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虹口区2021学年度第二学期学生学习能力诊断测试
高三数学 试卷
（时间120分钟，满分150分） 2022.6
一．填空题（1～6题每小题4分，7～12题每小题5分，本大题满分54分）
1．不等式的解集为 ．
2．函数的值域为_____________.
3．函数的最小正周期为．
4．若为的二项展开式中项的系数，则 ．
5．在所有由1，2，3，4，5这五个数字组成的无重复数字的五位数中，任取一个数，则取出的数是奇数的概率为 .
6．若实数，满足，则的取值范围是_____________.
7．已知向量满足，，，则 ．
8．已知椭圆：的左、右两个焦点分别为、，过的直线交椭圆于，两点．若是等边三角形，则的值等于_ __.
9．已知等比数列的前项和为，公比，且为与的等差中项，．若数列满足，其前项和为，则 ．
10．已知，，是的内角，若，其中为虚数单位，则等于 ．
11． 设，，三条直线，，，则与的交点到的距离的最大值为 ．
12．已知是定义域为的奇函数，且图像关于直线对称，当时，，对于闭区间，用表示在上的最大值．若正数满足，则的值可以是 .（写出一个即可）.
二．选择题（每小题5分，满分20分）
13．已知，是平面内的两条直线，是空间的一条直线，则“”是“且”的 ……………………………………………………………………………（ ）．
充分不必要条件 必要不充分条件 充要条件 既不充分条件也不必要条件
14．已知双曲线的参数方程为（为参数），则此双曲线的焦距等于…（ ）．
15．函数是定义域为的奇函数，且对于任意的，都有成立．如果，则实数的取值集合是 ……………………………………（ ）．
16．在数列中，，， ．对于命题：
①存在，对于任意的正整数，都有.
②对于任意和任意的正整数，都有.
下列判断正确的是……………………………………………………………………（ ）．
①是真命题，②也是真命题 ①是真命题，②是假命题
①是假命题，②是真命题 ①是假命题，②也是假命题
三．解答题（本大题满分76分）
17．（本题满分14分.第（1）小题7分，第（2）小题7分.）
如图，四棱锥的底面是矩形，底面，为的中点，，直线与平面所成的角为.
（1）求四棱锥的体积；
（2）求异面直线与所成的角的大小.
18．（本题满分14分.第（1）小题7分，第（2）小题7分.）
已知函数是定义域为的奇函数．
（1）求实数的值，并证明在上单调递增；
（2）已知且，若对于任意的、，都有恒成立，求实数的取值范围．
19．（本题满分14分.第（1）小题７分，第（2）小题７分.）
如图，某公园拟划出形如平行四边形的区域进行绿化，在此绿化区域中，分别以和为圆心角的两个扇形区域种植花卉，且这两个扇形的圆弧均与相切.
（1）若（长度单位：米），求种植花卉区域的面积；
（2）若扇形的半径为10米，圆心角为，则多大时，平行四边形绿地占地面积最小？
20．（本题满分16分.第（1）小题３分，第（2）小题６分，第（3）小题７分）
已知抛物线的焦点为，准线为，记准线与轴的交点为，过作直线交抛物线于，两点.
（1）若，求的值；
（2）若是线段的中点，求直线的方程；
（3）若，是准线上关于轴对称的两点，问直线与的交点是否在一条定直线上？请说明理由.
21．（本题满分18分.第（1）小题4分，第（2）小题6分，第（3）小题8分）.
对于项数为的数列，若满足：，且对任意，与中至少有一个是中的项，则称具有性质.
（1）分别判断数列和数列是否具有性质，并说明理由；
（2）如果数列具有性质，求证：,；
（3）如果数列具有性质，且项数为大于等于5的奇数.判断是否为等比数列？并说明理由．
2021学年度虹口区数学试卷 本卷共4页 第4页
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虹口区2021学年度第二学期期中学生学习能力诊断测试
高三数学 答案
一．填空题（1～6题每小题4分，7～12题每小题5分，本大题满分54分）
1． 2． 3． 4． 5． 6．
7． 8． 9． 10． 11． 12．或
二．选择题（每小题5分，满分20分）
13． 14． 15． 16．
三．解答题（本大题满分76分）
17．（本题满分14分.第（1）小题7分，第（2）小题7分.）
解：（1）联结，因为底面，所以即为直线与平面所成的角，所以．………………3分
又，所以，所以四棱锥的体积．………………7分
（2）方法1：如图建立空间直角坐标系，则，
所以 ．……11分
设向量的夹角为，则 ，
，所以异面直线所成的角.…………14分
方法2：取中点，联结，则，所以是异面直线所成的角（或其补角），以下略.
18．（本题满分14分.第（1）小题7分，第（2）小题7分.）
解：（1）因为函数是定义域为的奇函数，所以，得．
当时，，，所以是奇函数成立，所以．…………4分
下面证明在上单调递增．
任取，设，则，
因为在上单调递增，得，所以，所以在上单调递增．………………7分
（2）由题知，只需，由（1）知，在上单调递增，所以，所以，．…………11分
当时，在上单调递增，所以，所以．
当时，在上单调递减，所以，所以．
综上，实数的取值范围是．………………14分
19．（本题满分14分.第（1）小题７分，第（2）小题７分.）
解：（1）设扇形的半径为，在中，，得.……3分
在中，由，得，所以种植花卉区域的面积为（平方米）.……7分
（2）设平行四边形绿地占地面积为，过点作于点，因为圆弧均与相切，所以即为切点，则，设，，所以，.…………9分
解法一：，得，在中，，得，………………11分
所以
，，
因为，所以当即时，平行四边形绿地占地面积最小，且最小值为平方米.…………14分
解法二：在中，，所以.
在中，，所以，则，则，令，则
因为，所以，当且仅当即时等号成立，又，得，
所以时，平行四边形绿地占地面积最小，且最小值为平方米.
20．（本题满分16分.第（1）小题３分，第（2）小题６分，第（3）小题７分）
解：（1），，.
………………3分
（2） ，由是线段的中点得，
又由得，解得.……7分
直线的方程为，即.……9分
（3）设，.直线.
由，得，有.…………11分
又，即……①
，即……② …………13分
由①②得，整理得，从而，解得.所以直线与的交点的横坐标为,从而交点在定直线上.………………16分
21．（本题满分18分.第（1）小题4分，第（2）小题6分，第（3）小题8分）.
解:（1），，，，，均是数列中的项，数列具有性质．…………2分
而，都不是数列中的项，数列不具有性质．……4分
（2），不是数列中的项，必是数列中的项，．
……………………6分
又 , ，和不是数列中的项，和是数列中的项．由于，，．…………10分
（3）当数列的项数时
，不是数列中的项，必是数列中的项，．对于满足的正整数，均有，不是数列中的项，从而是数列中的项，又，，从而有（），，从而，，……，,．………………14分
对于满足的正整数，均有，，又，
，从而，
，从而，，……，,．
从而有．
所以对于项数大于等于5且具有性质的数列，是以1为首项，公比为的等比数列．………………18分
2021学年虹口区数学答案 本卷共5页 第9页
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