湖南省对口高考数学知识点整理.doc

高中重要知识点整理
一．集合
1．集合的概念：
（1） 集合中元素特征: ，，；
（2） 集合的表示法：
①，②，③
（3）数学中一些常用的数集及表示方法：
实数集；有理数集；整数集；自然数集；正整数集．
2．两类关系：
（1）元素与集合的关系，用或表示；
（2）集合与集合的关系，用，，表示，
3．空集的特殊性：
4．集合的运算：A∩B，A∪B，CUA
二．简易逻辑
1.复合命题的真假：

真
真

真
假

假
真

假
假

2．四种命题及其关系：
①四种命题的形式：
原命题： 逆命题： 否命题： 逆否命题:

②四种命题的关系：
3.若，则叫做的条件，叫做的条件；
若，则叫做的条件，简称为条件.
如果且，我们称为的条件，
如果且，则我们称为的条件.

4．同一个全称命题、特称命题，由于自然语言的不同，可以有不同的表述方法：
命题
全称命题xM，p（x）
特称命题xM，p（x）

表述
方法
①所有的xM，使p（x）成立
①存在xM，使p（x）成立
②对一切xM，使p（x）成立
②至少有一个xM，使p（x）成立
③对每一个xM，使p（x）成立
③对有些xM，使p（x）成立
④任给一个xM，使p（x）成立
④对某个xM，使p（x）成立
⑤若xM，则p（x）成立
⑤有一个xM，使p（x）成立
5．常见词语的否定如下表所示：
原词语
是
等于
都是
大于

否定
不是

大于或等于
原词语
且
任意的

所有
否定

至多有两个
至少有两个

6．含一个量词的命题的否定：
全称命题：，它的否定：
特称命题：，它的否定：

三．函数
1．映射：设A、B是两个非空的集合，如果按照某一个确定的对应关系，使对于集合A中元素，在集合B中都有的元素与之对应，这样的对应叫做从集合A到集合B的映射，记作.
2．象与原象：如果f:A→B是一个从A到B的映射，那么和A中的元素a对应的B中的元素b叫做象，叫做原象。
3.函数的概念
（1）定义：设A、B是，如果按某一确定的对应关系f，使对于集合A中的，在集合B中都有与之对应，则称f:A→B是从集合A到集合B的一个函数，记作，其中x叫做，x的取值范围叫做；与x值对应的y叫做，函数值的集合做．
（2）函数的三要素为、、，两个函数当且仅当分别相同时，二者才能称为同一函数。
（3）函数的表示法有、、。
（4）求函数定义域的方法：
①如果是整式或奇次根式，则；
②如果是分式，则；
③如果是偶次根式，则；
④如果是对数式，则；
4.函数的奇偶性
（1）定义：偶函数：如果对于函数的定义域内，都有，那么函数叫做偶函数．
奇函数：如果对于函数的定义域内，都有，那么函数叫做奇函数．
（2）图象特征：
奇函数的图象关于对称；偶函数的图象关于对称．
（3）奇函数在处有意义，则
（4）函数、在相同定义域上同奇时，为
函数、在相同定义域上同偶时，为
函数、在相同定义域上同奇同偶时，为
函数、在相同定义域上一奇一偶时，为
5.函数的单调性：
（1）定义：一般地，设函数的定义域为I：
①如果对于，当时，都有，那么就说函数 在区间D上是增函数．
②如果对于，当时，都有，那么就说函数 在区间D上是减函数．
（2）利用导数：
设函数在定义域内可导，若，则为增函数；若，则为减函数；若，则为常数函数．
(3)复合函数的单调性：

(4)和、差函数单调性的判别（在相同区间上）
， ， ，
(5)奇函数、偶函数在两个对称区间上的单调性
奇函数在其对称区间上具有的单调性；
偶函数在其对称区间上具有的单调性；
6.周期性：（1） 结论
（2） 结论
（3） 结论
（4） 结论
7。常见函数
一次函数：
解析式

图象

定义域

单调性

值域

二次函数：
解析式

图象

定义域

对称轴

单调性

值域

指数函数：
解析式

图象

定义域

单调性

值域

反比例函数：
解析式

图象

定义域

奇偶性

单调性

值域

对数函数：
解析式

图象

定义域

单调性

值域

幂函数：
函数

图象

定义域

值域

奇偶性

单调性

公共点

8.指数：
(1) 规定：
①a0＝(a≠0)；
②a-p＝；
③.
(2) 运算性质：
①(a>0, r、Q)
②(a>0, r、Q)
③(a>0, r、Q)
注：上述性质对r、R均适用.
9.对数：
(1) 基本性质：
①真数N为(负数和零无对数)；②；③；
④对数恒等式：．
(2) 运算性质：
① loga(MN)＝___________________________；
② loga＝____________________________；
③ logaMn＝(n∈R).
④换底公式：logaN＝(a>0，a≠1，m>0，m≠1，N>0)
⑤.
10.函数零点的判断：
如果函数在区间上的图象是的一条曲线，并且有。那么，函数在区间内有零点，即存在，使得，这个也就是方程的根。

11.常见函数的导数：

四．三角
1.特殊角的度与弧度间的相互转化

2．弧长公式：＝；
扇形面积公式：S＝
3.任意角的三角函数
设是一个任意角，的终边上任意一点P的坐标是（x，y），它与原点的距离是r（r=）．那么sin= cos= tan=
4．特殊角的三角函数值：
角度制

弧度制

5.同角三角函数的基本关系式
①平方关系；②商数关系．

6.诱导公式
角的形式

所在象限

角的形式

所在象限

7.两角和与差的三角函数公式

二倍角公式

降次公式（降次扩角）
升幂公式（升幂缩角）

8.正弦定理
①==
②，，
③==
9.余弦定理
①②

10.面积公式：
=

11.三角函数的图象和性质
函数
正弦函数
余弦函数
正切函数
解析式

图象

定义域

值域

周期性

奇偶性

单调性
增区间

增区间

增区间

减区间

减区间

减区间

对称轴

对称中心

五．向量之间的关系
（1）相等向量：
（2）相反向量：

（3）两个向量平行（共线）的充要条件
①定义
②充要条件
字母表示（向量式）
坐标表示
③，,三点共线，则 。
（4）两个非零向量的夹角（）
①当时，与；当时，与
当时，与
②夹角公式：
（5）两个非零向量垂直的充要条件
①字母表式（向量式）：
②坐标表示：，，则
（6）平面向量基本定理：
如果、是的两个向量，那么对于这一平面内的向量，有一对实数、使（、是一组）
设、是一组基底，＝，＝，则与共线的充要条件是．
六．数列
1.前n项和Sn与通项an的关系为：

2.等差数列：
（1）等差数列的定义：－＝d（d为常数）．
（2）等差数列的通项公式：
① an＝a1＋×d
② an＝am＋×d

（3）等差数列的前n项和公式：
Sn＝＝．
（4）等差中项：如果a、b、c成等差数列，则b叫做a与c的等差中项，即b＝．
（5）数列{an}是等差数列的两个充要条件是：
①数列{an}的通项公式可写成an＝pn＋q(p, q∈R)
②数列{an}的前n项和公式可写成Sn＝an2＋bn (a, b∈R)
（6）等差数列{an}的两个重要性质：
①m, n, p, q∈N*，若m＋n＝p＋q，则．
②数列{an}的前n项和为Sn，S2n－Sn，S3n－S2n成数列．
3.等比数列
（1）等比数列的定义：＝q（q为不等于零的常数）．
（2）等比数列的通项公式：
①an＝②an＝
（3）等比数列的前n项和公式：
Sn＝

（4）等比中项：如果a，b，c成等比数列，那么b叫做a与c的等比中项，即b2＝（或b＝）．
（5）等比数列{an}的几个重要性质：
①m，n，p，q∈N*，若m＋n＝p＋q，则．
②Sn是等比数列{an}的前n项和且Sn≠0，则Sn，S2n－Sn，S3n－S2n成数列．
4.数列求和
①裂项相消法：把一个数列的通项裂成两项，通过项与项相消求和．
②错位相减法：适用于一个等差数列和一个等比数列对应项相乘构成的数列求和．
七．不等式
1．实数的大小比较法则：
设a，b∈R，则a>b；a＝b；a<b.
实数的大小比较法则，它是比较两个实数大小的依据，要比较两个实数的大小，只要考察它们的就可以了.
实数的大小比较法则与实数运算的符号法则一起构成了证明其它不等式性质的基础.
2．不等式的基本性质。
（1）反身性：
（2）传递性：
（3）对一个不等式施加运算：
①同加原理：
②同乘原理：
③乘方原理：
④开方原理：
（4）对两个不等式施加运算：
①同向相加原理：
②同向相乘原理：
（5）倒数原理：
八．算术平均数与几何平均数
1．a>0，b>0时，称为a，b的算术平均数；称为a，b的几何平均数．
2．如果a、bR，那么a2＋b22ab（当且仅当时 取“＝”号）
对于任意正实数a,b，都有a+b2，当且仅当时，等号成立。
对于任意正实数a,b，都有,当且仅当时，等号成立。
对于任意正实数a,b，都有ab，当且仅当时，等号成立。
九．复数的有关概念
1．复数：形如的数叫做复数，其中a , b分别叫它的和．
的周期性：4n+1=，4n+2=，4n+3=，4n=
2．分类：设复数：
(1) 当时，z为实数；
(2) 当时，z为虚数；
特别的：当且时，z为纯虚数.
3．复数相等：如果两个复数相等且相等就说这两个复数相等.
4．共轭复数：当两个复数实部，虚部时．这两个复数互为共轭复数，记为．虚部不等于零的两个共轭复数也叫做共轭虚数。
5．复平面：建立直角坐标系来表示复数的平面叫做复平面, x轴叫做，叫虚轴．
6．复数z＝a＋bi(a, bR)与复平面上的点建立了一一对应的关系．向量的模r（O，Z两点间的距离）叫做复数的模，记作=
7．两个实数可以比较大小、但两个复数如果不全是实数，就比较它们的大小。
十．推理与证明
（一）合情推理与演绎推理
1. 推理一般包括合情推理和演绎推理；
2.合情推理包括和；
归纳推理：从个别事实中推演出，这样的推理通常称为归纳推理；
归纳推理的思维过程是：、、.
类比推理：根据两个（或两类）对象之间在某些方面的相似或相同，推演出它们在其它方面也或，这样的推理称为类比推理，
类比推理的思维过程是：、、.
3.演绎推理：演绎推理是，按照严格的逻辑法则得到的推理过程，三段论是演绎推理的一般模式。三段论常用格式为：①M是P，②，③S是P；其中①是，它提供了一个一般性原理；②是，它指出了一个特殊对象；③是，它根据一般原理，对特殊情况作出的判断.
（二）直接证明与间接证明
1.直接证明：直接从原命题的条件逐步推得结论成立,这种证明方法叫直接证明；
直接证明的两种基本方法——分析法和综合法
⑴综合法 ——；⑵分析法 ——；Þ

2. 间接证明：间接证明是不同于直接证明的又一类证明方法，反证法是一种常用的间接证明方法；反证法即从开始，经过正确的推理，说明假设错误，从而证明了原命题成立，这样的证明方法叫做反证法（归谬法）.
3.用数学归纳法证明数学问题的步骤：

十一.立体几何
（一）平面的基本性质
公理1 如果一条直线上的在一个平面内，那么这条直线在此平面内 (证明直线在平面内的依据)．
公理2过不在的三点，有且只有一个平面(确定平面的依据)．
推论1经过一条直线和这条直线外的一点有且只有一个平面．
推论2经过两条直线，有且只有一个平面．
推论3 经过两条直线，有且只有一个平面．
公理3如果两个不重合的平面有个公共点，那么它们有且只有

（二）线线、线面、面面平行的判定及性质
1、线线平行的判定：

2、线面平行的判定：

3、面面平行的判定：

（三）线线、线面、面面垂直的判定及性质。
1、 线线垂直的判定：

2、 线面垂直的判定：

3、面面垂直的判定

（四）空间角、点到平面的距离
1、 异面直线所成的角：

2、 直线与平面所成的角：

3、 平面与平面所成的角（二面角）

4、 点到平面的距离：

十二。解析几何
（一）直线
1.直线的斜率与直线的方程
（1）倾斜角：在平面直角坐标系中，对于一条与x轴相交的直线,把轴绕着交点按旋转到和直线重合时所转的叫做直线的倾斜角．当直线和轴平行或重合时，规定直线的倾斜角为0°．倾斜角的范围为________．
斜率：当直线的倾斜角α≠90°时，该直线的斜率即k＝tanα；当直线的倾斜角等于90°时，直线的斜率不存在．
（2）过两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)(x1≠x2)的直线的斜率公式．若x1＝x2，则直线的斜率不存在，此时直线的倾斜角为90°．

（3）直线方程的五种形式

名称
方程
斜截式

点斜式

两点式

截距式

一般式

（4）直线的截距：
设直线l与x轴、y轴分别交于（a，0），（0，b），则a、b分别称为直线在、
上的截距．注意：截距不是．
若直线的方程为Ax+By+C=0（B≠0），则直线在y轴上的截距为．
（5）若直线的方程为Ax+By+C=0（B≠0），则直线的斜率为
2.两条直线的位置关系
（1）平面内两条直线的位置关系有三种________．
①当直线不平行坐标轴时，直线与直线的位置关系可根据下表判定

直线
条件
关系
l1：y＝k1x＋b1
l2：y＝k2x＋b2
l1：A1x＋B1y＋C1＝0
l2：A2x＋B2y＋C2＝0
平行

重合

相交
(垂直)

②当直线平行于坐标轴时，可结合图形判定其位置关系．
（2）点到直线的距离、直线与直线的距离
①设点，直线（不平行于坐标轴时），则到的距离．当直线与坐标轴平行时特殊处理。
②两条平行直线，（不平行于坐标轴时）之间的距离（和的方程必须满足一次项系数相同）．当直线与坐标轴平行时特殊处理。
（3）直线关于轴对称的直线的方程为
直线关于轴对称的直线的方程为
直线关于直线对称的直线的方程为
直线关于直线对称的直线的方程为
直线关于原点对称的直线的方程为
（二）圆
1、圆的方程：
方程名称
方程形式
圆心
半径
标准方程

r
一般方程

（）
（ ）

2.点与圆 、直线与圆、圆与圆的位置关系
（1）点与圆的位置关系：
若圆，
那么点在

（2）直线与圆的位置关系的判断方法有：
①几何方法
位置关系
与的关系
公共点的个数
相 交

相 切

相 离

圆心到直线的距离为=.

②代数方法
由消元，得到一元二次方程的判别式为，则：
直线与圆相交；直线与圆相切；直线与圆相离.

（3）圆与圆的位置关系有五种，分别为：
、、、、.
设两个圆的半径分别为圆心距为，则两圆的位置关系可用下表来表示：
位置关系
内含
内切
相交
外切
相离
几何特征

代数特征
实数解
实数解
实数解
实数解
实数解

（三）椭圆
1．椭圆的两种定义
(1) 平面内与两定点F1、F2的距离的等于常数 ()的点的轨迹叫椭圆，这两个定点叫做椭圆的，之间的距离叫做焦距．表达式为.
(2) 椭圆的第二定义：到的距离与到的距离之比是常数，且的点的轨迹叫椭圆．定点F是椭圆的，定直线是，常数e是．

2.椭圆的标准方程和几何性质
标准方程

图形

性

质
焦 点

范围
;.
;.
对称性
对称轴：；对称中心：.
顶点
A1；A2；
B1；B2.
A1；A2；
B1；B2.
轴
长轴A1A2的长为；短轴B1B2的长为.
焦
距
（）
离心率
（）离心率刻画了椭圆的
离心率越接近，椭圆越扁平；离心率越接近，椭圆越接近圆
准线
方程

3．焦点三角形应注意以下关系：
(1) 定义：r1＋r2＝2a
(2) 余弦定理：＋－2r1r2cos＝(2c)2
(3) 面积：＝r1r2 sin＝·2c| y0 |(其中P()为椭圆上一点，|PF1|＝r1，|PF2|＝r2，∠F1PF2＝)
4.椭圆的参数方程：

（三）双曲线
1.双曲线的定义：
（1）平面内与两个定点，的距离之的等于常数（）的点的轨迹叫做双曲线，这两个定点叫做双曲线的，两焦点间的距离叫做双曲线的.表达式为.
(2) 双曲线的第二定义：到的距离与到的距离之比是常数，且的点的轨迹叫双曲线．定点F是双曲线的，定直线是，常数e是

2.双曲线的标准方程和几何性质
标准方程

图形

性

质
焦 点

范围

对称性
对称轴：；对称中心：.
顶点
A1；A2；
A1；A2；.
轴
实轴轴A1A2的长为；虚轴B1B2的长为.
焦
距
（）
离心率
（）离心率的大小反映了双曲线的．
离心率越，双曲线开口越大；离心率越，双曲线开口越小．
准线

渐近线

3、等轴双曲线：，则等轴双曲线的离心率为 。

（四）抛物线
1、抛物线定义：
平面内与一定点F的距离和一条定直线的距离的点的轨迹叫做抛物线.点F叫做抛物线的，直线叫做抛物线的.
2、抛物线的标准方程，类型及几何性质：
标准方程

图形

性

质
焦点

准线

范围

对称性

顶点

离心率

十五。概率
1．的两个事件叫做互斥事件，的互斥事件叫做对立事件．
2．如果事件A、B互斥， P(A+B)＝．
3.由于是一个必然事件，再加上，故，于是，这个公式很有用，常可使概率的计算得到简化．当直接求某一事件的概率较为复杂时，可转化去求其对立事件的概率．
4.古典概型：
（1）试验的所有可能出现的基本事件；
（2）每一个基本事件出现的可能性．
把具有以上两个特征的概率模型称为古典概型．。
古典概型的概率计算公式： 。
5.几何概型：如果每个事件发生的概率只与成比例，则称这样的概率模型为几何概型．
几何概型的概率计算公式：。
6.（1）条件概率：设A和B为两个事件，且 P(A)>0，那么称为在“A已发生”的条件下，B发生的条件概率. 读作A 发生的条件下 B 发生的概率．
（2）
的性质：
（1）；
（2）可加性：如果B、C是两个互斥事件,则.
7．（1）相互独立事件的定义：
设A, B为两个事件，如果 P ( AB ) = P ( A ) P ( B ) , 则称事件A与事件B相互独立.
事件（或）是否发生对事件（或）发生的概率没有影响，这样的两个事件叫做相互独立事件
若与是相互独立事件，则与，与，与也相互独立
（2）相互独立事件同时发生的概率：
两个相互独立事件同时发生的概率，等于每个事件发生的概率的积一般地，如果事件相互独立，那么这个事件同时发生的概率，等于每个事件发生的概率的积，
即 ．
8．（1）独立重复试验的定义：指在同样条件下进行的，各次之间相互独立的一种试验
（2）独立重复试验的概率公式：一般地，如果在1次试验中某事件发生的概率是，那么在次独立重复试验中这个事件恰好发生次的概率．
十六。二项式定理
1．＝(n∈N)，这个公式称做二项式定理，右边的多项式叫做的二项展开式，其中的系数叫做二项式系数．式中的叫做二项展开式的通项，用表示，即通项公式＝是表示展开式的第r＋1项．

2．二项式定理中，二项式系数的性质有：
① 在二项式展开式中，与首末两项“等距离”的两项二项式系数相等，即：

② 如果二项式的幂指数是偶数，中间一项的二项式系数最大；如果二项式的幂指数是奇数，中间两项的二项式系数相等并且最大.
③ 二项式系数的和等于，即
④ 二项展开式中，偶数项系数和等于奇数项的系数和即=
十七。离散型随机变量的分布列、均值与方差
（一）离散型随机变量的分布列
1．如果随机试验的结果可以用一个变量来表示，那么这样的变量叫做，随机变量通常用希腊字母，等表示．
2．如果随机变量可能取的值，那么这样的随机变量叫做离散型随机变量．
3.分布列:设离散型随机变量ξ可能取得值为
x1，x2，…，x3，…，
ξ取每一个值xi（i=1，2，…）的概率为，则称表
ξ
x1
x2
…
xi
…
P
P1
P2
…
Pi
…
为随机变量ξ的概率分布，简称ξ的分布列
4．离散型随机变量分布列的性质
(1) 所有变量对应的概率值（函数值）均为非负数，即．
(2) 所有这些概率值的总和为即．
(3) 根据互斥事件的概率公式，离散型随机变量在某一范围内取值的概率等于它取这个范围内各个值的
5．特殊分布：
（1）二项分布：如果在一次试验中某事件发生的概率为P，那么在n次独立重复试验中这个事件恰好发生k次的概率，有了这个函数，就能写出它的分布列，由于是二项式展开式的通项，所以称这个分布为二项分布列，记作
（2）.两点分布列:
随机变量 X 的分布列是
ξ
0
1
P

像上面这样的分布列称为两点分布列．
两点分布又称0一1分布． ，，，．
称为成功概率．
（3）. 超几何分布列：
一般地，在含有M 件次品的 N 件产品中，任取 n 件，其中恰有X件次品数，则事件 {X=k｝发生的概率为
,
其中，且．称分布列
X
0
1
…

P

…

为超几何分布列．如果随机变量 X 的分布列为超几何分布列，则称随机变量 X 服从超几何分布
（二）离散型随机变量的均值与方差
1、均值或数学期望: 一般地，若离散型随机变量ξ的概率分布为
ξ
x1
x2
…
xn
…
P
p1
p2
…
pn
…
则称 …… 为ξ的均值或数学期望，简称期望．
均值或数学期望是离散型随机变量的一个特征数，它反映了离散型随机变量取值的平均水平2、均值或期望的一个性质:若(a、b是常数)，ξ是随机变量，则η也是随机变量，它们的分布列为
ξ
x1
x2
…
xn
…
η

…

…
P
p1
p2
…
pn
…
于是……
＝……)……)
＝，
由此，我们得到了期望的一个性质:
3、若ξ～B（n,p），则Eξ=np
4、 方差:（1）对于离散型随机变量ξ，如果它所有可能取的值是，，…，，…，且取这些值的概率分别是，，…，，…，那么,
＝＋＋…＋＋…
称为随机变量ξ的均方差，简称为方差，式中的是随机变量ξ的期望．
标准差:的算术平方根叫做随机变量ξ的标准差，记作．
随机变量ξ的方差、标准差也是随机变量ξ的特征数，它们都反映了随机变量取值的稳定与波动、集中与离散的程度；
（2）方差的性质：（1）；（2）；
（3）若ξ～B(n，p)，则np(1-p)