福建省厦门市国祺中学2021-2022学年高一上学期期中考试数学试题.docx

国祺中学2021—2022高一上期中考数学试卷
内容：必修一 1.1～4.4
一、单选题（40分，每题5分）
1．下列能构成集合的是（ ）
A．中央电视台著名节目主持人 B．我市跑得快的汽车
C．上海市所有的中学生 D．数学必修第一册课本中所有的难题
2．已知函数, 则（ ）
A．1 B．0 C． D．
3．条件“”是“”成立的　　条件
A．必要不充分 B．充分不必要
C．充分必要 D．既不充分也不必要
4．已知命题p：x0∈R，x02+5<0，那么命题p的否定是（ ）
A．x0∈R，x02+5>0 B．x0∈R，x02+5≥0
C．∀x∈R，x2+5≥0 D．∀x∈R，x2+5<0
5．果农采摘水果，采摘下来的水果会慢慢降低新鲜度.已知某种水果降低的新鲜度y与其采摘后时间x（天）满足的函数关系式为.若采摘2天后，这种水果降低的新鲜度为20%；采摘3天后，这种水果降低的新鲜度为40%.则采摘下来的这种水果降低的新鲜度为70%需要经过（ ）
A．4天 B．4.5天 C．5天 D．5.5天
6．下列对应关系或关系式中是从A到B的函数的是（ ）
A．，， B．，，
C．，， D．，，
7．已知，则的值为（ ）
A． B． C． D．
8．若函数与在区间上都是减函数，则的取值范围（ ）
A． B． C． D．
二、多选题（20分，每题5分）
9．下列四组函数中是相同函数的有（ ）
A．； B．；
C．； D．；
10．已知函数，则下列结论中错误的是（ ）
A．的值域为 B．的图象与直线有两个交点
C．是单调函数 D．是偶函数
11．下列说法正确的有（ ）
A． B． C． D．
12．某医药研究机构开发了一种新药，据监测，如果患者每次按规定的剂量注射该药物，注射后每毫升血液中的含药量y（微克）与时间t（小时）之间的关系近似满足如图所示的曲线．据进一步测定，当每毫升血液中含药量不少于0.125微克时，治疗该病有效，则（ ）
A．
B．注射一次治疗该病的有效时间长度为6小时
C．注射该药物小时后每毫升血液中的含药量为0.4微克
D．注射一次治疗该病的有效时间长度为时
三、填空题（20分，每题5分）
13．若，，，则t的取值范围为______．
14．函数的反函数为，则___________.
15．函数y＝loga(2x－3)＋8的图象恒过定点A，且点A在幂函数f(x)的图象上，则f（3）＝________.
16．函数单调递增区间为________________；值域为_______________．
四、解答题（共6大题，总分70分）
17．（12分）已知全集，集合，集合，求：
（1），；
（2）∁UA∩B，∁UB∩A.

18．（10分）化简：
（1）
（2）

19．（12分）已知函数.

（1）求的值；
（2）画出函数的图象；
（3）指出函数的单调区间.（直接写结果）

20．（12分）已知某公司生产某款手机的年固定成本为40万元，每生产1万部还需另投入16万元．设公司一年内共生产该款手机x万部并全部销售完，每1万部的销售收入为万元，且．
（1）写出年利润（万元）关于年产量x（万部）的函数的解析式；
（2）当年产量为多少万部时，公司在该款手机的生产中获得的利润最大?并求出最大利润．

21．（12分）已知函数是R上的奇函数．
（1）求a的值；
（2）判断并证明的单调性；

22．（12分）已知.
（1）指出函数的定义域，并求，，，的值；
（2）观察（1）中的函数值，请你猜想函数的一个性质，并证明你的猜想；
（3）解不等式：.

国祺中学2021—2022高一上期中考数学试卷答案
1—4:CBBC 4—8:BBDD 9、BC 10、ACD 11、ABC 12、AD
13． 14． 15． 27 16．
17．（1）；（2）；
【分析】（1）由交集、并集的概念即可得解；
（2）化简全集，结合补集、交集关系直接求解.
（1）因为集合，集合，所以，；
（2）因为全集，则，，
所以；．
18． 【答案】（1）（2）2
【分析】（1）根据指数幂的化简原则，计算整理，即可得答案．
（2）根据对数运算公式，换底公式，即可计算结果．
（1）原式
（2）
19． （1）（2）作图见解析（3）递减区间：，，递增区间：
【分析】（1）直接代入计算即可；
（2）直接根据分段函数解析式画出图像；
（3）直接根据图像观察单调区间.
（1），，即.
（2）函数的图象如图：
（3）由图象知递减区间为：，，递增区间：.
20． （1）
（2）当年产量为32万部时，获得的利润最大，最大利润为6104万元
【分析】
（1），考虑两种情况得到分段函数，计算得到答案。
（2）利用二次函数性质和均值不等式分别计算分段函数的最值，比较得到答案。
（1）当时，；
当时，，
所以；
（2）当时，，所以；
当时，，
由于，
当且仅当，即时取等号，此时的最大值为5760，
综上所述，当年产量为32万部时，获得的利润最大，最大利润为6104万元．
21． 【答案】(1) ； (2)证明见详解； (3) .
【分析】(1)由可直接求出结果；
(2)设，再通过作差判断的符号即可判断单调性；
【详解】(1)∵是R上的奇函数，∴，即：，∴.
(2)由(1)知，∴在上单调递增.
证明：设，则

∵，∴，又∵，，∴
∴即，∴在上单调递增.
【点睛】
定义法判断函数单调性的一般步骤：
1.取值，设，且；
2.作差，求；
3.变形（合并同类项、通分、分解因式、配方等）；
4.判断的正负符号；
5.根据函数单调性定义下结论.
22、【答案】（1）的定义域;;;;;（2）详见详解;（3）
【分析】
（1）根据真数大于零,列出不等式组,即可求出定义域;代入函数解析式求出,,,的值.
（2）与,与关系,猜想是奇函数,利用奇函数的定义可证明.
（3）求出,由对数的运算性质和对数的单调性即可得到所求.
【详解】
（1）要使函数有意义须,
函数的定义域是；
;;
;.
（2）由从（1）得到=,=,猜想是奇函数,以下证明：
在上任取自变量,
所以是奇函数.
（2）
所以，原不等式等价于

所以原不等式的解集为
【点睛】
本题考查函数的定义域的求法和奇偶性的判断与证明,考查不等式的解法,注意应用函数的单调性转化不等式,求解不等式不要忽略了定义域,是解题的易错点,属于中档题.

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