1、第四章 互换的定价 冯建芬冯建芬博学楼博学楼913 64495048Danxin_主要内容主要内容利率互换与其他衍生工具的等价关系利率互换与其他衍生工具的等价关系利率互换的定价计算方法利率互换的定价计算方法货币互换的定价货币互换的定价互换定价中的违约风险问题互换定价中的违约风险问题与债券组合的等价关系:与债券组合的等价关系:利率互换可以看成一个债券组合:利率互换可以看成一个债券组合:对于固定利率支付方,等同于对于固定利率支付方,等同于发行一个支付一个支付固定利率的债券,同时把发债收入的债券,同时把发债收入投资到具到具有同样到期日和利息支付日的有同样到期日和利息支付日的浮动利率债券债券上。上。第
2、一节利率互换与其他金融工具第一节利率互换与其他金融工具的等价关系的等价关系例例1.一年支付一次利息的一年支付一次利息的4年期利率互换。年期利率互换。固定利率支付方发行付息频率为1的一个4年期固定利率债券发债收入投资一个4年期的浮动利率债券1.1.与债券组合的等价关系与债券组合的等价关系2.与FRA的等价关系 利率互换也可看成一系列的远期利率协议利率互换也可看成一系列的远期利率协议的组合:的组合:固定利率支付方等同于等同于购买了多个远期利率协议。不同的是远期利率协议在贷款是远期利率协议在贷款初期支支付利息差,而利率互换在贷款期付利息差,而利率互换在贷款期结束支付利息支付利息差。差。对于例对于例1
3、中的利率互换,可以看成有中的利率互换,可以看成有4个一个一年期的远期利率协议组成,其中第一合约的延年期的远期利率协议组成,其中第一合约的延展期是展期是0。这样,第一次支付的浮动利率已知,而未来这样,第一次支付的浮动利率已知,而未来几次的浮动利率支付根据无套利定价原理,几次的浮动利率支付根据无套利定价原理,通过通过FRA市场的相应期限的协议利率即远期市场的相应期限的协议利率即远期利率可以获得。如例利率可以获得。如例1中:中:5.00?5.446 5.446 5.446 5.446a.利率互换5.00?5.005.255.55.75b.四个远期利率协议2.与FRA的等价关系假设互换不存在违约风险(
4、一)运用债券组合给利率互换定价考虑一个考虑一个2003年年9月月1日生效的三年期的利率日生效的三年期的利率互换,名义本金是互换,名义本金是1亿美元。亿美元。B公司同意支付公司同意支付给给A公司年利率为公司年利率为5的利息,同时的利息,同时A公司同公司同意支付给意支付给B公司公司6个月期个月期LIBOR的利息,利息的利息,利息每半年支付一次。每半年支付一次。LIBOR 5%A公司 B公司 第二节.利率互换定价的计算方法 表4.1利率互换中B公司的现金流量表(百万美元)日期日期 LIBOR(5%)收到的浮收到的浮动利息动利息 支付的固支付的固定利息定利息 净现金流净现金流 2003.9.14.20
5、 2004.3.14.80+2.10 2.50 0.40 2004.9.15.30+2.40 2.50 0.10 2005.3.15.50+2.65 2.50 0.15 2005.9.15.60+2.75 2.50 0.25 2006.3.15.90+2.80 2.50 0.30 2006.9.16.40+2.95 2.50 0.45 利率互换的分解利率互换的分解上上述述利利率率互互换换可可以以看看成成是是两两个个债债券券头头寸寸的的组组合合,分分解解成:成:1、B公司按公司按6个月个月LIBOR的利率借给的利率借给A公司公司1亿美元。亿美元。2、A公司按公司按5%的年利率借给的年利率借给B公
6、司公司1亿美元。亿美元。换个角度看,就是换个角度看,就是B B公司向公司向A A公司购买了一份公司购买了一份1 1亿美元亿美元的浮动利率(的浮动利率(LIBORLIBOR)债券,同时向)债券,同时向A A公司出售了一份公司出售了一份1 1亿美元的固定利率(亿美元的固定利率(5 5的年利率,每半年付息一次)的年利率,每半年付息一次)债券。债券。(一)运用债券组合定价1.浮动利率债券的价值:复习1.未未来来发发生生的的任任何何一一个个现现金金流流其其合合理理的的折折现现利利率率应应该该是是即即期期利利率率,根根据据即即期期利利率率与与远远期期利利率率的的关关系系,每年记一次利息的每年记一次利息的4
7、年后的年后的1元钱应该相当于现在的:元钱应该相当于现在的:其中其中R Ri i是是i i年期即期利率年期即期利率复习复习2.根据无套利定价原理,远期利率协议根据无套利定价原理,远期利率协议的协议利率应该使得合约的初始价值为的协议利率应该使得合约的初始价值为0,即即协议利率应该等于未来浮动利率的期望值,故,我们可以将协议利率看做未来浮动利率故,我们可以将协议利率看做未来浮动利率的预期,的预期,即将未来支付的浮动利息用协议利率乘以本金来代替。而。而这个协议利率就是远期利率。因此,对于例因此,对于例1中的中的4年期浮动利率债券,假设面年期浮动利率债券,假设面值为值为1元,其未来利息支付依次是:元,其
8、未来利息支付依次是:设每年的折现因子为:由此,浮动利率债券当前的价值为:因此,在任何利息支付日支付利息后,浮动利率债券的价值为1,故浮动利率债券一般按面值发行。(一)运用债券组合定价定义定义 :互互换换合合约约中中分分解解出出的的固固定定利利率率债债券券的的价值。价值。:互互换换合合约约中中分分解解出出的的浮浮动动利利率率债债券券的的价值。价值。那那么么,对对B公公司司而而言言,这这个个互互换换的的价价值值就就是:是:(4.1)为了说明公式(为了说明公式(4.1)的运用,定义)的运用,定义 :距第:距第i次现金流交换的时间(次现金流交换的时间(1i n)。)。L:利率互换合约中的名义本金额。:
9、利率互换合约中的名义本金额。:到期日为:到期日为titi的零息票债券利率的零息票债券利率 :支付日支付的固定利息额。:支付日支付的固定利息额。那么,固定利率债券的价值为那么,固定利率债券的价值为(一)运用债券组合定价接着考虑浮动利率债券的价值。根据浮动利率接着考虑浮动利率债券的价值。根据浮动利率债券的性质,在紧接浮动利率债券支付利息的债券的性质,在紧接浮动利率债券支付利息的那一刻,浮动利率债券的价值为其本金那一刻,浮动利率债券的价值为其本金L L。假。假设利息下一支付日应支付的浮动利息额为设利息下一支付日应支付的浮动利息额为 (这是已知的),那么在下一次利息支付前的(这是已知的),那么在下一次
10、利息支付前的一刻,浮动利率债券的价值为一刻,浮动利率债券的价值为 。在。在我们的定义中,距下一次利息支付日还有的时我们的定义中,距下一次利息支付日还有的时间间 ,那么今天浮动利率债券的价值应该为:,那么今天浮动利率债券的价值应该为:根根据据公公式式(4.1),我我们们就就可可以以得得到到互互换换的的价价值值(一)运用债券组合定价例例4.1假设在一笔互换合约中,某一金融机构支付假设在一笔互换合约中,某一金融机构支付6个个月期的月期的LIBOR,同时收取,同时收取8的年利率(半年计的年利率(半年计一次复利),名义本金为一次复利),名义本金为1亿美元。互换还有亿美元。互换还有1.25年的期限。年的期
11、限。3个月、个月、9个月和个月和15个月的个月的LIBOR(连续复利率)分别为(连续复利率)分别为10、10.5和和11。上一次利息支付日的。上一次利息支付日的6个月个月LIBOR为为10.2(半年计一次复利)。(半年计一次复利)。在这个例子中在这个例子中 万,万,万,因此万,因此 因此,利率互换的价值为:因此,利率互换的价值为:98.87102.51$427万万利利率率互互换换中中固固定定利利率率一一般般选选择择使使互互换换初初始始价价值值为为0的的那那个个利利率率,在在利利率率互互换换的的有有效效期期内内,它它的的价价值值有有可可能能是是负负的的,也也有有可可能能是是正正的的。这这和和远远
12、期期合合约约十十分分相相似似,因因此此利利率率互换也可以看成远期合约的组合。互换也可以看成远期合约的组合。(一)运用债券组合定价(二)运用远期利率协议定价(二)运用远期利率协议定价远期利率协议(远期利率协议(FRA)是这样一笔合约,)是这样一笔合约,合约里事先确定将来某一时间一笔借款的合约里事先确定将来某一时间一笔借款的利率。不过在利率。不过在FRA执行的时候,支付的只执行的时候,支付的只是市场利率与合约协定利率的利差。是市场利率与合约协定利率的利差。只只要要知知道道利利率率的的期期限限结结构构,我我们们就就可可以以计计算算出出FRA对对应应的的远远期期利利率率和和FRA的的价价值值,具体步骤
13、如下:具体步骤如下:1.计算远期利率。计算远期利率。2.确定现金流。确定现金流。3.将现金流贴现。将现金流贴现。例例4.2 我我们们再再看看例例4.1中中的的情情形形。3个个月月后后要要交交换换的的现现金金流流是是已已知知的的,金金融融机机构构是是用用10.2的的年年利利率率换换入入8年年利利率率。所所以以这这笔笔交交换换对对金金融融机机构构的的价值是:价值是:为为了了计计算算9个个月月后后那那笔笔现现金金流流交交换换的的价价值值,我我们们必必须须先先计计算算从从现现在在开开始始3个个月月到到9个个月月的的远远期期利利率率。根根据据远远期期利利率率的的计计算算公公式式3个个月月到到9个个月月的
14、远期利率为的远期利率为10.75的连续复利对应的每半年计一次复的连续复利对应的每半年计一次复利的利率为利的利率为 所以,所以,9个月后那笔现金流交换的价值为:个月后那笔现金流交换的价值为:同同样样,为为了了计计算算15个个月月后后那那笔笔现现金金流流交交换换的的价价值值,我我们们必必须须先先计计算算从从现现在在开开始始9个个月月到到15个月的远期利率。个月的远期利率。11.75的连续复利对应的每半年计一次复利的连续复利对应的每半年计一次复利的利率为的利率为所以,所以,1515个月后那笔现金流交换的价值为个月后那笔现金流交换的价值为 那么,作为远期利率协议的组合,这笔利率互那么,作为远期利率协议
15、的组合,这笔利率互换的价值为换的价值为 -107-141-179=-427-107-141-179=-427万美元万美元这个结果与运用债券组合定出的利率互换价值这个结果与运用债券组合定出的利率互换价值一致。一致。启示启示任意时刻互换的定价需要用到任意时刻互换的定价需要用到利率期限结构利率期限结构,浮动利率债券的定价同样也要用到利率期限结浮动利率债券的定价同样也要用到利率期限结构,因此利率期限结构建模在固定收益证券定构,因此利率期限结构建模在固定收益证券定价和利率衍生品定价中至关重要。价和利率衍生品定价中至关重要。而利率互换市场的发展可以为利率期限结构建而利率互换市场的发展可以为利率期限结构建模
16、提供市场化数据。模提供市场化数据。第三节、货币互换的定价(一)运用债券组合给货币互换定价(一)运用债券组合给货币互换定价 在在没没有有违违约约风风险险的的条条件件下下,货货币币互互换换一一样样也也可可以以分分解解成成债债券券的的组组合合,不不过过不不是是浮浮动动利利率率债债券券和和固固定定利利率率债债券券的的组组合合,而而是是一一份外币债券和一份本币债券的组合。份外币债券和一份本币债券的组合。假假设设A公公司司和和B公公司司在在2003年年10月月1日日签签订订了了一份一份5年期的货币互换协议。年期的货币互换协议。如如图图4.5所所示示,合合约约规规定定A公公司司每每年年向向B公公司司支支付付
17、11的的英英镑镑利利息息并并向向B公公司司收收取取8的的美美元元利利息息。本本金金分分别别是是1500万万美美元元和和1000万万英英镑镑。A公公司司的的现现金金流流如如表表4.4所所示示。A公公司司持持有有的的互互换换头头寸寸可可以以看看成成是是一一份份年年利利率率为为8的的美美元元债债券券多多头头头头寸寸和和一一份份年年利利率率为为11的的英英镑镑债债券券空空头头寸的组合。头头寸的组合。11%的英镑利息的英镑利息 8%的美元利息的美元利息 图4.5 A公司和B公司的货币互换流程图 A公司 B公司 表4.4货币互换中A公司的现金流量表(百万)日期日期 美元现金流美元现金流 英镑现金流英镑现金
18、流 2003.10.1 15.00 10.00 2004.10.1+1.20 1.10 2005.10.1+1.20 1.10 2006.10.1+1.20 1.10 2007.10.1+1.20 1.10 2008.10.1+16.20 11.10 如果我们定义如果我们定义 为货币互换的价值,那为货币互换的价值,那么对收入本币、付出外币的那一方:么对收入本币、付出外币的那一方:其其中中 是是用用外外币币表表示示的的从从互互换换中中分分解解出出来来的的外外币币债债券券的的价价值值;是是从从互互换换中中分分解解出出来来的的本本币币债债券券的的价价值值;是是即即期期汇汇率率(直直接标价法)。接标价
19、法)。对付出本币、收入外币的那一方:对付出本币、收入外币的那一方:例例4.3假假设设在在美美国国和和日日本本LIBOR利利率率的的期期限限结结构构是是平平的的,在在日日本本是是4而而在在美美国国是是9(都都是是连连续续复复利利),某某一一金金融融机机构构在在一一笔笔货货币币互互换换中中每每年年收收入入日日元元,利利率率为为5,同同时时付付出出美美元元,利利率率为为9。两两种种货货币币的的本本金金分分别别为为1000万万美美元元和和120000万万日日元元。这这笔笔互互换换还还有有3年年的的期期限限,即即期期汇汇率率为为1美元美元110日元。日元。如果以美元为本币,那么如果以美元为本币,那么货币
20、互换的价值为货币互换的价值为:如如果果该该金金融融机机构构是是支支付付日日元元收收入入美美元元,则则货货币币互互换换对它的价值为对它的价值为129.17万美元。万美元。(二)运用远期组合给货币互换定价(二)运用远期组合给货币互换定价货币互换还可以分解成一系列远期合约货币互换还可以分解成一系列远期合约的组合,货币互换中的每一次支付都可的组合,货币互换中的每一次支付都可以用一笔远期外汇协议的现金流来代替。以用一笔远期外汇协议的现金流来代替。因此只要能够计算货币互换中分解出来因此只要能够计算货币互换中分解出来的每笔远期外汇协议的价值,就可以知的每笔远期外汇协议的价值,就可以知道对应的货币互换的价值。
21、道对应的货币互换的价值。我我们们看看例例4.3,即即期期汇汇率率为为1美美元元110日日元元,或或者者是是1日日元元0.009091美美元元。因为美元和日元的年利差为因为美元和日元的年利差为5,根据,根据 ,一一年年期期、两两年年期期和和三三年年期期的远期汇率分别为的远期汇率分别为与货币互换等价的三份远期合约的价值分别为:与货币互换等价的三份远期合约的价值分别为:与最终的本金交换等价的远期合约的价值为与最终的本金交换等价的远期合约的价值为 所以这笔互换的的价值为,所以这笔互换的的价值为,和运用债券组合定价的结果一致。和运用债券组合定价的结果一致。第四节、互换的违约风险第四节、互换的违约风险上面
22、的利率互换和货币互换中都没有考虑违上面的利率互换和货币互换中都没有考虑违约风险,因此其浮动利率为约风险,因此其浮动利率为LIBOR,但更多,但更多的情况下,根据对方违约风险的大小,浮动的情况下,根据对方违约风险的大小,浮动利率为利率为LIBOR加一定的基点。加一定的基点。也是由于违约风险,折现因子也不再是无风也是由于违约风险,折现因子也不再是无风险的即期利率,并且由于利率支付方不同,险的即期利率,并且由于利率支付方不同,违约风险不同,双方的折现因子可能也不相违约风险不同,双方的折现因子可能也不相同。同。如何定价?如何定价?对于浮动利率支付方,其对应的浮动利率债对于浮动利率支付方,其对应的浮动利
23、率债券在任何付息日的价值仍然为面值,因为其券在任何付息日的价值仍然为面值,因为其折现因子和浮动利息中的信用利差是相同的。折现因子和浮动利息中的信用利差是相同的。对于固定利率支付方,其固定利率的折现因对于固定利率支付方,其固定利率的折现因子需要根据固定利率支付方的信用评级来评子需要根据固定利率支付方的信用评级来评定,可能与浮动利率不一样,因此定价公式定,可能与浮动利率不一样,因此定价公式有所改变。有所改变。第四节、互换的违约风险第四节、互换的违约风险金融机构通常会通过签订两份相互抵消的金融机构通常会通过签订两份相互抵消的互换合约来规避利率风险。但这种方式不互换合约来规避利率风险。但这种方式不能对
24、冲互换的信用风险。能对冲互换的信用风险。当互换合约对金融机构价值为当互换合约对金融机构价值为正正时,可能时,可能发生对手违约,金融机构会遭受损失。发生对手违约,金融机构会遭受损失。当互换合约对金融机构价值为当互换合约对金融机构价值为负负时,不会时,不会发生对手违约(即使对方破产)。发生对手违约(即使对方破产)。第四节、互换的违约风险第四节、互换的违约风险互换价值互换价值风险敞口风险敞口互换中的信用风险敞口互换中的信用风险敞口第四节、互换的违约风险第四节、互换的违约风险作业:作业:1.一个一个10000万美元的利率互换距到期还有万美元的利率互换距到期还有10个月。根据互换条款,个月。根据互换条款
25、,这一协议将这一协议将6个月期的个月期的LIBOR转换为转换为12%的年利率(按半年计复的年利率(按半年计复利)。当前所有期限的互换与利)。当前所有期限的互换与6个月期个月期LIBOR交换的固定利率的交换的固定利率的买入价和卖出价的平均值均为按连续复利计的每年买入价和卖出价的平均值均为按连续复利计的每年10%。两个月。两个月前的前的6个月期的个月期的LIBOR是是9.6%。对于支付浮动利率利息的一方。对于支付浮动利率利息的一方而言,当前的互换价值是多少?对于支付固定利率利息的一方而而言,当前的互换价值是多少?对于支付固定利率利息的一方而言,互换价值又是多少?言,互换价值又是多少?2.一份货币互
26、换协议距离到期还有一份货币互换协议距离到期还有15个月,它涉及按本金个月,它涉及按本金2000万英万英镑、利率镑、利率14%计算的利息和按本金计算的利息和按本金3000万美元,利率万美元,利率10%计算计算的利息之间的交换,交换每年进行一次。英国和美国的利率期限的利息之间的交换,交换每年进行一次。英国和美国的利率期限结构均为平坦的,如果现在签订互换协议,互换的美元利率为结构均为平坦的,如果现在签订互换协议,互换的美元利率为8%,英镑利率为,英镑利率为11%。所有的利率均按年计复利。当前的汇率。所有的利率均按年计复利。当前的汇率(美元(美元/英镑)是英镑)是1.6500。对于支付英镑的一方而言,互换的价。对于支付英镑的一方而言,互换的价值是多少,对于支付美元的一方而言,互换的价值又是多少?值是多少,对于支付美元的一方而言,互换的价值又是多少?