2023年二次函数的图像和性质知识点与练习.doc

第二节 二次函数的图像与性质

1．可以运用描点法做出函数y＝ax2，y=a(x-h)2，y＝a(x-h)2+k和图象，能根据图象结识和理解二次函数的性质；
2．理解二次函数中a、b、c对函数图象的影响。

一、二次函数图象的画法
五点绘图法：运用配方法将二次函数化为顶点式，拟定其开口方向、对称轴及顶点坐标，然后在对称轴两侧，左右对称地描点画图.一般我们选取的五点为：顶点、与轴的交点、以及关于对称轴对称的点、与轴的交点，（若与轴没有交点，则取两组关于对称轴对称的点）.
画草图时应抓住以下几点：开口方向，对称轴，顶点，与轴的交点，与轴的交点.
例1. 在同一平面坐标系中分别画出二次函数y＝x2 ，y＝-x2 ，y＝2x2 ，y＝-2x2 ，y＝2（x-1）2 的图像。

x
y
O

一、二次函数的基本形式
1. y＝ax2的性质：

的符号
开口方向
顶点坐标
对称轴
性质（增减性）

向上
（0，0）
轴
时，随的增大而增大；时，随的增大而减小；时，有最小值．

向下
（0，0）
轴
时，随的增大而减小；时，随的增大而增大；时，有最大值．
2. y＝ax2＋k的性质： （k上加下减）
的符号
开口方向
顶点坐标
对称轴
性质（增减性）

向上
（0，k）
y轴
时，随的增大而增大；时，随的增大而减小；时，有最小值k．

向下
（0，k）
轴
时，随的增大而减小；时，随的增大而增大；时，有最大值k．

3. y＝a（x-h）2的性质： （h左加右减）
的符号
开口方向
顶点坐标
对称轴
性质（增减性）

向上
（h，0）
直线x=h
时，随的增大而增大；时，随的增大而减小；时，有最小值．

向下
（h，0）
直线x=h
时，随的增大而减小；时，随的增大而增大；时，有最大值．

4. y＝a (x－h)2＋k的性质：
的符号
开口方向
顶点坐标
对称轴
性质（增减性）

向上
（h，k）
直线x=h
时，随的增大而增大；时，随的增大而减小；时，有最小值．

向下
（h，k）
直线x=h
时，随的增大而减小；时，随的增大而增大；时，有最大值．
5. y＝ax2+bx+c的性质：
的符号
开口方向
顶点坐标
对称轴
性质（增减性）

向上

直线
时，随的增大而增大；时，随的增大而减小；时，有最小值．

向下

直线
时，随的增大而减小；时，随的增大而增大；时，有最大值．

二、二次函数图象的平移
1. 平移环节：
方法一：⑴ 将抛物线解析式转化成顶点式，拟定其顶点坐标；
⑵ 保持抛物线的形状不变，将其顶点平移到处，具体平移方法如下：

2. 平移规律
在原有函数的基础上“值正右移，负左移；值正上移，负下移”．概括成八个字“左加右减，上加下减”．
方法二：
⑴沿轴平移:向上（下）平移个单位，变成
（或）
⑵沿x轴平移：向左（右）平移个单位，变成（或）
四、二次函数与的比较
从解析式上看，与是两种不同的表达形式，后者通过配方可以得到前者，即，其中．
六、二次函数图象的对称
二次函数图象的对称一般有五种情况，可以用一般式或顶点式表达
1. 关于轴对称
关于轴对称后，得到的解析式是；
关于轴对称后，得到的解析式是；
2. 关于轴对称
关于轴对称后，得到的解析式是；
关于轴对称后，得到的解析式是；
3. 关于原点对称
关于原点对称后，得到的解析式是；
关于原点对称后，得到的解析式是；
根据对称的性质，显然无论作何种对称变换，抛物线的形状一定不会发生变化，因此永远不变．

例1、
抛物线
y=－2x2＋6x－1
y=2x2＋6x－1
对称轴

顶点坐标

开口方向

位置

增减性

最值

例2、已知直线y=－2x＋3与抛物线y=ax2相交于A、B两点，且A点坐标为（－3，m）．
（1）求a、m的值；
（2）求抛物线的表达式及其对称轴和顶点坐标；
（3）x取何值时，二次函数y=ax2中的y随x的增大而减小；
（4）求A、B两点及二次函数y=ax2的顶点构成的三角形的面积．

例3、求符合下列条件的抛物线y=ax2的表达式：
（1）y=ax2通过（1，2）；
（2）y=ax2与y=x2的开口大小相等，开口方向相反；
（3）y=ax2与直线y=x＋3交于点（2，m）．

例4、试写出抛物线y=3x2通过下列平移后得到的抛物线的解析式并写出对称轴和顶点坐标。
（1）右移2个单位；（2）左移个单位；（3）先左移1个单位，再右移4个单位。

例5、把抛物线y=x2+bx+c的图象向右平移3个单位，在向下平移2个单位，所得图象的解析式是y=x2－3x+5，试求b、c的值。

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训练题:
1．抛物线y=－4x2－4的开口向 ，当x= 时，y有最 值，y= ．
2．当m= 时，y=（m－1）x－3m是关于x的二次函数．
3．抛物线y=－3x2上两点A（x，－27），B（2，y），则x= ，y= ．
4．当m= 时，抛物线y=（m＋1）x＋9开口向下，对称轴是 ．在对称轴左侧，y随x的增大而 ；在对称轴右侧，y随x的增大而 ．
5．抛物线y=3x2与直线y=kx＋3的交点为（2，b），则k= ，b= ．
6．已知抛物线的顶点在原点，对称轴为y轴，且通过点（－1，－2），则抛物线的表达式为 ．
7．在同一坐标系中，图象与y=2x2的图象关于x轴对称的是（ ）
A．y=x2 B．y=－x2 C．y=－2x2 D．y=－x2
8．抛物线，y=4x2，y=－2x2的图象，开口最大的是（ ）
A．y=x2 B．y=4x2 C．y=－2x2 D．无法拟定
9．对于抛物线y=x2和y=－x2在同一坐标系里的位置，下列说法错误的是（ ）
A．两条抛物线关于x轴对称 B．两条抛物线关于原点对称
C．两条抛物线关于y轴对称 D．两条抛物线的交点为原点
10．二次函数y=ax2与一次函数y=ax＋a在同一坐标系中的图象大体为（ ）

11．已知函数y=ax2的图象与直线y=－x＋4在第一象限内的交点和它与直线y=x在第一象限内的交点相同，则a的值为（ ）
A．4 B．2 C． D．
12.已知二次函数y=x2－x＋6，当x= 时，y最小= ；当x 时，y随x的增大而减小．
13．抛物线y=2x2向左平移1个单位，再向下平移3个单位，得到的抛物线表达式为 ．
14．若二次函数y=3x2+mx－3的对称轴是直线x＝1，则m＝ 。
15．当n＝______，m＝______时，函数y＝(m＋n)xn＋(m－n)x的图象是抛物线，且其顶点在原点，此抛物线的开口________.
16．已知二次函数y=x2－2ax+2a+3，当a= 时，该函数y的最小值为0.
17.二次函数y=3x2－6x+5，当x>1时，y随x的增大而 ；当x<1时，y随x的增大而 ；当x=1时，函数有最 值是 。
18.假如将抛物线y=2x2－1的图象向右平移3个单位，所得到的抛物线的关系式为 。
19.将抛物线y=ax2+bx+c向上平移1个单位，再向右平移1个单位，得到y=2x2－4x－1则a＝ ，b＝ ，c＝ .
20.将抛物线y＝ax2向右平移2个单位，再向上平移3个单位，移动后的抛物线通过点(3，－1)，那么移动后的抛物线的关系式为 _.
21、右图是二次函数y1=ax2+bx+c和一次函数y2=mx+n的图像，观测图像写出y2≥y1时，x的取值范围_______．

22、函数y=ax2 (a≠0)的图像与直线y=-2x-3交于点（1,b）
（1)求a和b的值
（2）求抛物线y=ax2 的解析式，并求出顶点坐标和对称轴；
（3）x取何值时，二次函数y=ax2 中的y随x的增大而增大？

1.根据公式法指出下列抛物线的开口方向、顶点坐标，对称轴、最值和增减性。
① ②

③ ④

2．函数y= x2的图象向 平移 个单位得到y=x2+3的图象；再向 平移 个单位得到y＝(x-1)2+3的图象。