解析：辽宁省大连市普兰店区第一中学2019-2020学年高二上学期期末考试数学试题(解析版).doc

普一2019—2020学年度上学期期末考试
高二数学
一.单项选择题（本题共10小题，每小题4分，共40分，每小题只有一个正确答案）
1.已知全集集合，集合，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】
先求集合的补集,再与求交集即可.
【详解】因为,,
,
故选A.
【点睛】本题考查了集合的补集和交集运算,属基础题.
2.复数（为虚数单位）的虚部是（）
A. -1 B. 1 C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】
根据复数除法的计算公式计算，由复数的概念即可得到结果.
【详解】因为，
所以虚部是1，故选B.
【点睛】本题主要考查了复数的除法运算及复数的概念，属于容易题.
3.计算的结果为（　　）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】
利用同底数幂运算法则完成计算.
【详解】因为，
故选C
【点睛】本题考查同底数幂的计算，难度较易.一般有：，.
4.函数的图象是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】
由函数，根据一次函数的图象，即可判定，得到答案.
【详解】由题意，函数，
根据一次函数的图象，可得函数的图象为选项C.
故选C.
【点睛】本题主要考查了函数的图象的识别，其中解答中正确化简函数的解析式，利用一次函数的图象判定是解答的关键，着重考查了数形结合思想，以及识图能力，属于基础题.
5.圆圆心在(　　)
A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限
【答案】A
【解析】
【分析】
将圆的一般方程化简为标准方程，即可得出答案．
【详解】化简得到，圆心为 ，在第一象限
故选A
【点睛】本题考查圆的一般方程与标准方程的互化，属于基础题．
6.函数的定义域为（　　）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】
计算每个函数的定义域,再求交集得到答案.
【详解】
故答案选C
【点睛】本题考查了函数的定义域，意在考查学生的计算能力.
7.设，，夹角为，则等于（　　）
A. 37 B. 13 C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】
根据题中条件，由，即可求出结果.
【详解】解：∵，，夹角为，
∴

∴．
故选：C．
【点睛】本题主要考查求向量的模，熟记向量的模的计算公式即可，属于常考题型.
8.若直线与直线平行，则（ ）
A. 2或－1 B. －1 C. 2 D.
【答案】B
【解析】
【分析】
根据直线平行关系可得方程组，解方程组求得结果.
【详解】由与平行得：，解得：
本题正确选项：
【点睛】本题考查根据直线的平行关系求解参数值，易错点是忽略直线不能重合，造成增根.
9.若正实数a，b满足，则下列说法正确的是（ ）
A. ab有最小值 B. 有最小值
C. 有最小值4 D. 有最小值
【答案】C
【解析】
【分析】
可结合基本不等式性质对四个选项一一证明；对应是积有最大值；对B变形为，再结合基本不等式求解；对C，先通分，再结合基本不等式求值；对D，可变形为，再结合基本不等式求值
【详解】，，且；；；
有最大值，选项A错误；
，，
即有最大值，B项错误
，有最小值4，C正确；
， 的最小值是，不是，D错误．
故选C
【点睛】本题考查基本不等式的应用，熟练掌握基本不等式及其相关变形式，以及等式成立的条件，是正确解题的关键，属于中档题
10.定义在上的偶函数满足，且在[－1，0]上单调递减，设，，，则、，大小关系是（）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】
由可求函数周期2，利用周期及偶函数可转化为在[－1，0]上的函数值，利用单调性比较大小.
【详解】∵偶函数满足，∴函数的周期为2.
由于，
，
，
.且函数在[－1，0]上单调递减，∴.
【点睛】本题主要考查了函数的周期性，单调性及偶函数的性质，属于中档题.
二.多项选择题(本题共3小题，每题4选项2正确，选对一个得2分，不选或选错得0分)
11.在如图所示的“茎叶图”表示的数据中，众数和中位数分别（ ）

A. 23 B. 26 C. 30 D. 31
【答案】BD
【解析】
【分析】
由茎叶图，根据众数和中位数的定义求解.
【详解】由茎叶图知：众数是31，中位数是26.
故选：BD
【点睛】本题主要考查茎叶图的应用以及众数和中位数，还考查了理解辨析的能力，属于基础题.
12.下列函数中，在区间上是增函数的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】AB
【解析】
【分析】
根据基本函数的图象和性质判断.
【详解】A. 在区间上是增函数，故正确.
B. 在区间上是增函数，故正确.
C. 在区间上是减函数，故错误.
D. 在区间上是减函数，故错误.
故选：AB
【点睛】本题主要考查基本函数单调性，还考查了理解辨析的能力，属于基础题.
13.若直线与圆相切，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】AC
【解析】
【分析】
根据直线与圆相切，则圆心到直线的距离等于半径求解.
【详解】因为直线与圆相切，
所以，
解得
故选：AC
【点睛】本题主要考查直线与圆的位置关系，还考查了运算求解的能力，属于中档题.
三.填空题（本题共4小题，每小题4分，共16分）
14.直线的倾斜角大小为___________.
【答案】
【解析】
【分析】
根据直线的一般式化成斜截式得直线的斜率，再由得直线的倾斜角，得解.
【详解】由得，所以直线的斜率，设直线的倾斜角为且，由得直线的倾斜角为.
故填：.
【点睛】本题考查直线的一般式化成斜截式得直线的斜率，再得直线的倾斜角的问题，属于基础题.
15.已知函数，则__________
【答案】5
【解析】
【分析】
把自变量的值根据所在的范围代入解析式，由内向外依次计算．
【详解】因为,所以.
【点睛】分段函数求值，要根据自变量所属的范围代入相应定义域上的解析式求值，如果复合多层时，一般由内向外依次进行．
16.已知是函数的零点，则实数的值为______．
【答案】4；
【解析】
因为是函数的零点，所以，解得，故填4.
17.如图所示，为测量山高，选择和另一座山的山顶为测量观测点．从点测得点的仰角，点的仰角以及；从点测得．已知山高，则山高________．

【答案】750.
【解析】
【分析】
利用直角三角形求出，由正弦定理求，再利用直角三角形求出的值．
【详解】在中，，所以，
在中，，从而，
由正弦定理得：，所以，
在中，，
由，得．
【点睛】本题以测量山高的实际问题为背景，考查正弦定理在解决实际问题中的应用，求解时要注意结合立体几何图形找到角之间的关系．
四.解答题（本大题共6小题共82分.解答应写出文字说明.证明过程或演算步骤）
18.已知角的终边经过点
（1）求值；
（2）求的值
【答案】（1）（2）
【解析】
【分析】
（1）根三角函数的定义，即可求解，得到答案；
（2）利用三角函数的诱导公式，化简得到原式，代入求解.
【详解】（1）由题意角的终边经过点，可得，
根据三角函数的定义，可得.
（2）由三角函数的诱导公式，可得
.
【点睛】本题主要考查了三角函数的定义，以及三角函数的诱导公式的化简求值，其中解答中熟记三角函数的定义和三角函数的诱导公式，准确运算是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.
19.在中，角的对边分别为，且角成等差数列.
（1）求角的值；
（2）若，求边的长.
【答案】（1）．（2）
【解析】
【分析】
（1）根据等差数列的性质，与三角形三内角和等于 即可解出角C的值.
（2）将已知数带入角C的余弦公式，即可解出边c.
【详解】解：（1）∵角，，成等差数列，且为三角形的内角，
∴，，∴．
（2）由余弦定理
，
得
【点睛】本题考查等差数列、余弦定理，属于基础题．
20.设函数
（1）求函数的最小正周期；
（2）当时，求函数的最大值和最小值.
【答案】（1）；（2）最大值，最小值
【解析】
【分析】
（1）先利用恒等变换转化函数为，再利用周期公式求解.

（2）由，得到，再利用正弦函数的性质求解.
【详解】（1）因为，
所以函数的最小正周期.
（2）因为，
所以，
所以，
所以函数的最大值是2，最小值.
【点睛】本题主要考查三角函数的恒等变换以及图象和性质，还考查了运算求解的能力，属于中档题.
21.如图，四棱锥的底面是正方形，平面，， ，点分别为棱的中点．

（Ⅰ）求证：平面平面；
（Ⅱ）求三棱锥的体积．
【答案】（Ⅰ）证明见解析；（Ⅱ）.
【解析】
【分析】
（Ⅰ）根据题意，可得平面平面，即可证明平面平面；
（Ⅱ）通过等体积法可知三棱锥的体积即为三棱锥的体积，即，即可求得三棱锥的体积．
【详解】（Ⅰ）平面，平面，平面,
，,
，，平面，平面,
平面,
平面，,
直角三角形中，,
是等腰直角三角形,
,
是的中点

，平面，平面
平面

平面,
平面
平面平面；

（Ⅱ）三棱锥即为三棱锥，
是三棱锥的高，中，，，
三棱锥体积

【点睛】本题考查了空间中线线、线面、面面的位置关系，等体积法的基本应用，属于基础题．
22.为了弘扬传统文化，某市举办了“高中生诗词大赛”，现从全市参加比赛的学生中随机抽取人的成绩进行统计，得到如图所示的频率分布直方图，其中成绩的分组区间为，，，.

（1）求频率分布直方图中的值；
（2）在所抽取的名学生中，用分层抽样的方法在成绩为的学生中抽取了一个容量为的样本，再从该样本中任意抽取人，求人的成绩均在区间内的概率；
（3）若该市有名高中生参赛，根据此次统计结果，试估算成绩在区间内的人数.
【答案】（1）0.015；（2）；（3）1000.
【解析】
【分析】
（1）由各组频率之和，即频率分布直方图中各组矩形的面积和为1，可得的值；
（2）根据分层抽样的原则，可得成绩在分别是3人和2人，之和写出抽取两人对应的所有的基本事件总数，找出满足条件的基本事件数，代入古典概型概率计算公式，可得答案；
（3）根据成绩落在内的频率，可估算出成绩在区间的人数.
【详解】（1）依题意可知组距为，
由解得 .
（2）抽取了一个容量为的样本成绩在区间的人数为：
人，记3人为、、.
成绩在区间的人数为：人，记2人为、
任取2人的基本事件为：
、、、、、、、、、，共计10个.
其中在区间的基本事件为： ，共计1个
所以人的成绩均在区间的概率为： .
（3）由人，
即估计成绩在区间的人数为人.
【点睛】该题考查的是有关概率统计的问题，涉及到的知识点有频率分布直方图的特征，古典概型，应用样本来估计总体，属于基础题目.
23.已知函数，若在区间上有最大值5，最小值2．
（1）求a，b的值；
（2）若在上是单调函数，求m的取值范围．
【答案】（1），；（2）或