2025届安徽省六安一中高三11月第三次月考-数学（含答案）.docx

六安一中 2025 届高三年级第三次月考
数学试卷
时间：120 分钟
满分：150 分
一、选择题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。在每小题给出的四个选项中，只有一
项是符合题目要求的。
1
．已知复数 z = -i(1+ 2i)，其中 i 是虚数单位，则 z = （
）
A．1
B． 2
C．
D．
3
5
2
3
．已知等差数列{a }的前n 项和为 S ，若 S = 30, a = 4，则 S = （
）
n
n
3
8
9
A．54
B．63
C．72
D．135
．已知平面向量a,b 满足 a = 4 ，b = (1,2 2)，且(a + 2b)^ (3a - b)．则向量a 与向量b 的夹角是
（
）
π
π
2π
5π
A．
B．
C．
D．
6
3
3
6
4
．在等比数列{a }中，已知a = 3，a = 48， S = 93 ，则 n 的值为（
）
n
1
n
n
A．4
B．5
C．6
D．7
5
6
．已知数列{an }满足an+1 - a = 2n -11，且a =10 ，则a 的最小值是（
）
n
1
n
A．-15
B．-14
C．-11
D．-6
u
uur 1 uuur
．如图 DABC 是边长为 1 的正三角形， AN = NC, P 是 BN 上一点且
3
uuur
uuur 2 uuur
AP = mAB + AC ，则
AP× AB
= （
）
9
2
9
1
9
2
3
A．
B．
C．
D．1
7
．数列{a }的前 n 项和为 S ，满足 S + a =1024，则数列{a }的前 n 项积的最大值为（
）
n
n
n
n
n
A． 255
B． 245
C． 29
D．210
1

8
．已知O 是 DABC 所在平面内一点，且| AB |= 2 ,OA× AC = -1,OC × AC =1,则ÐABC 的最大值
为（
）
p
p
p
p
A．
B．
C．
D．
6
4
3
2
二、选择题：本题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分。在每小题给出的选项中，有多项符
合题目要求。全部选对的得 6 分，部分选对的得部分分，有选错的得 0 分。
9
．已知 z 为复数，设 z ， z ，iz 在复平面上对应的点分别为 A，B，C，其中 O 为坐标原点，则
（
）
A． OA = OB
B．OA
^
OC
C． AC = BC
D．OB∥ AC
1
0．已知等差数列{푎 }的首项为a ，公差为d ，前n 项和为 S ，若 S < S < S ，则下列说法正确的是
푛
n
10
8
9
1
（
）
A．当 n = 9 时， 最大
S
S < 0
B．使得
成立的最小自然数n =18
n
n
ì
S ü
S10
a10
C． a + a > a + a
D．数列í
n
ý 中最小项为
8
9
10
11
an
î
þ
1
1．已知数列{a }是各项为正数的等比数列，公比为 q，在a ,a 之间插入 1 个数，使这 3 个数
n
1
2
成等差数列，记公差为d ，在a ,a 之间插入 2 个数，使这 4 个数成等差数列，公差为
1
2
3
d ,L，在a ,a 之间插入 n 个数，使这n + 2 个数成等差数列，公差为dn ，则下列说法错误
2
n
n+1
的是（
）
A．当0 < q <1时，数列{dn}单调递减
B．当
q > 1 时，数列{d }
单调递增
n
C．当d > d 时，数列{d }单调递减
D．当d < d 时，数列{d }单调递增
1
2
n
1
2
n
三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分。
S6
S2
1
1
2．设正项等比数列{a }的前n 项和为 S ，若 S = 10S ，则 的值为
.
n
n
4
2
ì
an + 2,n为奇数
3．已知数列{
a }
中，
a =1
，
a
= í
î-
，则数列
{a }
前 2024 项的和
n
1
n+1
an + 2,n为偶数
n
为
.
1
4．在 DABC 中，内角 A, B, C 所对的边分别为
a,b,c ( a ¹ b
).已知c
=
2acos A ,则sin B -sin A
2

的最大值是
.
四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
1
5．（本小题满分 13 分）
设等比数列{a } a + a = 4 a - a = 8
满足
，
．
n
1
2
3
1
（1）求{
a }
的通项公式；
n
S + S = Sm+3
的前 n 项和，若 ，求 m．
m+1
（
2）记 Sn 为数列
{
log a }
3
n
m
1
6．（本小题满分 15 分）
在 DABC 中，角 A,B,C 所对的边分别为a,b,c ，且
a
2
- c2 = b b + c
(
) .
（
（
1）求角 A；
2）若a = 19, BA× AC = 3, BD = 2DC ，求 AD 的长.
1
7．（本小题满分 15 分）
已知数列{a }
的前 n 项和为
S
，
a =1, a = 3, S + Sn-1 = 2Sn + 2 (n ³ 2, nÎ N
*
)
.
n
n
1
2
n+1
a }
（
（
1）求证：数列{
为等差数列；
n
9
2
2）在数列{b }
中，
b = 3, a b = a b
，若
{bn}的前 n 项和为T
T <
，求证：
.
n
1
n
n
n+2 n+1
n
n
1
8．（本小题满分 17 分）
设各项均为正数的数列{a }的前 n 项和为 S ，已知2a = a + a ，数列{ S }是公差为d 的等差数列.
n
n
2
1
3
n
（
1）求证：
a = d
1
2
，并求出数列
{a }
的通项公式（用n,d
表示）；
n
（
2）设c 为实数，对满足
m + n = 3k m ¹ n
且
的任意正整数
m,n,k
S + S > cS
，不等式 都成立．求
k
m
n
9
证： 的最大值为 .
c
2
1
9．（本小题满分 17 分）
已知函数 f (x) = ex .
1）当 x ³ 0 时，求证：
f (x) - f (-x) ³ 2x
（
；
3

（
（
2）若 k > 0 ，且
f (x) ³ kx + b
在 R 上恒成立，求
2k + b
的最大值；
> lnn
1
1
1
+
+L+
3）设n ³ 2,nÎN* ，证明：
.
2
2
- 2
3
2
-3
n
2
- n
六安一中 2025 届高三年级第三次月考
数学试卷参考答案
题号
答案
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
D
B
C
B
A
A
B
B
AB
ABD
ABC
6
．A
u
uur 1 uuur
1
2
8
详解】Q AN = NC ，
\
AN = AC ，且\ AP = mAB + AC = mAB + AN
，
【
3
4
9
9
1
2
8
1
9
而 P, B, N 三点共线，\m + =1，即m =
，\
AP = AB + AC
，
9
9
9
u
uur uuur æ 1 uuur 2 uuurö uuur
1
9
2
9
2
9
AP× AB = ç AB + AC ÷× AB =
+
´cos 60o
=
所以
．B
.故选：A.
è
9
9
ø
7
【
详解】依题意，nÎ N* ， S + a =1024，则a = 512，当n ³ 2 时， S + an-1 =1024 ，
n-1
n
n
1
1
1
两式相减得2an = an-1 ，即an = an-1 ，因此数列{a }是以 512 为首项， 为公比的等比数列，
n
2
2
1
a = 512´( )n-1 = 210-n
{ }
单调递减，当n £10时，
a
a ³ 1
n
，当n ³11，a <1
，
于是
，显然数列
n
n
n
2
所以当n = 9 或n =10 时，数列{an }的前 n 项积最大，最大值为29 ´28 ´27 ´L´22 ´2´20 = 245 .
故选：B
8
．B
【
详解】设OA与CA 的夹角为a ,OC 与 AC 的夹角为 b ，
OA × AC cosa =1
\
AC
a
2
=
2
AC = 2
OC × AC cos b =1
a
2
+ 4 - 2
2
+ 2
2
\
cosÐABC =
=
³
4
a
4a
2
4

p
ÐABC 的最大值为
4
2
或由OC × AC -OA× AC = AC
=
2
1
0．ABD
ì
-a = -a -8d < 0
详解】根据题意：QìïS < S
ìS - S = a > 0
，即
，
9
1
【
í
8
9
,\
9
8
9
í
í
=
+
<
î
a10
a1
9d
0
îS < S
îS - S = a < 0
10 10
ï
1
0
9
9
ì
a1 > 0
d < 0
,a > 0,a < 0
n = 9
S
n
两式相加，解得：
í
，当
时， 最大，故 A 正确；
9
10
î
由 S < S ，可得到a + a < 0 < a ，所以a + a < 0 ，
1
0
8
9
10
9
8
11
a10
+
a11
- (a8
+
a9
) =
4d
<
0,a10
+
a11
+
a8
+
a9
< ，所以 a + a < a + a ，故 C 错误；
10 11
0
8
9
由以上可得：a > a > a >L > a > 0 > a > a >L ，
1
2
13
9
10
11
(
+
)
(
+
)
1
7 a
a17
18 a
a18
S =
1
=17a > 0 ，而 S =
1
= 9(a + a )< 0 ，
10
1
7
9
18
9
2
2
当n £17 时， Sn > 0 ；当n ³18时，
S < 0
n
；
S < 0
n
成立的最小自然数n =18，故 B 正确.
所以使得
S
Sn
an
当n £ 9，或n ³18时，
n > 0
；当9 < n <18 时，
< 0
；
an
由0 > a > a >L > a ,S > S > S >L > S > 0，
1
0
11
17
10
11
12
17
ì
S ü
ý 中最小项为
S10
a10
所以í
n
，故 D 正确. 故选：ABD.
a þ
î
n
1
1．ABC
【
详解】数列{an }是各项为正数的等比数列，则公比为q > 0 ，
( - )
q 1
n +1
an+1
-
n +1
an
an
由题意an+1 = a + (n +1)d ，得d =
=
，
n
< q <1时，dn < 0 ，有
dn+1
n
n
(
+ )
dn+1
dn
q n 1
0
=
<1，dn+1 > d ，数列{d }单调递增，A 选项错误；
n + 2
n
n
(
+ )
( + )
+
q n 1
q n 1
+
n 2
n +1
q > 1 时，dn > 0 ，
=
，若数列{dn}单调递增，则
>1， 即q >
，由
dn
n + 2
n 2
a1 (q -1) a1q(q -1)
3
3
nÎ N* ，需要q > ，故 B 选项错误；
d > d
>
，解得1< q <
时，
，
1
2
2
2
3
2
(
+ )
q n 1
n + 2
( + )
q n 1
n + 2
dn+1
dn
q > 1 时，dn > 0 ，由
=
，若数列{dn}单调递减，则
<1， 即
n + 2
n +1
1
n +1
3
1 (nÎ N* )
恒成立，C 选项错误；d < d 时，
q <
=1+
，而 1< q < 不能满足q <1+
n +1
1
2
2
5

(
- )
( - )
a q 1 a q q 1
3
，解得0 < q <1或q > ，由 AB 选项的解析可知，数列{dn}单调递增，D 选
1
<
1
2
3
2
项正确.故选：ABC
2．91
3．2024
1
1
p
2
6
1
4．
【详解】由c = 2acos A 得C = 2A；0 < A <
9
3
\
3)；则 f (t) = -4t3
sin B -sin A = sin 3A-sin A = -4 sin3 A+ 2 sin A ;令t = sin AÎ(0, + 2t ，
2
6
2 6
9
f (t) = -12
¢
t
2
+ 2 ，可得 =
为 f (t)的极大值点，\ f (t) 的最大值为
.
t
6
a = 3n-1 ；（2）m = 6.
n
1
5．（1）
详解】（1）设等比数列{a }的公比为 ，
q
【
n
ì
a + a q = 4
ìa =1
1
1
1
a = 3n-1
n
根据题意，有
í
，解得
í
，所以
；
……………………6 分
a1q2 - a1 = 8
q = 3
î
î
n(0 + n -1) n(n -1)
=
（
2）令b = log a = log 3n-1 = n -1 ，所以 S =
，
，
……………………9 分
n
3
n
3
n
2
2
m(m -1) m(m +1) (m + 2)(m + 3)
根据 Sm + Sm+1 = Sm+3 ，可得
+
=
2
2
2
整理得m2 - 5m - 6 = 0 ，因为m > 0，所以m = 6.
………………13 分
2
π
13
3
2 7
3
1
6．(1)
(2)
或
3
(
)得b2 c2 a2 = -bc ，
+ c2 - a2 -bc
【
详解】（1）由
a
2
- c2 = b b + c
+
-
b
2
1
2π
则由余弦定理得cos A =
=
= - ，Q0 < A < π ，\ A =
.…………5 分
2
bc
2bc
2
3
uuur uuur
uuur uuur
1
（
2）由 BA× AC = -AB× AC = -bccos A = bc = 3，解得bc = 6 ①，
2
=
19
，\
a
2
= b2 + c2 + bc =19
，则b
2
+ c2 =13②，
…………9 分
Qa
联立①②可得，b = 2,c = 3，或b = 3,c = 2 .
u
uur 1 uuur 2 uuur
= (
AD)
BD = 2DC ，\
AD AB 2 AC
-
-
，则
AD
=
AB
+
AC ，且 AB× AC = -3 ，
Q
3
3
6

u
uur
1 uuur
uuur
4 AC
uuur uuur
1
2
= (
2
2
× )= (
所以
AD
AB
+
+
4AB AC
c
2
+
- )
4b2 12
，
9
9
u
uur
1
13
9
13
3
2
当b = 2,c = 3时， AD
=
(9 16 12)
+
-
=
，则 AD 长为
；
9
uuur
1
28
2 7
3
2
当b = 3,c = 2 时， AD
=
(4 36 12)
+
-
=
，则 AD 长为
.
9
9
1
3
2 7
3
综上所述， AD 的长为
或
.
……………………15 分
- an-1 = 2an (n ³ 3)
……………6 分
n+1
3
a
- an = 2(n ³ 2)
a - a = 2
1
7．（1）由题意：
又
n+1
2
1
a
a
∴
又
数列{ }为等差数列.或由原式递推得
n
2
a = a + a
3
，可证.
2
1
a = 2n -1
a
= 2n + 3
2n+2
（
∴
∴
2）由（1）知：
，
………………8 分
n
bn+1
bn
2n -1
2n + 3
bn
bn-1
b3
b
2
b
1
9
9
1
1
+
=
b =
n
×
L
×
×b1 =
=
（
-
)
∴
b
(2n -1)(2n +1)
bn-1 bn-2
2
2n -1 2n 1
2
9
1 1 1
1
1
9
1
9
2
T = (1- + - +L+
-
) = （ 1-
) <
.
…………15 分
n
2n -1 2n +1
2n +1
2
3 3 5
2
1
8．
【
详解】（1）由题意知：d > 0 ， Sn = S + (n -1)d = a + (n -1)d
1
1
2
a = a + a Þ 3a = S Þ 3(S - S ) = S ，3[( a + d)2 - a1]2 = ( a1 + 2d)2 ,
2
1
3
2
3
2
1
3
1
a - 2 a ×d + d
2
= 0, a = d,a = d
2
化简，得：
…………6 分
1
1
1
1
S = d + (n -1)d = nd,S = n2d
2
2
，
n
n
当n ³ 2 时，
a = S - S = n2d
- (n -1)2 d
2
= (2n -1)d
2
，适合n =1情形．
n
n
n-1
a = (2n -1)d
2
故所求
…………9 分
恒成立．
n
m
2
+ n2
S + S > cS Þ m2d
2
+ n2d
2
> c ×k
2
d
2
Þ m2 + n2 > c ×k
2
， c <
（
2）
m
n
k
k
2
m
2
+ n2
9
2
9
2
又m + n = 3k 且m ¹ n ，2(m2 + n2 ) > (m + n)2 = 9k
Þ
>
，故c £
，
…………15 分
2
k
2
9
9
2
9
2
é
ë
9
ù
û
+
ö
Sn
-
Sk
=
m
2
d
2
+
n
2
d
2
-
k
2
d
2
=
d
2
ê m n
(
+
)
2
-
k
2
-
2mnú
当c = 时，
S
，
m
2
2
æ
9
2
2
2
9
k
9k
=
d
2
k
2
- 2mn÷
£
m ¹ n
<
ç
，
由基本等式可得m + n 3k 2 mn 即mn
=
³
，而
，故mn
，
è
ø
4
4
7

9
9
2
故 S + S - S > 0，故即 的最大值为 ．
c
…………17 分
m
n
k
2
1
9．
1
详解】（1）令 g(x) = e - 2x - e (x ³ 0) ，所以
x
-x
g¢(x)= ex
+
- 2(x ³ 0)，
【
e
x
1
所以 g¢(x)= ex - 2 + e
-x
³ 2 - 2 = 0，当且仅当e
=
Þ ex
=1，即
时，等号成立，
…………5 分
F¢(x) < 0
x > ln k x < ln k
得出 ；由
x
x = 0
e
x
所以当 xÎ[0,+¥)时， g¢(x)³ 0, g (x)单调递增，则 g (x)³ g (0)= 0 ；
（
\
令
2）令 F(x) = ex kx b ，
-
-
F¢(x) = ex - k
；由
F¢(x) > 0
得出
F(x)min = F(ln k) = k - k ln k -b ³ 0 \ £ -
\
2k + b £ 3k k ln k
-
；
b k k ln k
G(k) = 3k - k ln k
G¢(k) = 2 - ln k
,易得 e2 是的 G(k)极大值点。\G(k) £ G(e2 ) = e2
,k > 0 ；
，
2
k + b 的最大值为e2 ；
………………11 分
（
3）由（1）知，ex
- 2x -
e-x 0, xÎ(0,+¥ )，令 x = lns(s >1)，则 s - 2lns s-1 0 ，即
>
-
>
1
1
n -1
s - > 2lns(s >1)，设 s = 1+
,n ³ 2,nÎN* ，则满足 s >1，所以
s
1
n -1
1
n -1
1
1
1
+
-
> 2ln 1+
æ
è
1 ö
>
lnç1+
n -1 ，即
÷，所以
n -1ø
1
1
1
+
1
+
n -1
n -1
1
æ n ö
è n -1ø
>
ln
÷ =
lnn ln n 1 ,
- ( - )
所以
ç
n
2
- n
1
1
1
+
+L+
>
ln2 ln1 ln3 ln2
-
+
-
+L+
- ( - ) =
lnn ln n 1 lnn,
2
2
- 2
3
2
-3
n
2
- n
1
1
1
+
+L+
> lnn
即
.
………………17 分
2
2
- 2
3
2
-3
n
2
- n
8