学生书-§12-2--两条直线的位置关系.docx

12.2两条直线的位置关系(对应答案分册第43页)1.两条直线平行与垂直的判定(1)两条直线平行对于两条不重合的直线l1,l2,若其斜率分别为k1,k2,则有l1l2k1=k2.当直线l1,l2不重合且斜率都不存在时,l1l2.(2)两条直线垂直若两条直线l1,l2的斜率存在,设为k1,k2,则有l1l2k1k2=-1.当其中一条直线的斜率不存在,而另一条直线的斜率为0时,l1l2.在判定两条直线平行或垂直时,应注意不要忽略了一条直线或两条直线斜率不存在的情形.2.两条直线的交点的求法若直线l1:A1x+B1y+C1=0,直线l2:A2x+B2y+C2=0,则直线l1与l2的交点坐标就是方程组A1x+B1y+C1=0,A2x+B2y+C2=0的解.3.三种距离关系(1)两点P1(x1,y1),P2(x2,y2)之间的距离|P1P2|=(x2-x1)2+(y2-y1)2.(2)点P0(x0,y0)到直线l:Ax+By+C=0的距离d=|Ax0+By0+C|A2+B2.(3)两条平行线Ax+By+C1=0与Ax+By+C2=0(其中C1C2)间的距离d=|C1-C2|A2+B2.在利用两条平行线间的距离公式时,需要先将两条平行线方程化为x,y的系数对应相等的一般式.1.与直线Ax+By+C=0(A2+B20)垂直或平行的直线方程可设为:垂直:Bx-Ay+m=0;平行:Ax+By+n=0(nC).2.与对称问题相关的四个结论:点(x,y)关于点(a,b)的对称点为(2a-x,2b-y).点(x,y)关于直线x=a的对称点为(2a-x,y),关于直线y=b的对称点为(x,2b-y).点(x,y)关于直线y=x的对称点为(y,x),关于直线y=-x的对称点为(-y,-x).点(x,y)关于直线x+y=k的对称点为(k-y,k-x),关于直线x-y=k的对称点为(k+y,x-k).【概念辨析】1.判断下面结论是否正确.(对的打“”,错的打“”)(1)当直线l1和l2斜率都存在时,一定有k1=k2l1l2.()(2)已知直线l1:A1x+B1y+C1=0,l2:A2x+B2y+C2=0(A1,B1,C1,A2,B2,C2为常数),若直线l1l2,则A1A2+B1B2=0.()(3)如果两条直线l1与l2垂直,那么它们的斜率之积一定等于-1.()(4)若两直线的方程组成的方程组有唯一解,则两直线相交.()【对接教材】2.已知点P(-3,m),Q(m,5),且直线PQ垂直于直线x+y+1=0,则m=.3.已知点(a,2)(a0)到直线l:x-y+3=0的距离为1,则a=(). A.2B.2-2C.2-1D.2+1【易错自纠】4.若两直线(3a+2)x+(1-4a)y+8=0与(5a-2)x+(a+4)y-7=0垂直,则a=.5.直线2x+2y+1=0与直线x+y+2=0之间的距离是.两条直线的位置关系【题组过关】1.(2022山东临沂月考)已知过点A(-2,m)和点B(m,4)的直线为l1,直线2x+y-1=0为l2,直线x+ny+1=0为l3.若l1l2,l2l3,则实数m+n的值为().A.-10B.-2C.0D.82.已知三条直线l1:2x-3y+1=0,l2:4x+3y+5=0,l3:mx-y-1=0不能构成三角形,则实数m的取值集合为().A.-43,23B.43,-23C.-43,23,43D.-43,-23,233.已知两直线l1:mx+8y+n=0和l2:2x+my-1=0,试确定m,n的值(或取值范围),使(1)l1与l2相交于点P(m,-1);(2)l1l2;(3)l1l2,且l1在y轴上的截距为-1.点拨1.已知两直线的斜率都存在,判断两直线平行或垂直的方法(1)两直线平行两直线的斜率相等且在坐标轴上的截距不相等;(2)两直线垂直两直线的斜率之积等于-1.提醒:当直线斜率不确定时,要注意斜率不存在的情况.2.由一般式确定两直线位置关系的方法直线方程l1:A1x+B1y+C1=0(A12+B120),l2:A2x+B2y+C2=0(A22+B220)l1与l2平行的充要条件A1A2=B1B2C1C2(A2B2C20)l1与l2垂直的充要条件A1A2+B1B2=0l1与l2相交的充要条件A1A2B1B2(A2B20)l1与l2重合的充要条件A1A2=B1B2=C1C2(A2B2C20)两条直线的交点与距离问题【典例迁移】 (1)若三条直线y=2x,x+y=3,mx+ny+5=0相交于同一点,则点(m,n)与原点之间的距离的最小值为(). A.5B.6C.23D.25(2)若过点P(1,2)作一直线l,使直线l与点M(2,3)和点N(4,-5)的距离相等,则直线l的方程为.点拨距离问题的常见题型及解题策略(1)求两点间的距离的关键是确定两点的坐标,然后代入公式即可,一般用来判断三角形的形状等.(2)解决与点到直线的距离有关的问题应熟记点到直线的距离公式,若已知点到直线的距离求直线方程,一般考虑待定斜率法,此时必须讨论斜率是否存在.(3)求两条平行线间的距离要先将直线方程中x,y的对应项系数转化成相等的形式,再利用距离公式求解,也可以转化成点到直线的距离问题.【追踪训练1】(2022山东威海月考)已知两条平行直线l1:mx+8y+n=0与l2:2x+my-1=0间的距离为5,则直线l1的方程为.对称问题【考向变换】考向1 点关于点的对称过点P(0,1)作直线l使它被直线l1:2x+y-8=0和直线l2:x-3y+10=0截得的线段被点P平分,则直线l的方程为.点拨点关于点对称的求解方法若点M(x1,y1)和点N(x,y)关于点P(a,b)对称,则由中点坐标公式得x=2a-x1,y=2b-y1,进而求解.【追踪训练2】将一张坐标纸折叠一次,使得点(0,2)与点(4,0)重合,点(7,3)与点(m,n)重合,则m+n=(). A.345B.10C.367D.5考向2点关于直线的对称在等腰RtABC中,|AB|=|AC|=4,P是边AB上异于点A,B的一点.光线从点P出发,经BC,CA反射后又回到点P(如图).若光线QR经过ABC的重心,则|AP|为().A.2B.1C.83 D.43点拨点关于直线对称的解题方法若两点P1(x1,y1)与P2(x2,y2)关于直线l:Ax+By+C=0对称,则由方程组Ax1+x22+By1+y22+C=0,y2-y1x2-x1-AB=-1可得到点P1关于直线l对称的点P2的坐标(x2,y2)(其中B0,x1x2).【追踪训练3】已知入射光线经过点M(-3,4),被直线l:x-y+3=0反射,反射光线经过点N(2,6),则反射光线所在直线的方程为.考向3直线关于直线的对称直线2x-y+3=0关于直线x-y+2=0对称的直线方程是.点拨直线关于直线的对称可转化为点关于直线的对称问题来解决.【追踪训练4】直线l:x-y-2=0关于直线3x-y+3=0对称的直线方程是.直线系方程在求解直线方程的题目中,可采用设直线系方程的方式简化运算,常见的直线系有平行直线系、垂直直线系和过直线交点的直线系.角度一:平行直线系的直线方程求与直线3x+4y+1=0平行且过点(1,2)的直线l的方程.因为所求直线与直线3x+4y+1=0平行,所以可设该直线方程为3x+4y+c=0(c1).【突破训练1】求过点A(1,-4)且与直线2x+3y+5=0平行的直线方程.角度二:垂直直线系的直线方程求经过点A(2,1)且与直线2x+y-10=0垂直的直线l的方程.依据两直线垂直的特征设出方程,再由待定系数法求解.【突破训练2】已知直线l过点A(2,-3),若直线l与直线y=-2x+5垂直,求直线l的方程.角度三:过直线交点的直线系的直线方程经过两条直线2x+3y+1=0和x-3y+4=0的交点,并且垂直于3x+4y-7=0的直线方程为.可以分别求出直线l1与l2的交点坐标及所求直线的斜率k,直接写出方程;也可以根据垂直关系设出所求方程,再把交点坐标代入求解;还可以利用过交点的直线系方程设直线方程,再用待定系数法求解.【突破训练3】已知两条直线l1:x-2y+4=0和l2:x+y-2=0的交点为P,求过点P且与直线l3:3x-4y+5=0垂直的直线l的方程.链接精练案分册P80