2021北京初三(上)期末数学汇编：垂直于弦的直径.docx

2021北京初三（上）期末数学汇编
垂直于弦的直径
一、单选题
1．（2021·北京平谷·九年级期末）如图，是某供水管道的截面图，里面尚有一些水，若液面宽度AB＝8cm，半径OC⊥AB于D，液面深度CD＝2cm，则该管道的半径长为（       ）

A．6cm B．5.5cm C．5cm D．4cm
2．（2021·北京大兴·九年级期末）如图，⊙O的直径垂直于弦，垂足为．若，，则的长是（       ）

A． B． C． D．
3．（2021·北京朝阳·九年级期末）如图，在半径为1的扇形AOB中，∠AOB＝90º，点P是弧AB上任意一点（不与点A，B重合），OC⊥AP，OD⊥BP，垂足分别为C，D，则CD的长为（     ）

A． B． C． D．1
4．（2021·北京通州·九年级期末）水平放置的圆柱形排水管道截面半径为1 m．若管道中积水最深处为0.4 m，则水面宽度为（       ）

A．0.8 m B．1.2 m C．1.6 m D．1.8 m
5．（2021·北京丰台·九年级期末）直径为10分米的圆柱形排水管，截面如图所示．若管内有积水（阴影部分），水面宽AB为8分米，则积水的最大深度CD为（     ）

A．2分米 B．3分米 C．4分米 D．5分米
二、填空题
6．（2021·北京西城·九年级期末）如图，为的直径，，是弦，于点，若，则__________．

7．（2021·北京东城·九年级期末）如图，点在上，弦垂直平分，垂足为．若，则的长为_____．

8．（2021·北京顺义·九年级期末）一个圆柱体容器内装入一些水，截面如图所示，若⊙O中的直径为52cm，水面宽AB＝48cm，则水的最大深度为_______________cm．

9．（2021·北京密云·九年级期末）如图，是上三点，，垂足为D，已知，，则BC长为_________．

10．（2021·北京昌平·九年级期末）如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB，垂足为点E， CD＝16，BE＝4，则CE＝____，⊙O的半径为_____．

11．（2021·北京房山·九年级期末）如图，AB为的直径，弦于点H，若，，则OH的长度为__．

三、解答题
12．（2021·北京海淀·九年级期末）如图1是博物馆展出的古代车轮实物，《周礼·考工记》记载：“……故兵车之轮六尺有六寸，田车之轮六尺有三寸……”据此， 我们可以通过计算车轮的半径来验证车轮类型，请将以下推理过程补充完整．

如图2所示，在车轮上取A、B两点，设所在圆的圆心为O，半径为r cm．
作弦AB的垂线OC，D为垂足，则D是AB的中点．其推理的依据是： ．
经测量，AB＝90cm，CD＝15cm，则AD＝ cm；
用含r的代数式表示OD，OD＝ cm．
在Rt△OAD中，由勾股定理可列出关于r的方程：
，解得r＝75
通过单位换算，得到车轮直径约为六尺六寸，可验证此车轮为兵车之轮．

参考答案
1．C
【分析】
连接，设圆的半径为，根据垂径定理和勾股定理列方程求解即可．
【详解】
解：连接，

，
，
∵AB＝8cm，
，
设圆的半径为，
在中，，
根据勾股定理得：，即，
解得：，
故选：．
【点睛】
本题考查了垂径定理和勾股定理，解题关键是连接半径构建直角三角形，根据勾股定理列方程.
2．C
【分析】
根据直角三角形的性质可求出CE=1，再根据垂径定理可求出CD．
【详解】
解：∵⊙O的直径垂直于弦，
∴
∵，，
∴CE=1
∴CD=2．
故选：C．
【点睛】
本题考查了直角三角形的性质，垂径定理等知识点，能求出CE=DE是解此题的关键．
3．B
【分析】
连接AB，由垂径定理可得点C、D分别是AP、PB的中点，然后由勾股定理及三角形中位线可进行求解．
【详解】
解：连接AB，如图所示：

∵OC⊥AP，OD⊥BP，
∴AC=CP，PD=DB，
∴点C、D分别是AP、PB的中点，
∴，
∵∠AOB=90°，OA=OB=1，
∴，
∴，
故选B．
【点睛】
本题主要考查垂径定理及三角形中位线、勾股定理，熟练掌握垂径定理及三角形中位线、勾股定理是解题的关键．
4．C
【分析】
作OC⊥AB于C，交⊙O于D，由垂径定理得出AB=2BC，∠OCB=90°，OB=OD=1m，CD=0.4m，求出OC=OD-CD=0.6m，由勾股定理求出BC，即可得出AB．
【详解】
解：作OC⊥AB于C，交⊙O于D，连接OB，如图所示：

则AB=2BC，∠OCB=90°，
OB=OD=1m，CD=0.4m，
∴OC=OD-CD=0.6m，
∴BC===0.8（m），
∴AB=2AC=1.6m，
∴排水管道截面的水面宽度为1.6m，
故选：C．
【点睛】
本题考查了垂径定理、勾股定理；熟练掌握垂径定理，由勾股定理求出BC是解决问题的关键．
5．A
【分析】
先求出的长，再由垂径定理求出的长，根据勾股定理求出的长，进而可得出结论．
【详解】
的直径为分米，
（分米），
，（分米），
（分米），
（分米），
积分的最大深度（分米）．

故选：．
【点睛】
本题考查的是垂径定理的应用以及勾股定理，根据勾股定理求出的长是解答此题的关键．
6．1
【分析】
连接OC，根据垂径定理得出CE=ED=CD=3，然后在Rt△OEC中由勾股定理求出OE的长度，最后由BE=OB-OE，即可求出BE的长度．
【详解】
解：如图，连接OC，

∵弦CD⊥AB于点E，CD = 6，
∴CE=ED=CD=3，
∵在Rt△OEC中，∠OEC=90°，CE= 3，OC=AB=5，
∴OE==，
∴BE=OB-OE=5-4=1，
故答案为：1．
【点睛】
本题主要考查了垂径定理、勾股定理等知识，关键在于熟练的运用垂径定理得出CE、ED的长度．
7．
【分析】
连接OC，根据垂径定理和勾股定理即可求出答案．
【详解】
解：连接OC，
∵弦垂直平分，
∴∠COD=90°，BD=CD，OD=AD，
∴OD=OA=×4=2，
∴CD=，
∴BC=2CD=，
故答案为：．

【点睛】
本题考查了垂径定理，勾股定理，关键是连接半径OC，构造直角三角形求出CD的长度，题目比较典型，难度适中．
8．16
【分析】
连接OA，过O点作，垂足为H，交于点C，由垂径定理求出AH，根据勾股定理求出OH，即可求出最大深度CH.
【详解】
解：如图

连接OA，过O点作，垂足为H，交于点C
∵的直径为52cm
∴OA=OC=26cm
∵，且过O点
∴OC垂直且平分AB
∴AH=24cm
根据勾股定理
得OH=10cm
∴CH=OC-OH=26-10=16cm
所以水的最深为16cm
【点睛】
本题主要考查了垂径定理及勾股定理，熟记概念是解题的关键.
9．
【分析】
连接OB，先由垂径定理得BD=CD，再由勾股定理求出BD=，即可得出答案．
【详解】
解：连接OB，如图所示：

∵BC⊥OA，
∴BD=CD，
∵OB=OA=3，AD=1，
∴OD=OA-AD=2，
∴BD=，
∴BC=2BD=2，
故答案为：2．
【点睛】
本题考查了垂径定理和勾股定理；熟练掌握垂径定理和勾股定理是解题的关键．
10．     8     10
【分析】
（1）直接由垂径定理可得结果
（2）连结OC，设⊙O半径为r，则OE=r-2，在Rt△OCE中，利用勾股定理列出关于r的等式，求出r即可．
【详解】
（1） AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB，垂足为点E， CD＝16
由垂径定理可得，CE=
故答案为：8
（2） 连结OC，设⊙O半径为r，则OC=r，OE =r-4，
弦CD⊥AB
∴△OCE是Rt△OCE
∴OE2+CE2=OC2，
∴（r-4）2+82=r2，解得r=10，
即⊙O半径为10．
故答案为：10．
【点睛】
本题考查了垂径定理和勾股定理的综合应用．垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧．
11．3
【分析】
连接OC，由垂径定理可求出CH的长度，在Rt△OCH中，根据CH和⊙O的半径，即可由勾股定理求出OH的长．
【详解】
连接OC，

Rt△OCH中，OC=AB=5，CH=CD=4；
由勾股定理，得：OH=；
即线段OH的长为3．
故答案为：3．
【点睛】
本题考查了垂径定理：平分弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧．也考查了勾股定理．
12．垂直于弦的直径平分弦；45；；
【分析】
根据垂径定理，利用勾股定理构建方程求解即可．
【详解】
解：如图2所示，在车轮上取A、B两点，设所在圆的圆心为O，半径为r cm．
作弦AB的垂线OC，D为垂足，则D是AB的中点．其推理依据是：垂直弦（非直径）的直径平分弦．
经测量：AB=90cm，CD=15cm，则AD=45cm；
用含r的代数式表示OD，OD=（r-15）cm．
在Rt△OAD中，由勾股定理可列出关于r的方程：
r2=452+（r-15）2，
解得r=75．
通过单位换算，得到车轮直径约为六尺六寸，可验证此车轮为兵车之轮．
故答案为：垂直弦的直径平分弦，45,（r-15），452+（r-15）2．
【点睛】
本题考查垂径定理，勾股定理等知识，解题的关键是学会利用参数构建方程解决问题，属于中考常考题型．
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