高考数学考前最后冲刺专项训练分类讨论转化与化归思想.doc

2023年高考数学专项训练（09）分类讨论、转化与化归思想
1.已知其中a∈R，则a的取值范围是
A.a＜0 B.a＜2或a≠–2 C.–2＜a＜2 D.a＜–2或a＞2
2.已知两条直线l1:y=x,l2:ax–y=0，其中a∈R，当这两条直线的夹角在(0,)内变动时，a的取值范围是
A.（0，1） B.（，） C.（，1）∪（1，） D.（1，）
3.等差数列{an}和{bn}的前n项和分别用Sn和Tn表达，若，则的值为
A. B.1 C. D.
4．若圆上至少有三个不同点到直线:的距离为,则直线的倾斜角的取值范围是
A.[] B.[] C.[ D.
5. 从0到9这10个数字中任取3个数字组成一个没有反复数字的三位数，这个三位数不能被3整除的概率为（ ）
A． B． C． D．
6.已知直线（a,b是非零常数）与圆x2+y2=100有公共点，且公共点的横坐标和纵坐标均为整数，那么这样的直线共有
A.60条 B.66条 C.72条 D.78条
7.已知集合A={x｜x2–3x+2=0},B={x｜x2–ax+(a–1)=0}，C={x｜x2–mx+2=0}，且A∪B=A，A∩C=C，则a的值为 ，m的取值范围为 .
8.某房间有4个人，那么至少有2人生日是同一个月的概率是 .（列式表达即可）
9．函数的值域为 。
10．过点B(0, -b)作椭圆(a>b>0)的弦，则这些弦长的最大值为____________
11．已知常数在矩形ABCD中，AB=4，BC=4，O为AB的中点，
点E、F、G分别在BC、CD、DA上移动，且，P为GE
与OF的交点（如图），问是否存在两个定点，使P到这两点的距离的和为定值？
若存在，求出这两点的坐标及此定值；若不存在，请说明理由.

12．对任意函数f(x), x∈D，可按图示构造一个数列发生器，其工作原理如下：①输入数据x0∈D，经数列发生器输出x1=f(x0)；②若x1D，则数列发生器结束工作；若x1∈D，则将x1反馈回输入端，再输出x2=f(x1)，并依此规律继续下去.现定义。（1）若输入x0=，则由数列发生器产生数列{xn}，请写出{xn}的所有项；（2）若要数列发生器产生一个无穷的常数列，试求输入的初始数据x0的值；3）若输入x0时，产生的无穷数列{xn}，满足对任意正整数n均有xn＜xn+1；求x0的取值范围.
2023年高考数学专项训练（09）分类讨论、转化与化归思想
1.已知其中a∈R，则a的取值范围是( )
A.a＜0 B.a＜2或a≠–2
C.–2＜a＜2 D.a＜–2或a＞2
1.解析：分a=2、｜a｜＞2和｜a｜＜2三种情况分别验证.
答案：C
2.已知两条直线l1:y=x,l2:ax–y=0，其中a∈R，当这两条直线的夹角在(0,)内变动时，a的取值范围是( )
A.（0，1） B.（，） C.（，1）∪（1，） D.（1，）
2.解析：分析直线l2的变化特性，化数为形，已知两直线不重合，因此问题应当有两个范围即得解
答案：C
3.等差数列{an}和{bn}的前n项和分别用Sn和Tn表达，若，则的值为( )
A. B.1 C. D.
3.解析：化和的比为项的比∵.
∴,取极限易得答案：A
4．若圆上至少有三个不同点到直线:的距离为,则直线的倾斜角的取值范围是 ( )
A.[] B.[] C.[ D.
答案：B
解析：圆整理为，∴圆心坐标为(2，2)，半径为3，规定圆上至少有三个不同的点到直线的距离为，则圆心到直线的距离应小于等于， ∴ ，∴ ，∴
5. 从0到9这10个数字中任取3个数字组成一个没有反复数字的三位数，这个三位数不能被3整除的概率为（ ）
A． B． C． D．
答案：B
解析：将这10个数字按被3除所得的余数提成三个集合，，，先求出能被3整除的概率，再用间接法得出所求概率为：
.
6.已知直线（a,b是非零常数）与圆x2+y2=100有公共点，且公共点的横坐标和纵坐标均为整数，那么这样的直线共有
A.60条 B.66条
C.72条 D.78条
答案：A
解析：找整点，这些点分别是：（10，0），（8，6），（6，8），（0，10），（-6，8），（-8，6），（-10，0），…，（8，-6）共12个点.
过整点的直线分两类：一类是圆的割线，过这12点中的每两点可作条直线，其中的6条直径和8条平行于坐标轴的直线不合条件舍去，即割线有66-6-8=52条；一类是过不在坐标轴上的点可以作圆的8条切线也都符合条件.故这样的直线共有52+8=60条,答案为A.
7.已知集合A={x｜x2–3x+2=0},B={x｜x2–ax+(a–1)=0}，C={x｜x2–mx+2=0}，且A∪B=A，A∩C=C，则a的值为 ，m的取值范围为 .
7.解析：A={1,2},B={x｜(x–1)(x–1+a)=0},
由A∪B=A可得1–a=1或1–a=2；由A∩C=C，可知C={1}或.
答案：2或3 ， {3}（–2，2）

8.某房间有4个人，那么至少有2人生日是同一个月的概率是 .（列式表达即可）
7.解析：转化为先求对立事件的概率即四人生日各不相同的概率
答案：
9．函数的值域为 。
解析：方法1：由得，由得，即
，即，解得。故的值域为，。
方法2：，当时，，当时，，故的值域为，。
10．过点B(0, -b)作椭圆(a>b>0)的弦，则这些弦长的最大值为_____________。
解：方法一：设点M(x0, y0)是椭圆上任一点，则，即. 从而
|BM|=,(-b≤y0≤b)。
于是：① 若≤b，即a≥b，则当y0=时，|BM|取得最大值为;
② 若>b，即a<b，则当y0=b时，|BM|取得最大值为2b。
方法二：设M(acosθ, bsinθ)，
则|BM|=，于是：① 若b≤c，即≤1，则当sinθ=时，|BM|取得最大值；
②若b>c，即>1，则当sinθ=1时，|BM|取最大值.
11．已知常数在矩形ABCD中，AB=4，BC=4，O为AB的中点，点E、F、G分别在BC、CD、DA上移动，且，P为GE与OF的交点（如图），问是否存在两个定点，使P到这两点的距离的和为定值？若存在，求出这两点的坐标及此定值；若不存在，请说明理由.

11．解：根据题设条件，一方面求出点P坐标满足的方程，据此再判断是否存在两定点，使得
点P到定点距离的和为定值.
按题意有A（－2，0），B（2，0），C（2，4a），D（－2，4a）
设，
由此有E（2，4ak），F（2－4k，4a），G（－2，4a－4ak）.
直线OF的方程为：， ①
直线GE的方程为：.　　②
从①，②消去参数k，得点P（x，y）坐标满足方程，
整理得.
当时，点P的轨迹为圆弧，所以不存在符合题意的两点.
当时，点P轨迹为椭圆的一部分，点P到该椭圆焦点的距离的和为定长.
当时，点P到椭圆两个焦点的距离之和为定值.
当时，点P到椭圆两个焦点的距离之
和为定值.
分类讨论思想就是依据一定的标准，对问题分类、求解，要特别注意分类必须满足互斥、无漏、最简的原则.分类讨论常见的依据是：
1.由概念内涵分类.如绝对值、直线的斜率、指数对数函数、直线与平面的夹角等定义包含了分类.
2.由公式条件分类.如等比数列的前n项和公式、极限的计算、圆锥曲线的统一定义中图形的分类等.
3.由实际意义分类.如排列、组合、概率中较常见，但不明显、有些应用问题也需分类讨论.
在学习中也要注意优化策略，有时运用转化策略，如反证法、补集法、变更多元法、数
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12．对任意函数f(x), x∈D，可按图示构造一个数列发生器，其工作原理如下：
①输入数据x0∈D，经数列发生器输出x1=f(x0)；
②若x1D，则数列发生器结束工作；若x1∈D，则将x1反馈回输入端，再输出x2=f(x1)，并依此规律继续下去.
现定义
（1）若输入x0=，则由数列发生器产生数列{xn}，请写出{xn}的所有项；
（2）若要数列发生器产生一个无穷的常数列，试求输入的初始数据x0的值；
（3）若输入x0时，产生的无穷数列{xn}，满足对任意正整数n均有xn＜xn+1；求x0的取值范围.
命题意图：本题重要考察学生的阅读审题，综合理解及逻辑推理的能力.属★★★★★级题目.
知识依托：函数求值的简朴运算、方程思想的应用.解不等式及化归转化思想的应用.解题的关键就是应用转化思想将题意条件转化为数学语言.
错解分析：考生易出现以下几种错因：（1）审题后不能理解题意.（2）题意转化不出数学关系式，如第2问.（3）第3问不能进行从一般到特殊的转化.
技巧与方法：此题属于富有新意，综合性、抽象性较强的题目.由于陌生不易理解并将文意转化为数学语言.这就规定我们慎读题意，把握主脉，体会数学转换.
解：（1）∵f(x)的定义域D=（–∞,–1)∪(–1,+∞)
∴数列{xn}只有三项，
（2）∵,即x2–3x+2=0
∴x=1或x=2，即x0=1或2时故当x0=1时，xn=1，当x0=2时，xn=2
（3）解不等式，得x＜–1或1＜x＜2，
要使x1＜x2，则x2＜–1或1＜x1＜2，对于函数
若x1＜–1，则x2=f(x1)＞4，x3=f(x2)＜x2，若1＜x1＜2时，x2=f(x1)＞x1且1＜x2＜2
依次类推可得数列{xn}的所有项均满足xn+1＞xn（n∈N*)
综上所述，x1∈(1,2)，由x1=f(x0),得x0∈(1,2).

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