2023年高中数学知识点椭圆双曲线抛物线.docx

高中数学专题四　椭圆、双曲线、抛物线
《圆锥曲线》知识点小结
一、椭圆：（1）椭圆的定义：平面内与两个定点的距离的和等于常数（大于）的点的轨迹。
其中：两个定点叫做椭圆的焦点，焦点间的距离叫做焦距。
注意：表达椭圆；表达线段；没有轨迹；
（2）椭圆的标准方程、图象及几何性质：

中心在原点，焦点在轴上
中心在原点，焦点在轴上
标准方程

图 形

x
O
F1
F2
P
y
A2
A1
B1
B2

A1
x
O
F1
F2
P
y
A2
B2
B1

顶 点

对称轴
轴，轴；短轴为，长轴为
焦 点

焦 距

离心率
（离心率越大，椭圆越扁）
通 径
（过焦点且垂直于对称轴的直线夹在椭圆内的线段）
3．常用结论：（1）椭圆的两个焦点为，过的直线交椭圆于两点，则的周长=
（2）设椭圆左、右两个焦点为，过且垂直于对称轴的直线交椭圆于两点，则的坐标分别是

二、双曲线：
（1）双曲线的定义：平面内与两个定点的距离的差的绝对值等于常数（小于）的点的轨迹。
其中：两个定点叫做双曲线的焦点，焦点间的距离叫做焦距。
注意：与（）表达双曲线的一支。
表达两条射线；没有轨迹；
（2）双曲线的标准方程、图象及几何性质：

中心在原点，焦点在轴上
中心在原点，焦点在轴上
标准方程

图 形

x
O
F1
F2
P
y
A2
A1

y
x
O
F1
P
B2
B1
F2

顶 点

对称轴
轴，轴；虚轴为，实轴为

焦 点

焦 距

离心率
（离心率越大，开口越大）
渐近线

通 径

（3）双曲线的渐近线：
①求双曲线的渐近线，可令其右边的1为0，即得，因式分解得到。
②与双曲线共渐近线的双曲线系方程是；
（4）等轴双曲线为，其离心率为
（4）常用结论：（1）双曲线的两个焦点为，过的直线交双曲线的同一支于两点，则的周长=
（2）设双曲线左、右两个焦点为，过且垂直于对称轴的直线交双曲线于两点，则的坐标分别是
三、抛物线：
（1）抛物线的定义：平面内与一个定点的距离和一条定直线的距离相等的点的轨迹。
其中：定点为抛物线的焦点，定直线叫做准线。
（2）抛物线的标准方程、图象及几何性质：

焦点在轴上，
焦点在轴上，
焦点在轴上，
焦点在轴上，

开口向右
开口向左
开口向上
开口向下

标准方程

图 形
x
O
F
P
y

O
F
P
y

x

O
F
P
y

x

O
F
P
y

x

顶 点

对称轴
轴
轴

焦 点

离心率

准 线

通 径

焦半径

焦点弦

焦准距

四、弦长公式：
其中,分别是联立直线方程和圆锥曲线方程,消去 y后所得关于x的一元二次方程的判别式和的系数
五、弦的中点坐标的求法
法（一）：（1）求出或设出直线与圆锥曲线方程；（2）联立两方程，消去y,得关于x的一元二次方程设，，由韦达定理求出；（3）设中点，由中点坐标公式得；再把代入直线方程求出。
法（二）：用点差法，设，，中点，由点在曲线上，线段的中点坐标公式，过A、B两点斜率公式，列出5个方程，通过相减，代入等变形，求出。

六、求离心率的常用方法：法一，分别求出a,c，再代入公式
法二、建立a,b,c满足的关系，消去b,再化为关于e的方程，最后解方程求e (求e时，要注意椭圆离心率取值范围是0﹤e﹤1，而双曲线离心率取值范围是e﹥1)

高考专题训练　椭圆、双曲线、抛物线
一、选择题：
1．(2023·辽宁)已知F是抛物线y2＝x的焦点，A，B是抛物线上的两点，|AF|＋|BF|＝3，则线段AB的中点M到y轴的距离为(　　)
A.　　　 B．1　　　
C.　　　 D.

答案：C
2．(2023·湖北)将两个顶点在抛物线y2＝2px(p>0)上，另一个顶点是此抛物线焦点的正三角形个数记为n，则(　　)
A．n＝0 B．n＝1
C．n＝2 D．n≥3

答案：C
3．(2023·全国Ⅱ)已知抛物线C：y2＝4x的焦点为F，直线y＝2x－4与C交于A，B两点，则cos∠AFB＝(　　)
A. B.
C．－ D．－
答案：D

4．(2023·浙江)已知椭圆C1：＋＝1(a>b>0)与双曲线C2：x2－＝1有公共的焦点，C2的一条渐近线与以C1的长轴为直径的圆相交于A，B两点．若C1恰好将线段AB三等分，则(　　)
A．a2＝ B．a2＝13
C．b2＝ D．b2＝2

答案：C
5．(2023·福建)设圆锥曲线的两个焦点分别为F1，F2，若曲线上存在点P满足|PF1|：|F1F2|：|PF2|＝4：3：2，则曲线的离心率等于(　　)
A.或 B.或2
C.或2 D.或
答案：A
6．(2023·邹城一中5月模拟)设F1，F2是双曲线－＝1(a>0，b>0)的左、右两个焦点，若双曲线右支上存在一点P，使(＋)·＝0(O为坐标原点)，且|PF1|＝|PF2|，则双曲线的离心率为(　　)
A. B.＋1
C. D.＋1

答案：D
二、填空题：
7．(2023·江西)若椭圆＋＝1的焦点在x轴上，过点作圆x2＋y2＝1的切线，切点分别为A，B，直线AB恰好通过椭圆的右焦点和上顶点，则椭圆方程是________．
答案：＋＝1
8．(2023·课标)在平面直角坐标系xOy中，椭圆C的中心在原点，焦点F1，F2在x轴上，离心率为，过F1的直线l交C于A，B两点，且△ABF2的周长为16，那么C的方程为________．
答案：＋＝1
9．(2023·浙江)设F1，F2分别为椭圆＋y2＝1的左、右焦点，点A，B在椭圆上，若＝5，则点A的坐标是____________．
答案：(0，±1)
10．(2023·全国)已知F1、F2分别为双曲线C：－＝1的左、右焦点，点A∈C，点M的坐标为(2,0)，AM为∠F1AF2的角平分线，则|AF2|＝________.

答案：6
三、解答题：
11．(12分)(2023·江西)P(x0，y0)(x0≠±a)是双曲线E：－＝1(a>0，b>0)上一点，M、N分别是双曲线E的左、右顶点，直线PM，PN的斜率之积为.
(1)求双曲线的离心率；
(2)过双曲线E的右焦点且斜率为1的直线交双曲线于A，B两点，O为坐标原点，C为双曲线上一点，满足＝λ＋，求λ的值．

解：(1) e＝＝.
(2)λ＝0或λ＝－4.

12．(13分)(2023·辽宁)如图，已知椭圆C1的中心在原点O，长轴左、右端点M，N在x轴上，椭圆C2的短轴为MN，且C1，C2的离心率都为e.直线l⊥MN，l与C1交于两点，与C2交于两点，这四点按纵坐标从大到小依次为A，B，C，D.

(1)设e＝，求|BC|与|AD|的比值；
(2)当e变化时，是否存在直线l，使得BO∥AN，并说明理由．
解：(1) |BC|:|AD|＝.
(2)t＝0时的l不符合题意，t≠0时，BO∥AN当且仅当BO的斜率kBO与AN的斜率kAN相等时成立

基础巩固题目 椭圆、双曲线、抛物线
（2） 双曲线的实轴长是
（A）2 (B) (C) 4 (D) 4
【解析】选C.
(5) 在极坐标系中，点 到圆 的圆心的距离为[来源:学#科#网]
（A）2 (B) (C) （D)
【解析】选D.
（21）（本小题满分13分）
设，点的坐标为（1,1），点在抛物线上运动，点满足，经
过点与轴垂直的直线交抛物线于点，点满足
,求点的轨迹方程。
解：点P的轨迹方程为

(3) 双曲线的实轴长是
（A）2 (B) (C) 4 (D) 4
【解析】选C.
(4) 若直线过圆的圆心,则a的值为
（A）1 (B) 1 (C) 3 (D) 3
【解析】.
（17）（本小题满分13分）
设直线
（I）证明与相交；
（II）证明与的交点在椭圆
证明：（I）反证法

3.在极坐标系中，圆的圆心的极坐标是
A. B. C. D.
【解析】： ，选B。
19.已知椭圆G：，过点（m，0）作圆的切线l交椭圆G于A，B两点。
（1）求椭圆G的焦点坐标和离心率；
（2）将表达为m的函数，并求的最大值。
解：（Ⅰ）
（Ⅱ）当时，|AB|=2，所以|AB|的最大值为2.

8．已知点A（0,2），B（2,0）．若点C在函数y = x的图像上，则使得ΔABC的面积为2的点C的个数为 A
A．4 B．3 C．2 D．1
19．（本小题共14分）
已知椭圆的离心率为，右焦点为（,0），斜率为I的直线与椭圆G交与A、B两点，以AB为底边作等腰三角形，顶点为P（-3,2）.
（I）求椭圆G的方程；（II）求的面积.
解：（Ⅰ）椭圆G的方程为
（Ⅱ）△PAB的面积S=

7．设圆锥曲线r的两个焦点分别为F1，F2，若曲线r上存在点P满足=4:3:2，则曲线r的离心率等于 A
A． B．或2 C．2 D．
17．（本小题满分13分）
已知直线l：y=x+m，m∈R。
（I）若以点M（2,0）为圆心的圆与直线l相切与点P，且点P在y轴上，求该圆的方程；
（II）若直线l关于x轴对称的直线为，问直线与抛物线C：x2=4y是否相切？说明理由。
（I）圆的方程为
（II）当m=1时，直线与抛物线C相切；当时，直线与抛物线C不相切。

21.（2）（本小题满分7分）坐标系与参数方程
在直接坐标系xOy中，直线l的方程为x-y+4=0，曲线C的参数方程为
．
（I）已知在极坐标（与直角坐标系xOy取相同的长度单位，且以原点O为极点，以x轴正半轴为极轴）中，点P的极坐标为（4，），判断点P与直线l的位置关系；
（II）设点Q是曲线C上的一个动点，求它到直线l的距离的最小值．

解：（I）点P在直线上
（II）最小值为

11．设圆锥曲线的两个焦点分别为F1、F2，若曲线上存在点P满足|PF1|：|F1F2|：|PF2|＝4：3：2，则曲线的离心率等于 A
A. 或 B．或2 C．或2 D．或

18.（本小题满分12分）
如图，直线l：y＝x＋b与抛物线C：x2＝4y相切于点A。
（Ⅰ）求实数b的值；
（Ⅱ）求以点A为圆心，且与抛物线C的准线相切的圆的方程。
解：（I）b=-1
（II）圆A的方程为

14.（坐标系与参数方程选做题）已知两曲线参数方程分别为
和，它们的交点坐标为 .[来源:Zxxk.Com]
19. （本小题满分14分）
设圆C与两圆中的一个内切，另一个外切.
（1）求C的圆心轨迹L的方程.
（2）已知点且P为L上动点，求的最大值及
此时点P的坐标.
（1） 解： L的方程为
（2）解：最大值2。

（2）设是定点，其中满足.过作的两条切线，切点分别为，与分别交于.线段上异于两端点的点集记为.证明：；

解：
（３）； ．