线l的方程为_答案x4y40解析设l1与l的交点为A(a,82a)，则由题意知，点A关于点P的对称点B(a,2a6)在l2上，代入l2的方程得a3(2a6)100，解得a4，即点A(4,0)在直线l上，所以直线l的方程为x4y40.命题点2点关于直线对称例4若将一张坐标纸折叠一次，使得点(0,2)与点(4,0)重合，点(7,3)与点(m，n)重合，则mn_.答案解析由题可知纸的折痕应是点(0,2)与点(4,0)连线的垂直平分线，即直线y2x3，它也是点(7,3)与点(m，n)连线的垂直平分线，于是解得故mn.命题点3线关于线对称例5直线2x4y10关于xy0对称的直线方程为()A4x2y10 B4x2y10C4x2y10 D4x2y10答案A解析设直线2x4y10上一点P(x0，y0)关于直线xy0对称的点的坐标为P(x，y)，则整理可得2y4x10，即直线2x4y10关于xy0对称的直线方程为4x2y10.教师备选1.在等腰直角三角形ABC中，ABAC4，点P是边AB上异于A，B的一点光线从点P出发，经BC，CA反射后又回到点P(如图所示)若光线QR经过ABC的重心，则AP的长度为()A2 B1 C. D.答案D解析以A为原点，AB所在直线为x轴，AC所在直线为y轴，建立如图所示的平面直角坐标系，由题意可知B(4,0)，C(0,4)，A(0,0)，则直线BC的方程为xy40.设P(t,0)(0t0)上，则点P到直线3x4y20的距离的最小值为()A. B1 C. D.答案C解析设点P(x0，y0)，yf(x)x(x0)，则f(x0)1，点P与直线3x4y20的最小距离，即为f(x)在点P处的切线的斜率等于直线3x4y20的斜率时的情况，即满足1，解得x02，所以y02，所以点P，所以点P到直线3x4y20的距离的最小值为d.14若两条平行直线l1：x2ym0(m0)与l2：2xny60之间的距离是2，则直线l1关于直线l2对称的直线方程为()Ax2y130 Bx2y20Cx2y40 Dx2y60答案A解析因为直线l1：x2ym0(m0)与l2：2xny60平行，所以n224，又两条平行直线l1：x2ym0(m0)与l2：2xny60之间的距离是2，所以2，解得m7，即直线l1：x2y70，l2：x2y30，设直线l1关于直线l2对称的直线方程为x2yc0，则，解得c13，故所求直线方程为x2y130.15定义点P(x0，y0)到直线l：axbyc0(a2b20)的有向距离为d.已知点P1，P2到直线l的有向距离分别是d1，d2.以下命题正确的是()A若d1d21，则直线P1P2与直线l平行B若d11，d21，则直线P1P2与直线l垂直C若d1d20，则直线P1P2与直线l垂直D若d1d20，则直线P1P2与直线l相交答案A解析设P1(x1，y1)，P2(x2，y2)，对于A，若d1d21，则ax1by1cax2by2c，直线P1P2与直线l平行，正确；对于B，点P1，P2在直线l的两侧且到直线l的距离相等，直线P1P2不一定与l垂直，错误；对于C，若d1d20，满足d1d20，即ax1by1cax2by2c0，则点P1，P2都在直线l上，所以此时直线P1P2与直线l重合，错误；对于D，若d1d20，即(ax1by1c)(ax2by2c)0，所以点P1，P2分别位于直线l的两侧或在直线l上，所以直线P1P2与直线l相交或重合，错误16(2022武汉调研)台球运动已有五、六百年的历史，参与者用球杆在台上击球若和光线一样，台球在球台上碰到障碍物后也遵从反射定律如图，有一张长方形球台ABCD，AB2AD，现从角落A沿角的方向把球打出去，球经2次碰撞球台内沿后进入角落C的球袋中，则tan 的值为()A.或 B.或1C.或 D1或答案C解析如图1，作A关于DC的对称点为E，D关于AB的对称点为G，C关于AB的对称点为F，连接GF，EF，由题可得tan .图1图2如图2，作A关于BC的对称点为G，B关于AD的对称点为F，C关于AD的对称点为E，连接EF，EG，由题可得tan .综上，tan 的值为或.