2022北京东城初二(下)期末数学(教师版).docx

2022北京东城初二（下）期末
数 学
一、选择题（本题共30分，每小题3分）第1―10题均有四个选项，符合题意的选项只有一个.
1．下列各组数中，能作为直角三角形三边长度的是　　
A．1，2，3 B．2，3，4 C．4，5，6 D．6，8，10
2．下列运算正确的是　　
A． B． C． D．
3．下列各式中，是最简二次根式的是　　
A． B． C． D．
4．如图，在中，，，则的度数是　　

A． B． C． D．
5．菱形具有而一般平行四边形不具有的性质是　　
A．两组对边分别相等 B．两组对角分别相等
C．两条对角线互相平分 D．每一条对角线平分一组对角
6．一次函数的图象不经过　　
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
7．如图，若一次函数，为常数，且的图象经过点，，则不等式的解集为　　

A． B． C． D．
8．一次数学测试，某小组5名同学的成绩统计如下（有两个数据被遮盖）
组员
甲
乙
丙
丁
戊
平均成绩
众数
得分
81
77
■
80
82
80
■
则被遮盖的两个数据依次是　　
A．80，80 B．81，80 C．80，2 D．81，2
9．“漏壶”是一种古代计时器，在它内部盛一定量的水，不考虑水量变化对压力的影响，水从壶底小孔均匀漏出，壶内壁有刻度．人们根据壶中水面的位置计算时间，用表示漏水时间，表示壶底到水面的高度，下列图象适合表示与的对应关系的是　　

A． B．
C． D．
10．如图1是我国古代著名的“赵爽弦图”的示意图，它是由四个全等的直角三角形围成的．若，，将四个直角三角形中边长为6的直角边分别向外延长一倍，得到图2所示的“数学风车”，则这个风车的外围周长是　　

A．72 B．52 C．80 D．76
二、填空题（本题共16分，每小题2分）
11．（2分）二次根式有意义的条件是　　．
12．（2分）如图，在平行四边形中，的平分线交于点，，，则　　．

13．（2分）甲、乙、丙、丁四人各进行了10次射击测试，他们的平均成绩相同，方差分别是，，，，则射击成绩最稳定的是 　　（填“甲、乙、丙、丁”中的一位）．
14．（2分）如图，两段公路，互相垂直，公路的中点与点被湖隔开，若测得的长为，则，两点间的距离为 　　．

15．（2分）如图，分别以数轴的单位长度1和3为直角边的长作直角三角形，以数轴上的原点为圆心，这个直角三角形的斜边长为半径作弧与数轴交于一点，则点表示的数为 　　．

16．（2分）若点，，，在一次函数是常数）的图象上，则，的大小关系是　　．（填“”“ ”或“”
17．（2分）如图，平行四边形的对角线与相交于点，且．若是边的中点，，，则的长为 　　．

18．（2分）如图，菱形的边长为2，，点是边上一动点（不与，重合），点是边上一动点，，则　　，面积的最小值为 　　．

三、解答题（本题共54分，19题5分，20题7分，21-22题每题5分，23题4分，24-26题每题5分，27题7分，28题6分）
19．（5分）下面是小明设计的“作矩形”的尺规作图过程：
已知：在中，．
求作：矩形．
作法：如图，
①分别以点，为圆心、大于的长为半径作弧，两弧相交于，两点；
②作直线，交于点；
③连接并延长至点，使得；
④连接，．
则四边形是矩形．
根据小明设计的尺规作图过程，解决以下问题：
（1）使用直尺和圆规，补全图形（保留作图痕迹）；
（2）完成下面的证明．
证明：连接，，，．
，，
是线段的垂直平分线．
　　．
又，
四边形是平行四边形　　（填推理的依据）．
，
四边形是矩形　　（填推理的依据）．

20．（7分）计算：（1）；
（2）．
21．（5分）如图，在中，、分别平分、．求证：．

22．（5分）已知一次函数的图象经过点和．
（1）求该一次函数的解析式；
（2）在图中画出该函数的图象，并求该图象与坐标轴围成的三角形的面积．

23．（4分）如图是由边长为1的小正方形构成的的网格，点，均在格点上．
（1）在图1中画出以为边且周长为的平行四边形，且点和点均在格点上（画出一个即可）；
（2）在图2中画出以为对角线的正方形，且点和点均在格点上．

24．（5分）为响应“带动三亿人参与冰雪运动”的号召，某校七、八年级举行了“冰雪运动知识竞赛”．为了解学生对冰雪运动知识的掌握情况，学校从两个年级分别随机抽取了20名学生的竞赛成绩（满分10分，6分及6分以上为合格）进行整理、描述和分析，下面给出了部分信息：
．七年级20名学生的测试成绩为：
7，8，7，9，7，6，5，9，10，9，8，5，8，7，6，7，9，7，10，6．
．八年级20名学生的测试成绩条形统计图如图所示：

．七、八年级抽取的学生的测试成绩的平均数、众数、中位数如下表所示：
年级
平均数
众数
中位数
七年级
7.5

7
八年级

8

请你根据以上提供的信息，解答下列问题：
（1）上表中　　，　　，　　；
（2）根据以上数据，你认为该校七、八年级中哪个年级学生对冰雪运动知识掌握较好？请说明理由（写出一条理由即可）；
（3）该校八年级共400名学生参加了此次测试活动，估计八年级参加此次测试活动成绩合格的学生人数．

25．（5分）已知一次函数为常数，和．
（1）当时，若，求的取值范围；
（2）当时，对于的每一个值，一次函数为常数，的值大于一次函数的值，结合图象，直接写出的取值范围．

26．（5分）某鲜花销售公司每月付给销售人员的工资有两种方案．
方案一：没有底薪，只付销售提成；
方案二：底薪加销售提成．
如图中的射线、射线分别表示该鲜花销售公司每月按方案一、方案二付给销售人员的工资（单位：元）和（单位：元）与其当月鲜花销售量（单位：千克）的函数关系．
（1）直接写出方案二中的底薪是多少元；
（2）求与的函数解析式；
（3）若该公司某销售人员今年3月份的鲜花销售量没有超过200千克，但其3月份的工资超过5000元．请你判断这个公司采用了哪种方案给这名销售人员付的3月份工资，并说明你的理由．

27．（7分）如图，在正方形中，是边上的一点（不与，重合），点关于直的对称点是点，连接，，直线，交于点，连接．
（1）在图1中补全图形，　　（填“”“ ”或“” ；
（2）猜想和的数量关系，并证明；
（3）用等式表示线段，，之间的数量关系，并证明．

28．（6分）已知点和图形，为图形上一点，若存在点，使得点为线段的中点，不重合），则称点为图形关于点的倍点．
如图，在平面直角坐标系中，点，，，．
（1）若点的坐标为，则在，，中，是正方形关于点的倍点的是 　　；
（2）点的坐标为，若在直线上存在正方形关于点的倍点，直接写出的取值范围；
（3）点为正方形边上一动点，直线与轴交于点，与轴交于点，若线段上的所有点均可成为正方形关于点的倍点，直接写出的取值范围．

参考答案
一、选择题（本题共30分，每小题3分）第1―10题均有四个选项，符合题意的选项只有一个.
1．【分析】根据勾股定理的逆定理和三角形三边满足的关系，可以判断各个选项中的三条线段能否构成直角三角形或三角形，本题得以解决．
【解答】解：，故选项中的三条线段不能构成三角形，故选项不符合题意；
，故选项中的三条线段不能构成直角三角形，故选项不符合题意；
，故选项中的三条线段不能构成直角三角形，故选项不符合题意；
，故选项中的三条线段能构成直角三角形，故选项符合题意；
故选：．
【点评】本题考查勾股定理的逆定理，解答本题的关键是明确题意，会用勾股定理的逆定理判断三角形的形状．
2．【分析】根据二次根式的加减法对、进行判断；根据二次根式的乘法法则对进行判断；根据二次根式的除法法则对进行判断．
【解答】解：、原式，所以选项的计算错误；
、原式，所以选项的计算错误；
、原式，所以选项的计算正确；
、原式，所以选项的计算错误．
故选：．
【点评】本题考查了二次根式的混合运算，解题的关键是掌握二次根式的乘法和除法法则．
3．【分析】利用最简二次根式的定义，逐个分析得结论．
【解答】解：是小数，含有分母，故选项不是最简二次根式；
符合最简二次根式的定义，故是最简二次根式；
，，被开方数里含有能开得尽方的因式（数，故选项、不是最简二次根式．
故选：．
【点评】本题考查了最简二次根式，掌握最简二次根式的定义是解决本题的关键．
4．【分析】由等腰三角形的性质可得，由平行四边形的性质可求解．
【解答】解：，，
，
四边形是平行四边形，
，
故选：．
【点评】本题考查了平行四边形的性质，等腰三角形的性质，掌握平行四边形的对角相等是解题的关键．
5．【分析】菱形的对角线垂直和每一条对角线平分一组对角是菱形的重要性质，而平行四边形不具备这样的性质．
【解答】解：由菱形性质可知，每一条对角线平分一组对角；
而平行四边形不具备这样的性质；
其他，，均是菱形和平行四边形共有的性质．
故选：．
【点评】本题主要考查菱形的性质，熟练掌握菱形的性质特点是解答本题的关键．
6．【分析】先根据一次函数中，判断出函数图象经过的象限，进而可得出结论．
【解答】解：一次函数中，，
此函数的图象经过一、三、四象限，不经过第二象限．
故选：．
【点评】本题考查的是一次函数的性质，即一次函数中，当，时，函数图象经过一、三、四象限．
7．【分析】直接利用已知点画出函数图象，利用图象得出答案．
【解答】解：如图所示：不等式的解为：．
故选：．

【点评】此题主要考查了一次函数与一元一次不等式，正确数形结合分析是解题关键．
8．【分析】根据平均数的计算公式先求出丙的得分，再根据众数的意义进行分析即可得出答案．
【解答】解：根据题意得：
（分，
则丙的得分是80分；
众数是80，
故选：．
【点评】考查了众数及平均数的定义，解题的关键是根据平均数求得丙的得分，难度不大．
9．【分析】根据题意，可知随的增大而减小，符合一次函数图象，从而可以解答本题．
【解答】解：不考虑水量变化对压力的影响，水从壶底小孔均匀漏出，表示漏水时间，表示壶底到水面的高度，
随的增大而减小，符合一次函数图象，
故选：．
【点评】本题考查函数图象，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．
10．【分析】由题意为直角，利用勾股定理求得外围中一条边，又由延伸一倍，从而求得风车的一个轮子，进一步求得四个．
【解答】解：依题意，设“数学风车”中的四个直角三角形的斜边长为，则

所以
所以“数学风车”的周长是：．
故选：．
【点评】本题是勾股定理在实际情况中应用，并注意隐含的已知条件来解答此类题．
二、填空题（本题共16分，每小题2分）
11．【分析】直接利用二次根式有意义的条件分析得出答案．
【解答】解：二次根式有意义的条件是：，
解得：．
故答案为：．
【点评】此题主要考查了二次根式有意义的条件，正确把握定义是解题关键．
12．【分析】在中，的平分线交于点，易证得是等腰三角形，继而求得答案．
【解答】解：四边形是平行四边形，
，，
，
平分，
，
，
，
．
故答案为：3．
【点评】此题考查了平行四边形的性质以及等腰三角形的判定与性质．注意证得是等腰三角形是解此题的关键．
13．【分析】根据方差的意义可作出判断．方差是用来衡量一组数据波动大小的量，方差越小，表明这组数据分布比较集中，各数据偏离平均数越小，即波动越小，数据越稳定．
【解答】解：，，，，
，
射击成绩最稳定的是丙，
故答案为：丙．
【点评】本题考查方差的意义．方差是用来衡量一组数据波动大小的量，方差越大，表明这组数据偏离平均数越大，即波动越大，数据越不稳定；反之，方差越小，表明这组数据分布比较集中，各数据偏离平均数越小，即波动越小，数据越稳定．
14．【分析】根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得，解答即可．
【解答】解：是公路的中点，
，
，
，
，两点间的距离为．
故答案为：1．
【点评】本题考查了直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半的性质，是基础题，熟记性质是解题的关键．
15．【分析】根据勾股定理求出直角三角形斜边的长度，也就求出了的长，结合图中点的位置确定点表示的数．
【解答】解：由题知，在直角三角形中，根据勾股定理得，
直角三角形的斜边，
则，
如图，点是以原点为圆心为半径作弧与数轴的交点，
点表示的数为．
故答案为：．
【点评】本题考查了实数与数轴，根据勾股定理确定斜边的长度，即确定的长度是解答本题的关键．
16．【分析】由，利用一次函数的性质可得出随的增大而减小，结合，即可得出．
【解答】解：，
随的增大而减小，
又点，，，在一次函数是常数）的图象上，且，
．
故答案为：．
【点评】本题考查了一次函数的性质，牢记“，随的增大而增大；，随的增大而减小”是解题的关键．
17．【分析】根据平行四边形的性质得出，，进而利用勾股定理得出的长，利用三角形中位线得出即可．
【解答】解：四边形是平行四边形，，，
，，
，
，
是边的中点，是的中点，
，
．
故答案为：2．
【点评】此题考查平行四边形的性质以及中位线定理，解题的关键是熟练运用平行四边形的性质．
18．【分析】先证明是等边三角形，当时面积最小．
【解答】解：如图，连接，

菱形边长为4，；
与为正三角形，
，
，，
，
，
，
，
，
，
是等边三角形，
当时，的面积最小，此时，
边上的高为，
面积的最小值为：．
故答案为：．
【点评】本题考查了二次函数的最值，菱形的性质、等边三角形的判定和性质、垂线段最短等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，属于中考常考题型．
三、解答题（本题共54分，19题5分，20题7分，21-22题每题5分，23题4分，24-26题每题5分，27题7分，28题6分）
19．【分析】（1）根据几何语言画出对应的几何图形；
（2）先利用作法得到垂直平分，从而得到，由于，根据平行四边形的判定方法得到四边形是平行四边形，然后加上，则可判断四边形是矩形．
【解答】解：（1）如图，四边形为所作；

（2）证明：连接，，，，
，，
是线段的垂直平分线，
，
又，
四边形是平行四边形（对角线互相平分的四边形为平行四边形），
，
四边形是矩形（有一个内角为的平行四边形为矩形）．
故答案为：；对角线互相平分的四边形为平行四边形；有一个内角为的平行四边形为矩形．
【点评】本题考查了作图复杂作图：解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作．也考查了平行四边形的判定与性质和矩形的判定．
20．【分析】（1）直接化简二次根式，进而合并得出答案；
（2）直接利用完全平方公式以及二次根式的乘法运算法则化简，进而合并得出答案．
【解答】解：（1）原式
；

（2）原式
．
【点评】此题主要考查了二次根式的混合运算，正确掌握相关运算法则是解题关键．
21．【分析】利用全等三角形的性质证明即可．
【解答】证明：四边形是平行四边形
，，，
，
，，
，
在和中，

，
，
．
【点评】本题考查平行四边形的性质，全等三角形的判定和性质，平行线的判定和性质等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题．
22．【分析】（1）根据函数解析式将已知点代入可得出方程组，解出该方程组即可得到，值及函数解析式．
（2）利用两点法确定函数图象，再求出图象与、轴的交点坐标，根据三角形面积公式即可求解．
【解答】解：（1）将点和代入得，
，
解得：，
该一次函数的解析式为：．
（2）图象如图所示：

当时，，与轴交点，
当时，，与轴交点，
该图象与坐标轴围成的三角形的面积，
故该图象与坐标轴围成的三角形的面积为2．
【点评】本题考查了利用待定系数法求一次函数解析式、两点法确定函数图像；关键在于解出、值以及正确运用三角形面积公式求解．
23．【分析】（1）根据平行四边形的定义画出图形即可；
（2）根据正方形的定义画出图形即可．
【解答】解：（1）如图1中，四边形即为所求；
（2）如图2中，正方形即为所求．

【点评】本题考查作图应用与设计作图，线段的垂直平分线等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．
24．【分析】（1）根据平均数、中位数、众数的定义进行计算即可；
（2）从中位数、众数的比较得出结论；
（3）求出八年级学生成绩为“合格”的所占的百分比即可．
【解答】解：（1）（分，
七年级20名学生成绩中出现次数最多的是7分，共出现6次，因此众数是7分，即，
将八年级20名学生成绩从小到大排列，处在中间位置的两个数的平均数为（分，因此中位数是7.5分，即，
故答案为：7.5，7，7.5；
（2）八年级的成绩较好，理由：八年级学生成绩的中位数是7.5分，众数是8分，都比七年级高；
（3）（名，
答：该校八年级共400名学生中成绩合格的大约有360名．
【点评】本题考查条形统计图，中位数、众数、平均数以及样本估计总体，理解中位数、众数、平均数的定义，掌握中位数、众数、平均数的计算方法是正确解答的前提．
25．【分析】（1）解不等式即可；
（2）计算出对应的的函数值，然后根据时，一次函数为常数，的图象在直线的上方确定的范围．
【解答】解：（1）时，，
根据题意得，
解得；
（2）当时，，
把代入得，
解得，
由图象可知当时，；
故的范围为．

【点评】本题考查了一次函数与一元一次不等式：从函数的角度看，就是寻求使一次函数的值大于（或小于）0的自变量的取值范围；从函数图象的角度看，就是确定直线在轴上（或下）方部分所有的点的横坐标所构成的集合．
26．【分析】（1）由图象直接得出结论；
（2）由待定系数法就可以求出解析式；
（3）先求出与的解析式，再利用（2）中求出的函数的解析式，把代入求解即可．
【解答】解：（1）由图象可得，方案二中的底薪是800元；
（2）设，
根据题意，得，
解得，
与的函数解析式为；
（3）设，
根据题意得，
解得，
；
当时，
；
；
这个公司采用了方案一给这名销售人员付3月份的工资．
【点评】本题考查了待定系数法求一次函数的解析式的运用，一元一次不等式的运用，设计方案的运用，解答时认真分析，弄清函数图象的意义是关键．
27．【分析】（1）根据题意补全图形，由对称得，，等边对等角可得，根据同角的余角相等可得，等量代换即可得出结论；
（2）根据正方形的性质得，则，等边对等角可得，根据三角形的外角性质及角的和差可得，由（1）知，则，由得；
（3）过点作，交的延长线于，由（2）知，则为等腰直角三角形，可得，证明，根据全等三角形的性质可得，即，即可得出结论．
【解答】解：（1）补全图形如图1，

由对称得，，
，，
四边形是正方形，
，
，
，
故答案为：；

（2）．
证明：四边形是正方形，
，
，
，
，
，，
，
由（1）知，
，
，
；

（3），
证明：过点作，交的延长线于，

由（2）知，
为等腰直角三角形，
，，，
，
，
，
，即，
．
【点评】本题是四边形综合题目，考查了正方形的性质、全等三角形的判定与性质、轴对称的性质、等腰三角形的性质、等腰直角三角形的判定与性质等知识；熟练掌握正方形的性质和等腰三角形的性质，证明三角形全等是解题的关键．
28．【分析】（1）根据“倍点”的定义，逐一判断即可；
（2）设直线上存在的点的坐标为，正方形上的点的坐标为，再根据“倍点”的定义得出，最后根据，得出结果；
（3）设，线段上任意一点为，正方形上的点为，再根据“倍点”的定义得出①，②，两式相减得出，最后根据，得出结论．
【解答】解：（1）设是正方形上一点，则有，
，解得：，
在正方形上，
是正方形关于点的倍点；
同理可得：不满足条件，满足条件，
正方形关于点的倍点为，，
故答案为：，；
（2）设直线上存在的点的坐标为，正方形上的点的坐标为，
则，解得：，
点在直线上，则，
，
，即，
解得：；
（3）设，线段上任意一点为，正方形上的点为，
段上的所有点均可成为正方形关于点的倍点，
，
解得：①，②，
②①得：，
，
，
，
，
，
．
【点评】本题考查了一次函数的性质，中点坐标公式及“倍点”的定义等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题，属于中考压轴题．
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