初中数学竞赛二次函数习题.docx

§6.3二次函数
6.3.1
1.设抛物线y=2x2，把它向右平移P个单位，或向下平移q个单位，都能使得抛物线与直线y=x-4恰好有一个交点，求p、q的值；

2.把抛物线y=2x2向左平移p个单位，向上平移q个单位，则得到的抛物线经过点（1,3）与（4,9），求p,q的值。

3.把抛物线y=ax2+bx+c向左平移三个单位后，所得的图像是经过点-1，-12的抛物线y=ax2,求原二次函数的解析式。

6.3.2 已知抛物线y=ax2+bx+c的一段图像如图所示
（1）确定a，b，c的符号；
（2）求a+b+c的取值范围

-1 O 1

-1

6.3.3 一条抛物线y=ax2+bx+c的顶点为（4，-11），且与x轴的两个交点的横坐标为一正一负，则a、b、c中为正数的（）

6.3.4已知二次函数y=ax2+bx+c（其中a是正整数）的图像经过点A（-1,4）与点B（2,1），并且与x 轴有两个不同的交点，求b+c的最大值。

6.3.5 RT三角形ABC，的三个顶点A、B、C均在抛物线y=x2上，并且斜边AB 平行于X轴，若斜边上的高位h，则（）
A．h<1 B.h=1 c. 1<h<2 d. h>2

6.3.6 在直角坐标系中，抛物线y=x2+mx-34m2(m>0）与X轴交与A、B两点，若A、B两点到原点的距离分别为OA,OB，且满足1OB-1OA=23，求M的值。

6.3.7不论M取任何实数，抛物线y=x2+2mx+m2+m-1的顶点都在一条直线上，求这条直线的函数解析式。

6.3.8设a、b为常数，并且b<0，抛物线y=ax2+bx+a2+2a-4的图像为图中的四个图像之一，求a的值。

-1 1 -1 1

6.3.9已知抛物线y=ax2-a+cx+c(其中a≠c)不经过第二象限。
（1）判断这条抛物线的顶点A（x0,y0)所在象限，并说明理由。
（2）若经过这条抛物线顶点A（x0,y0)的直线y=-x+k与抛物线的另一个交点为B(a+ca,-c),求抛物线的解析式

6.3.10设二次函数f(x)=ax2+bx+c满足条件：f0=2,f(1)=-1,且其图像在X轴上所截得的线段长为22，求这个二次函数的表达式。

6.3.11 设二次函数f(x)=ax2+bx+c,当x=3时取得的最大值10 ，并且它的图像在x轴上截得的线段长度为4，求a、b、c的值。

6.3.12 如图, 点A，C在函数y=33xx>0的图像上，点B,D都在x轴上，使得∆OAB，
∆BCD都是等边三角形，求D点的坐标

A

C

O E B F D

6.3.13 已知点A、B的坐标分别为A（1,0）、B（2,0），若二次函数y=x2+a-3x+3的图像与线段AB恰有一个交点，求a的取值范围。

6.3.14 已知关于正整数n的二次式y=n2+an(a为常实数），若当且仅当n=5 时，Y有最小值，求实数a的取值范围。

6.3.15已知f(x)=x2+6ax-a,y=fx的图像与x轴有两个不同的交点（x1,0)、(x2,0),且a（1+x1)(1+x2)-31-6a-x11-6a-x2=8a-3, 求a的值。

6.3.16已知二次函数y=x2-m-3x-m,求所有的m值，使得此二次函数图像与x轴的两个交点不可能都落在x 轴的正半轴上。

6.3.17设有二次函数 fx=x2+bx+c与x 轴交于两点A、B，现有直线y=x-1过其中一交点且与抛物线交于另一点C，又若s∆abc=3, 求抛物线的方程。

C

O A B

6.3.18 已知二次函数y=(m-m2)x2+2m2-2m+1m≠0,1,求证：对任意m≠0,1的实数，这些二次函数的图像恒过定点A,B，并求出A,B的坐标。

6.3.19 设A,B是抛物线y=2x2+4x-2上的点，原点位于线段AB的中点处，试求：A,B两点的坐标。

A

O

B

6.3．20已知二次函数y=x2+2m+1x-m+1
(1)随着m的变化，该二次函数图像的顶点P是否都在某条抛物线上？如果是，请求出该抛物线的函数表达式；如果不是，请说明理由；
（2）如果直线y=x+1经过二次函数y=x2+2m+1x-m+1图像的顶点P，求此时的m的值。

6.3.21设有整系数二次函数f(x)=ax2+bx+c,其图像开口方向朝上，且与x轴有两个交点，分别在（-1,0），（1，+∞）内，且fx=0.的判断式等于5，试求a,b,c的值。

6.3.22求所有的整系数二次函数f(x)=ax2+bx+ca≠b,使得fa=b,f(b)=a

6.3.23 已知二次函数y=ax2+bx+c(a<b)的图像恒不在x轴下方，且m<a+b+cb-a恒成立，求实数m的取值范围。

6.3.24 已知方程x2+bx+c=0有两个实数根s,t，并且s<2,t<2,证明：
（1）c<4
(2)b<4+c

6.3.25设函数fx=x2+x+12n≤x≤n+1,
这里n是正整数，则在f(x)的值域中有多少个整数？

6.3.26设m,n为正整数，且m≠2,如果对一切实数t,二次函数y=x2+3-mtx-3mt的图像与x轴的两个交点间的距离不小于2t+n,求m,n的值。

6.3.27 设m,n为正整数，且m≠2,二次函数y=x2+3-mtx-3mt的图像与x轴的两个交点间的距离为d1,二次函数y=-x2+2t-nx+2nt的图像与x轴的两个交点间的距离为d2,如果d1≥d2，对于一切实数t 恒成立，求m,n的值。

6.3.28已知函数f(x)=-9x2-6ax-a2+2a -13≤x≤13,有最大值-3，求实数a的值

6.3.29设a,b为常实数，当k 取任意实数时，函数y=k2+K+1x2-2a+k2x+k2+3ak+b的图像与x轴都交于点A1，0
（1）求a,b的值
（2）若函数图像与x轴的另一个交点为B，当k变化时，求AB的最大值。

6.3.30若抛物线y=x2+ax+2
与连结两点M0,1、N2,3的线段包括M,N两点有两个相异的交点，求a的取值范围。