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三角函数典型例题
1 ．设锐角的内角的对边分别为,.
(Ⅰ)求的大小;
(Ⅱ)求的取值范围.
【解析】:(Ⅰ)由,根据正弦定理得,所以,
由为锐角三角形得.
(Ⅱ)

.
2 ．在中,角A． B．C的对边分别为a、b、c,且满足(2a-c)cosB=bcos C．
(Ⅰ)求角B的大小;
20070316
(Ⅱ)设且的最大值是5,求k的值.
【解析】:(I)∵(2a-c)cosB=bcosC,
∴(2sinA-sinC)cosB=sinBcos C．
即2sinAcosB=sinBcosC+sinCcosB
=sin(B+C)
∵A+B+C=π,∴2sinAcosB=sinA．
∵0<A<π,∴sinA≠0.
∴cosB=.
∵0<B<π,∴B=.
(II)=4ksinA+cos2A．
=-2sin2A+4ksinA+1,A∈(0,)
设sinA=t,则t∈.
则=-2t2+4kt+1=-2(t-k)2+1+2k2,t∈.
∵k>1,∴t=1时,取最大值.
依题意得,-2+4k+1=5,∴k=.
3 ．在中,角所对的边分别为,.
I.试判断△的形状;
II.若△的周长为16,求面积的最大值.
【解析】:I.
,所以此三角形为直角三角形.
II.,当且仅当时取等号,
此时面积的最大值为.
4 ．在中,a、b、c分别是角A． B．C的对边,C=2A,,
(1)求的值;
(2)若,求边AC的长｡
【解析】:(1)

(2) ①
又 ②
由①②解得a=4,c=6

,即AC边的长为5.
5 ．已知在中,,且与是方程的两个根.
(Ⅰ)求的值;
(Ⅱ)若AB,求BC的长.
【解析】:(Ⅰ)由所给条件,方程的两根.
∴
(Ⅱ)∵,∴.
由(Ⅰ)知,,
∵为三角形的内角,∴
∵,为三角形的内角,∴,
由正弦定理得:
∴.
6 ．在中,已知内角A． B．C所对的边分别为a、b、c,向量,,且｡
(I)求锐角B的大小;
(II)如果,求的面积的最大值｡
【解析】:(1) Þ 2sinB(2cos2-1)=-cos2B
Þ2sinBcosB=-cos2B Þ tan2B=-
∵0<2B<π,∴2B=,∴锐角B=
(2)由tan2B=- Þ B=或
①当B=时,已知b=2,由余弦定理,得:
4=a2+c2-ac≥2ac-ac=ac(当且仅当a=c=2时等号成立)
∵△ABC的面积S△ABC= acsinB=ac≤
∴△ABC的面积最大值为
②当B=时,已知b=2,由余弦定理,得:
4=a2+c2+ac≥2ac+ac=(2+)ac(当且仅当a=c=-时等号成立)
∴ac≤4(2-)
∵△ABC的面积S△ABC= acsinB=ac≤ 2-
∴△ABC的面积最大值为2-
7 ．在中,角A． B．C所对的边分别是a,b,c,且
(1)求的值;
(2)若b=2,求△ABC面积的最大值.
【解析】:(1) 由余弦定理:cosB=
+cos2B=
(2)由 ∵b=2,
+=ac+4≥2ac,得ac≤, S△ABC=acsinB≤(a=c时取等号)
故S△ABC的最大值为
8 ．已知,求的值｡
【解析】;
9 ．已知
(I)化简
(II)若是第三象限角,且,求的值｡
【解析】

10．已知函数f(x)=sin2x+sinxcosx+2cos2x,xR.
(1)求函数f(x)的最小正周期和单调增区间;
(2)函数f(x)的图象可以由函数y=sin2x(x∈R)的图象经过怎样的变换得到?
【解析】:(1)

的最小正周期
由题意得 即
的单调增区间为
(2)先把图象上所有点向左平移个单位长度,
得到的图象,再把所得图象上所有的点向上平移个单位长度,
就得到的图象｡
11．已知,,｡
(1)求的单调递减区间｡
(2)若函数与关于直线对称,求当时,的最大值｡
【解析】:(1)
∴当时,单调递减
解得:时,单调递减｡
(2)∵函数与关于直线对称
∴

∵ ∴ ∴
∴时,
12．已知,求下列各式的值;
(1);
(2)
【解析】:
(1)
(2)

13．设向量,函数
(I)求函数的最大值与最小正周期;
(II)求使不等式成立的的取值集合｡
【解析】

14．已知向量,,与为共线向量,且
(Ⅰ)求的值;
(Ⅱ)求的值.｡
【解析】:(Ⅰ) 与为共线向量, ,
即
(Ⅱ) ,
,

又,,
因此,
15．如图,A,B,C,D都在同一个与水平面垂直的平面内,B,D为两岛上的两座灯塔的塔顶｡测量船于水面A处测得B点和D点的仰角分别为,,于水面C处测得B点和D点的仰角均为,AC=0.1km｡试探究图中B,D间距离与另外哪两点距离相等,然后求B,D的距离(计算结果精确到0.01km,1.414,2.449)
【解析】:在中,=30°,=60°-=30°,
所以CD=AC=0.1
又=180°-60°-60°=60°,
故CB是底边AD的中垂线,所以BD=BA
在中,,
即AB=
因此,
故 B．D的距离约为0.33km｡
16．已知函数(其中)的图象与x轴的交点中,相邻两个交点之间的距离为,且图象上一个最低点为.
(Ⅰ)求的解析式;(Ⅱ)当,求的值域. w.w.w.k.s.5.u.c.o.m
【解析】： (1)由最低点为得A=2.
由x轴上相邻的两个交点之间的距离为得=,即,
由点在图像上的
故
又
(2)
当=,即时,取得最大值2;当
即时,取得最小值-1,故的值域为[-1,2]
17．如图,为了解某海域海底构造,在海平面内一条直线上的A,B,C三点进行测量,已知,,于A处测得水深,于B处测得水深,于C处测得水深,求∠DEF的余弦值｡
【解析】:作交BE于N,交CF于M.
,
,

在中,由余弦定理,

18．已知，，
求（1）（2）（3）
【解析】：（1）
19．已知函数（， ，）的一段图象如图所示，
（1）求函数的解析式；
（2）求这个函数的单调递增区间。

【解析】：（1）由图象可知： ；
∴ ，又∵为“五点画法”中的第二点
∴ ∴所求函数解析式为：
（2）∵当时，单调递增
∴
20．已知的内角A． B．C所对边分别为a、b、c，设向量，
，且.
（Ⅰ）求的值；
（Ⅱ）求的最大值.
【解析】（Ⅰ）由，得
即
也即
∴
∴ ∴
21．已知函数，求：
（1）函数的定义域和值域； （2）写出函数的单调递增区间。
【解析】:

（Ⅰ）函数的定义域

函数的值域为
（Ⅱ）令得
∴函数的单调递增区间是
22．如图为一个观览车示意图．该观览车圆半径为4.8m，圆上最低点与地面距离为0.8m，60秒转动一圈．途中与地面垂直．以为始边，逆时针转动角到．设点与地面距离为．
（1）求与的函数解析式；
（2）设从开始转动，经过80秒到达，求.

【解析】：（1）∵，
∴
（2）∵，，∴，(m)
23．设函数
（1）求函数上的单调递增区间；
（2）当的取值范围。
【解析】：（1），

（2）当，

24．已知函数，．
（1）求的最大值和最小值；
（2）在上恒成立，求实数的取值范围．
【解析】（Ⅰ）
．
又，，
即，
．
（Ⅱ），，
且，
，即的取值范围是．
25．在锐角△ABC中,角A． B．C的对边分别为a、b、c,已知
(I)求角A;
(II)若a=2,求△ABC面积S的最大值｡
【解析】:(I)由已知得
又在锐角△ABC中,所以A=60°,[不说明是锐角△ABC中,扣1分]
(II)因为a=2,A=60°所以
而
又
所以△ABC面积S的最大值等于

26．甲船由A岛出发向北偏东45°的方向作匀速直线航行,速度为15浬/小时,在甲船从A岛出发的同时,乙船从A岛正南40浬处的B岛出发,朝北偏东θ(的方向作匀速直线航行,速度为10 浬/小时.(如图所示)
(Ⅰ)求出发后3小时两船相距多少浬?
(Ⅱ)求两船出发后多长时间相距最近?最近距离为多少浬?
【解析】:以A为原点,BA所在直线为y轴建立如图所示的平面直角坐标系.
设在t时刻甲、乙两船分别在P(x1, y1) Q (x2,y2).

(I)令,P、Q两点的坐标分别为(45,45),(30,20)
.
即两船出发后3小时时,相距锂
(II)由(I)的解法过程易知:

∴当且仅当t=4时,|PQ|的最小值为20
即两船出发4小时时,相距20 海里为两船最近距离.
27．在锐角中，已知内角A． B．C所对的边分别为a、b、c，且(tanA－tanB)＝1＋tanA·tan B．
(1)若a2－ab＝c2－b2，求A． B．C的大小；
(2)已知向量＝(sinA，cosA)，＝(cosB，sinB)，求｜3－2｜的取值范围．
【解析】

D
28．如图，某住宅小区的平面图呈扇形AO C．小区的两个出入口设置在点A及点C处，小区里有两条笔直的小路，且拐弯处的转角为．已知某人从沿走到用了10分钟，从沿走到用了6分钟．若此人步行的速度为每分钟50米，求该扇形的半径的长（精确到1米）．
【解析】解法一：设该扇形的半径为r米. 由题意，得
CD=500（米），DA=300（米），∠CDO=
在中，
即
Ｄ
解得（米）
解法二：连接AC，作OH⊥AC，交AC于H
由题意，得CD=500（米），AD=300（米），

∴ AC=700（米）

在直角
∴ （米）
29．已知角的顶点在原点,始边与轴的正半轴重合,终边经过点.
(1)求的值;
(2)定义行列式运算,求行列式的值;
(3)若函数(),
求函数的最大值,并指出取到最大值时x的值
【解析】:(1)∵ 角终边经过点,
∴.
(2),.
.
(3) (),
∴函数
(),
∴, 此时.
30．已知函数.
(Ⅰ)求函数的最小正周期;(Ⅱ)当时,求函数的最大值,并写出x相应的取值.
【解析】:(Ⅰ)因为
( )
所以,,即函数的最小正周期为
(Ⅱ)因为,得,所以有
,即
所以,函数的最大值为
此时,因为,所以,,即