资源描述
2017-2018学年湖南师大附中高一（上）期末数学试卷
一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）
1.若直线过点（1，2），（2，2+），则此直线的倾斜角是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】
利用斜率公式计算出斜率，又由,可求出倾斜角
【详解】直线过点
直线的斜率
则直线的倾斜角满足
，
故选
【点睛】本题给出两点的坐标，求经过两点直线的倾斜角．着重考查了直线的斜率与倾斜角的概念，属于基础题
2.已知两条直线，，若，则（ ）．
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
分析：由及两条直线方程，可得，解此方程可得。
详解：因为
所以，即
解得
故选D。
点睛：两直线，若 ，则。本题考查两直线之间的位置关系及学生的运算能力。
3.若a、b表示直线，α表示平面，下列命题中正确的个数为（ ）
①a⊥α，b∥α⇒a⊥b；
②a⊥α，a⊥b⇒b∥α；
③a∥α，a⊥b⇒b⊥α．
A. 0 B. 1 C. 2 D. 3
【答案】B
【解析】
【分析】
利用空间内线线位置关系、线面位置关系、面面位置关系逐一分析三个选项即可求解
【详解】①，则与相交垂直或者异面垂直，故,故①正确
②，则或，故②错误
③，则与相交，平行或者，故③错误
综上，则正确的个数为1
故选
【点睛】本题主要考查命题真假的判断，解题时要认真审题，运用所学知识来判断，属于基础题
4.在空间直角坐标系中，点B是A（1，2，3）在xOz坐标平面内的射影，O为坐标原点，则|OB|等于（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】
先求出点在xOz坐标平面内的射影为，由此求得答案
【详解】点B是A（1，2，3）在xOz坐标平面内的射影，
可得点又O为坐标原点，
,
故选
【点睛】本题主要考查了空间两点之间的距离，考查空间直角坐标系等基础知识，属于基础题
5.两圆x2+y2-1=0和x2+y2-4x+2y-4=0的位置关系是（ ）
A. 内切 B. 相交 C. 外切 D. 外离
【答案】B
【解析】
【分析】
由知两圆的方程，先求出圆心坐标及半径，进而求出圆心距，比较与及的大小，即可得到两个圆之间的位置关系
【详解】圆表示以点为圆心，以为半径的圆
圆表示以点为圆心，以为半径的圆
，
，
则
则圆与圆相交
故选
【点睛】本题考查的知识点是圆与圆的位置关系及其判定，建立圆心距与半径之和以及半径之差之间的数量关系，即可得到圆与圆的位置关系，较为基础
6.如右图，某几何体的正视图与侧视图都是边长为1的正方形，且体积为．则该几何体的俯视图可以是（ ）
【答案】C
【解析】
试题分析：由已知条件该几何体是一个棱长为的正方体沿对角面截去一半后的三棱柱，底面为直角边长为的直角三角形．故选C．
考点：空间几何体的三视图、直观图．
【此处有视频，请去附件查看】
7.已知圆C：，则过点P(1,2)的最短弦所在直线l的方程是( )
A. B. C. D. .
【答案】D
【解析】
【分析】
由题可知，当直线l与直线垂直时，所截得弦长最短，再由点斜式确定直线l的方程.
【详解】由题可知，当直线l与直线垂直时，所截得弦长最短，
P(1,2)，圆C：x2＋y2－4x－5＝0，标准方程为，
，；
；
由点斜式得直线l方程为：，即.
故选D.
【点睛】本题考查求解直线方程的点斜式法，考查直线与圆的位置关系和圆的弦长变化规律，以及互相垂直的两直线斜率关系，考查用几何法解决直线与圆的综合问题的能力.
8.直三棱柱ABC-A1B1C1中，若∠BAC=90°，AB=AC=AA1，则异面直线BA1与AC1所成的角等于（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】
延长到，使得，根据异面直线所成角的定义可知就是异面直线与所成的角，而三角形为等边三角形，可求得此角
【详解】延长到，使得，则为平行四边形
就是异面直线与所成的角
又
则三角形为等边三角形
，
故选
【点睛】本题考查了求异面直线所成的角，要先构造出异面直线所成的角，然后解三角形，属于基础题
9.从直线上的点向圆引切线，则切线长的最小值为( )
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
设直线上的点为，已知圆的圆心和半径分别为，则切线长为，故当时，，应选答案B。
点睛：本题求解时先设直线上动点，运用勾股定理建立圆的切线长的函数关系，再运用二次函数的图像与性质求出其最小值，从而使得问题获解。本题的求解过程综合运用了函数思想与等价转化与化归的数学思想。
10.如图，等边三角形的中线与中位线相交于，已知是绕旋转过程中的一个图形，下列命题中，错误的是
A. 恒有⊥
B. 异面直线与不可能垂直
C. 恒有平面⊥平面
D. 动点在平面上的射影在线段上
【答案】B
【解析】
对A来说，DE⊥平面，∴⊥；
对B来说，∵E、F为线段AC、BC的中点，∴EF∥AB，∴∠A′EF就是异面直线A′E与BD所成的角，当（A'E）2+EF2=（A'F）2时，直线A'E与BD垂直，故B不正确；
对C来说，因为DE⊥平面，DE平面，∴平面⊥平面，故C正确；
对D来说，∵A′D=A′E，∴DE⊥A′G，∵△ABC是正三角形，∴DE⊥AG，又A′G∩AG=G，∴DE⊥平面A′GF，从而平面ABC⊥平面A′AF，且两平面的交线为AF，∴A'在平面ABC上的射影在线段AF上，正确；
故选：B
11.中国古代数学著作《孙子算经》中有这样一道算术题：“今有物不知其数，三三数之余二，五五数之余三，问物几何？”人们把此类题目称为“中国剩余定理”，若正整数除以正整数后的余数为，则记为，例如.现将该问题设计一个程序框图，执行该程序框图，则输出的等于（ ）
A. 21 B. 22 C. 23 D. 24
【答案】C
【解析】
从21开始，输出的数是除以3余2，除以5余3，满足条件的是23，故选C.
12.四棱锥P-ABCD中，AD⊥面PAB，BC⊥面PAB，底面ABCD为梯形，AD=4，BC=8，AB=6，∠APD=∠CPB，满足上述条件的四棱锥的顶点P的轨迹是（ ）
A. 圆的一部分 B. 椭圆的一部分
C. 球的一部分 D. 抛物线的一部分
【答案】A
【解析】
【分析】
建立平面直角坐标系，写出点的坐标，根据条件设出点的坐标，利用两点间的距离公式，代入上式化简，根据轨迹方程，即可得到结论
【详解】在平面PAB内，以所在直线为x轴，的中垂线为轴,建立平面直角坐标系．
设点P（x，y），则由题意可得 A（-3，0），B（3，0）
则
，
即，则有
整理可得，表示一个圆
由于点P不能在直线AB上（否则，不能构成四棱锥），
故点P的轨迹是圆的一部分
故选
【点睛】本题考查点轨迹方程的求法，以立体几何为载体考查轨迹问题，综合性强，考查了学生灵活应用知识分析解决问题的能力和知识方法的迁移能力，同时考查了运算能力
二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）
13.如图，△O′A′B′是水平放置的△OAB的直观图，O′A′=3，O′B′=4，则△AOB的面积是______．
【答案】
【解析】
【分析】
根据平面图形的斜二测画法，得出为直角三角形，求出两直角边，计算三角形的面积
【详解】根据平面图形的斜二测画法知，
原△OAB为直角三角形，且两直角边分别为
，
的面积为．
故答案为：12．
【点睛】本题主要考查了三角形的斜二测画法与应用问题，属于基础题
14.在三棱锥A-BCD中，AB⊥AC，AB⊥AD，AC⊥AD，若AB=3，AC=4，AD=5，则三棱锥A-BCD的外接球的表面积为______．
【答案】
【解析】
【分析】
由题意，将三棱锥中放到长方体中，可得长宽高分别为3、4、5的长方体的外接球，即可求解球的半径，可得表面积
【详解】由题意将三棱锥中放到长方体中，可得长宽高分别为3、4、5的长方体的外接球；
所以外接球的半径R满足：．
所以三棱锥的外接球的表面积
故答案为：
【点睛】本题主要考查了球的表面积的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养
15.已知矩形ABCD中AB=3，BC=a，若PA⊥平面AC，在BC边上取点E，使PE⊥DE，则满足条件的E点有两个时，a的取值范围是______．
【答案】
【解析】
∵PA⊥平面AC，
∴PA⊥DE
又∵PE⊥DE，PA∩PE=P
∴DE⊥平面PAE
∴DE⊥AE
即E点为以AD为直径的圆与BC的交点
∵AB=3，BC=a，满足条件的E点有2个
∴
故答案为：
16.定义在R上的奇函数f（x），当x≥0时，f（x）=，则关于x的函数F（x）=f（x）-的所有零点之和为______．
【答案】
【解析】
【分析】
根据分段函数的解析式和奇函数的对称性作出函数在上的图象和的图象，利用数形结合的方法求解即可
【详解】∵当x≥0时，f（x）=；
即x∈时，f（x）=
x∈[1，3]时，f（x）=x-2∈[-1，1]；
x∈（3，+∞）时，f（x）=4-x∈（-∞，-1）
画出x≥0时f（x）的图象，
再利用奇函数的对称性，画出x＜0时f（x）的图象，如图所示；
则直线，与y=f（x）的图象有5个交点，则方程f（x）-=0共五个实根，
最左边两根之和为-6，最右边两根之和为6，
∵x∈（-1，0）时，-x∈（0，1），∴f（-x）=
又f（-x）=-f（x），
∴f（x）=-=
∴中间的一个根满足
即1-x=，解得x=1-，
∴所有根的和为
故答案为：
【点睛】本题综合考察了函数的性质，图象的运用，函数的零点与函数交点问题，考查了数形结合的能力，属于中档题
三、解答题（本大题共6小题，共70.0分）
17.已知直线l经过点P（－2，5），且斜率为
（1）求直线l的方程；
（2）求与直线l切于点（2，2），圆心在直线上的圆的方程.
【答案】（1）；（2）.
【解析】
试题分析：（1）根据点斜式方程,即可求出直线方程；（2）先求圆心，利用过点与直线垂直的直线必过圆心，圆心在直线上，求出圆心，然后圆心与点的距离等于半径，即可得到圆的方程.
.解：（1）由直线方程的点斜式，得整理，得所求直线方程为4分
（2）过点（2，2）与l垂直的直线方程为， 6分
由得圆心为（5，6）， 8分
∴半径， 10分
故所求圆的方程为． 12分
考点：1.直线方程；2.圆的方程
18.已知坐标平面上点与两个定点，的距离之比等于5.
（1）求点的轨迹方程，并说明轨迹是什么图形；
（2）记（1）中的轨迹为，过点的直线被所截得的线段的长为 8，求直线的方程.
【答案】（1）（2），或．
【解析】
【试题分析】（1）运用两点间距离公式建立方程进行化简；（2）借助直线与圆的位置关系，运用圆心距、半径、弦长之间的关系建立方程待定直线的斜率，再用直线的点斜式方程分析求解：
(1)由题意，得
化简，得．
即．
点的轨迹方程是
轨迹是以为圆心，以为半径的圆
(2)当直线的斜率不存在时，，
此时所截得的线段的长为，
符合题意．
当直线的斜率存在时，设的方程为
，即，
圆心到的距离，
由题意，得，
解得．
∴直线的方程为．
即.
综上，直线的方程为
，或.
点睛：轨迹方程的探求是高中数学中重要的题型之一，本题中的第一问是典型的到两定点距离之比为定值的点的轨迹的探求。求解时直接运用两点间距离公式建立方程，然后再两边平方进行化简，从而获得答案；第二问也是传统的直线与圆相交的问题题型。求解时先运用点斜式建立直线的方程，然后运用圆心距、半径、弦长之间的关系建立方程待定直线的斜率，再用直线的点斜式方程使得问题获解。
19.如图所示，ABCD是正方形，O是正方形的中心，PO⊥底面ABCD，底面边长为a，E是PC的中点．
（Ⅰ）求证：PA∥平面BDE；
（Ⅱ）平面PAC⊥平面BDE；
（Ⅲ）若二面角E-BD-C为30°，求四棱锥P-ABCD的体积．
【答案】（I）详见解析；（II）详见解析；（III）.
【解析】
【分析】
（Ⅰ）连接，证明．然后证明平面
（Ⅱ）证明，，推出平面，然后证明平面⊥平面
（Ⅲ）取中点，连接，说明为二面角的平面角，求出，，．然后求解几何体的体积
【详解】解：（Ⅰ）证明：连接OE，如图所示．
∵O、E分别为AC、PC中点，
∴OE∥PA．
∵OE面BDE，PA平面BDE，
∴PA∥平面BDE．
（Ⅱ）证明：∵PO⊥平面ABCD，∴PO⊥BD．
在正方形ABCD中，BD⊥AC，
又∵PO∩AC=O，∴BD⊥平面PAC．
又∵BD⊂平面BDE，∴平面PAC⊥平面BDE．
（Ⅲ）取OC中点F，连接EF．
∵E为PC中点，
∴EF为△POC的中位线，∴EF∥PO．
又∵PO⊥平面ABCD，
∴EF⊥平面ABCD，
∵OF⊥BD，∴OE⊥BD．
∴∠EOF为二面角E-BD-C的平面角，
∴∠EOF=30°．
在Rt△OEF中，
OF=OC=AC=a，
∴EF=OF•tan30°=a，∴OP=2EF=a．
∴VP-ABCD=×a2×a=a3．
【点睛】本题考查平面与平面垂直，直线与平面平行的判定定理的应用，几何体的体积的求法，考查计算能力，熟练运用各知识点来解题是关键
20.如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中．
（I）求证：AC⊥BD1；
（Ⅱ）是否存在直线与直线 AA1，CC1，BD1都相交？若存在，请你在图中画出两条满足条件的直线（不必说明画法及理由）；若不存在，请说明理由．
【答案】（I）详见解析；（II）存在，图形见解析.
【解析】
【分析】
（Ⅰ）连结，推导出，，由此能证明
（Ⅱ）作出满足条件的直线一定在平面中，且过的中点并与直线，相交
【详解】（Ⅰ）证明：如图，连结BD
∵正方体ABCD-A1B1C1D1，
∴D1D⊥平面ABCD．
∵AC⊂平面ABCD，∴D1D⊥AC．
∵四边形ABCD是正方形，∴AC⊥BD．
∵BD∩D1D=D，∴AC⊥平面BDD1．
∵BD1⊂平面BDD1，∴AC⊥BD1．
（Ⅱ）存在．答案不唯一，
作出满足条件的直线一定在平面ACC1A1中，
且过BD1的中点并与直线A1A，C1C相交．
【点睛】本题考查线线垂直的证明，考查满足条件的直线的作法，是中档题，解题时要认真题、注意空间思维能力的培养
21.平面直角坐标系中，在x轴的上方作半径为1的圆Γ，与x轴相切于坐标原点O．平行于x轴的直线l1与y轴交点的纵坐标为-1，A（x，y）是圆Γ外一动点，A与圆Γ上的点的最小距离比A到l1的距离小1．
（Ⅰ）求动点A的轨迹方程；
（Ⅱ）设l2是圆Γ平行于x轴的切线，试探究在y轴上是否存在一定点B，使得以AB为直径的圆截直线l2所得的弦长不变．
【答案】（I）；（II）存在满足题意.
【解析】
【分析】
（Ⅰ）由题意，圆Γ上距距离最小的点在上，于是依题意知的长度等于到的距离，即可求解；
（Ⅱ）假设存在这样的点，设其坐标为，以为直径的圆的圆心为，过作的垂线，垂足为，则点坐标为，于是，，根据弦长公式建立关系，待定系数法，即可求解的值，可得其坐标
【详解】解：（Ⅰ）设圆Γ的圆心为O1，显然圆Γ上距A距离最小的点在AO1上，
于是依题意知AO1的长度等于A到l1的距离．显然A不能在l1的下方，
若不然A到l1的距离小于AO1的长度，
故有，
即y=x2（x≠0）．
（Ⅱ）若存在这样的点B，设其坐标为（0，t），
以AB为直径的圆的圆心为C，过C作l2的垂线，垂足为D．
则C点坐标为（），于是CD=，
AB=
设所截弦长为l，
则=CD2=
于是l2=（12-4t）y+8t-16，
弦长不变即l不随y的变化而变化，
故12-4t=0，即t=3．
即存在点B（0，3），满足以AB为直径的圆截直线l2所得的弦长不变．
【点睛】本题考查了轨迹方程的求法和待定系数法的应用，是中档题，解题时需要设点坐标，表示出弦长，需要掌握解题方法
22.已知函数f（x）=log2（x+a）．
（Ⅰ）当a=1时，若f（x）+f（x-1）＞0成立，求x的取值范围；
（Ⅱ）若定义在R上奇函数g（x）满足g（x+2）=-g（x），且当0≤x≤1时，g（x）=f（x），求g（x）在[-3，-1]上的解析式，并写出g（x）在[-3，3]上的单调区间（不必证明）；
（Ⅲ）对于（Ⅱ）中的g（x），若关于x的不等式g（）≥g（-）在R上恒成立，求实数t的取值范围．
【答案】（I）；（II）见解析；（III）.
【解析】
【分析】
（Ⅰ）当时，可化为，解不等式组可得答案
（II）根据已知可得，在结合条件求得的解析式，进而分析出在上的单调区间
（III）关于的不等式在上恒成立，即，分类讨论后，综合讨论结果，可得答案
【详解】解：（Ⅰ）当a=1时，f（x）=log2（x+1）．
∴f（x-1）=log2x，
∴f（x）+f（x-1）=log2（x+1）+log2x=log2[x（x+1）]，
若f（x）+f（x-1）＞0，则，
解得：x∈（，+∞），
即x的取值范围为（，+∞）；
（Ⅱ）∵函数g（x）是定义在R上奇函数，
故g（0）=0，
又∵当0≤x≤1时，g（x）=f（x）=log2（x+a）．
故a=1，
当x∈[-2，-1]时，x+2∈[0，1]，
∴g（x）=-g（x+2）=-log2（x+3）．
当x∈[-3，-2]时，x+2∈[-1，0]，-（x+2）∈[0，1]，
∴g（x）=-g（x+2）=g[-（x+2）]=log2[-（x+2）+1]=log2（-x-1）．
故g（x）=，
g（x）在[-3，-1]和[1，3]上递减，在[-1，1]上递增；
（III）记u==-+，
当t+1≥0时，u∈（-，-+）=（-，），
由g（）≥g（-）在R上恒成立可得：（-，）[，]，
解得：t∈[-1，20]．
当t+1＜0时，u∈（-+，-）=（，-），
由g（）≥g（-）在R上恒成立可得：（，-）[.]，
解得：t∈[-4，-1）．
综上所述实数t的取值范围为[-4，20]．
【点睛】本题考查的知识点是对数函数的图象与性质，对数不等式的解法，求函数的解析式，恒成立问题，是函数图象和性质的综合应用，难度较大，属于难题
公众号“品数学”，一个提供数学解题研究，并且提供资料下载的公众号！
展开阅读全文
浙ICP备2021020529号-1 | 浙B2-20240490 
