2021北京高三(上)期中数学汇编：数列.docx

2021北京高三（上）期中数学汇编
数列
一、单选题
1．（2021·北京海淀·高三期中）已知等比数列的公比为，若为递增数列且，则（　　）
A． B．
C． D．
2．（2021·北京市第三中学高三期中）已知数列的通项公式为，则“”是“数列单调递增”的（　　）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
3．（2021·北京市第五中学通州校区高三期中）已知等差数列的前项和为，且，，则下面结论错误的是（ ）
A． B． C． D．与均为的最小值
4．（2021·北京通州·高三期中）已知等差数列的前项和为，若，，则等于（    ）
A． B． C． D．
5．（2021·北京一七一中高三期中）等比数列的公比为q，前n项和为，设甲：，乙：是递增数列，则（    ）
A．甲是乙的充分条件但不是必要条件
B．甲是乙的必要条件但不是充分条件
C．甲是乙的充要条件
D．甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件
6．（2021·北京十五中高三期中）已知等比数列的各项均为正数，且，则（    ）
A． B． C．10 D．15
7．（2021·北京市第五中学通州校区高三期中）已知数列满足，且对任意，都有，那么为（    ）
A． B． C． D．10
8．（2021·北京十四中高三期中）若等比数列满足，且公比，则
A． B． C． D．
二、填空题
9．（2021·北京市第十五中学南口学校高三期中）在等比数列中，已知，则__________．
10．（2021·北京海淀·高三期中）已知是数列的前项和.若，则__________.
三、双空题
11．（2021·北京通州·高三期中）设首项是1的数列的前项和为，且则______；若，则正整数的最大值是________．
12．（2021·北京朝阳·高三期中）设等比数列的前n项和为，公比为.若，，，则___________；___________.
13．（2021·北京市第十三中学高三期中）在2和30之间插入两个正数，使前三个数成等比数列，后三个数成等差数列，则插入的两个数依次为______、__________.
14．（2021·北京十四中高三期中）在等差数列中，，，则公差为_____；______.
15．（2021·北京市房山区良乡中学高三期中）设为等比数列，其前项和为，，.则的通项公式是 __________；，则的最小值为__________.
16．（2021·北京市第五中学通州校区高三期中）在等比数列中，，则公比_______；若，则n的最大值为_________．
17．（2021·北京十五中高三期中）数列是公差为的等差数列，记的前项和为，且成等比数列，则_______；_______.
四、解答题
18．（2021·北京·首都师范大学附属中学高三期中）已知数列的前n项和为Sn，满足．
(1)求证：数列是等比数列，并求数列的通项公式；
(2)若不等式2对任意的正整数n恒成立，求实数λ的取值范围．
19．（2021·北京四中高三期中）数列满足：或对任意i，j，都存在s，t，使得，其中且两两不相等.
(1)若时，写出下列三个数列中所有符合题目条件的数列序号；①；②；③；
(2)记，若证明：；
(3)若，求n的最小值.
20．（2021·北京通州·高三期中）设等差数列的前项和是，是各项均为正数的等比数列，且，．在①，②，③这三个条件中任选一个，解下列问题：
(1)分别求出数列和的通项公式；
(2)若，求数列的前项和． 注：如果选择多个条件解答，按第一个解答计分．
21．（2021·北京朝阳·高三期中）已知数列的前n项和为，，.
(1)求，；
(2)若数列是等差数列，且，，求数列的通项公式；
(3)设，求.
22．（2021·北京·首都师范大学附属中学高三期中）已知是等差数列，是等比数列，且，，，.
(1)求的通项公式；
(2)设，求数列的前n项和.
23．（2021·北京海淀·高三期中）已知等差数列满足.
(1)若，求数列的通项公式；
(2)若数列是公比为3的等比数列，且，求数列的前n项和.
24．（2021·北京师大附中高三期中）对于数列，定义 设的前项和为.
（1）设，写出；
（2）证明：“对任意，有”的充要条件是“对任意，有”；
（3）已知首项为0，项数为的数列满足：
①对任意且，有；
②.
求所有满足条件的数列的个数.
25．（2021·北京市第二十二中学高三期中）首项为0的无穷数列同时满足下面两个条件：①；②．
（Ⅰ）请写出的所有可能值：
（Ⅱ）求证：对任意正整数中至少有一个小于0；
（Ⅲ）对于给定的正整数k，求的最大值．
26．（2021·北京十四中高三期中）对于实数数列{an}，记.
（1）若m1=1，m2=2，m3=4，m4=8，写出a1，a2，a3，a4的值；
（2）若数列{an}是等差数列，求证：对任意三元数组(i，j，k)(i，j，k两两不相等)，总有(i﹣j)mk+(j﹣k)mi+(k﹣i)mj=0；
（3）若对任意三元数组(i，j，k)(i，j，k两两不相等)，存在常数c，使得(i﹣j)mk+(j﹣k)mi+(k﹣i)mj=c，求证：{an}是等差数列.
27．（2021·北京市第三中学高三期中）已知等差数列满足，.
（1）求的通项公式；
（2）等比数列的前项和为，且，再从条件①、条件②、条件③这三个条件中任选择两个作为已知条件，求满足的的最大值.
条件①：；条件②：；条件③：.
28．（2021·北京市第四十三中学高三期中）已知是等差数列，是各项都为正数的等比数列，再从条件①，条件②，条件③这三个条件中选择两个作为已知.
（1）求数列的通项公式;
（2）求数列的前n项和.
条件①:；条件②:；条件③:
29．（2021·北京市第四十三中学高三期中）已知等比数列满足．
（1）求的通项公式及前项和；
（2）设，求数列的前项和．

参考答案
1．C
【分析】由题意可得，再由即可得的取值范围.
【详解】因为等比数列为递增数列且，
所以，
则，即，
故选：C.
2．C
【分析】数列单调递增，可得的范围.由“”，由，可得的范围.即可判断出关系.
【详解】解：数列单调递增，可得：，化为：.
∴.
由“”可得：，可得：.
∴“”是“数列单调递增”的充要条件，
故选：C.
3．C
【分析】对于A选项，根据得到判断；对于C选项，根据得到判断；对于D选项，根据得到，结合判断； 对于B选项，根据，，得到时，判断.
【详解】对于A选项，由可得，A选项正确；
对于C选项，由可得，∴，C选项错误；
对于D选项，由可得，且，，，
所以，当且时，，且，则与均为的最小值，D选项正确；
对于B选项，∵，，当时，，
所以，，B选项正确．
故选：C．
4．C
【分析】由等差数列的前项和性质，求出，进而得到.
【详解】由等差数列的前项和性质，
得：，，也成等差数列，
即，
又因，，则解得，
因此.
故选：C.
5．B
【分析】当时，通过举反例说明甲不是乙的充分条件；当是递增数列时，必有成立即可说明成立，则甲是乙的必要条件，即可选出答案．
【详解】由题，当数列为时，满足，
但是不是递增数列，所以甲不是乙的充分条件．
若是递增数列，则必有成立，若不成立，则会出现一正一负的情况，是矛盾的，则成立，所以甲是乙的必要条件．
故选：B．
【点睛】在不成立的情况下，我们可以通过举反例说明，但是在成立的情况下，我们必须要给予其证明过程．
6．C
【分析】根据等比数列的性质得，由对数运算化简即可．
【详解】解：因为等比数列的各项均为正数，且
所以
.
故选：C．
【点睛】对数运算的一般思路：
（1）拆：首先利用幂的运算把底数或真数进行变形，化成分数指数幂的形式，使幂的底数最简，然后利用对数运算性质化简合并；
（2）合：将对数式化为同底数的和、差、倍数运算，然后逆用对数的运算性质，转化为同底对数真数的积、商、幂的运算．
7．A
【分析】依次计算出的值.
【详解】化简可得，则，，.
故选：A
8．C
【详解】试题分析：方法一：根据观察，数列可以为，即，那么.
方法二：对于，又，则.
方法三：对于，解方程可得，，那么通项，可知，，则.
故选C.
考点：1等比数列的基本性质;2等比数列的通项公式.
9．32
【分析】根据已知求出公比即可求出答案.
【详解】设等比数列的公比为，则，则，
所以.
故答案为：32.
10．
【分析】根求出和，由即可求解.
【详解】因为是数列的前项和.若，
可得，，
所以，
故答案为：.
11．     5     16
【分析】根据递推公式即可求得，由题意可得，，可得，可得奇数项和偶数项的通项公式，求和公式，考虑，计算可得所求最小值．
【详解】解：因为，
则，，
由，可得，，
则，，可得，
所以，，
，
，所以，
当时，，又，
所以，所以正整数的最大值是16.
故答案为：5，16.
12．         
【分析】首先根据，，求出，再计算即可.
【详解】∵ ，，
∴ ，又，
∴
∴ ，
故答案为：，.
13．     6     18
【分析】依题意设出此数列，进而根据等比中项的性质和等差中项的性质联立方程组求得和，则插入的两个数可求．
【详解】解：设此数列为2，，，30．
于是有，
解得，．
故插入的两个正数为6，18，
故答案为：6，18．
14．         
【分析】设公差为，根据等差数列的通项公式求出，即可求出的通项，再利用等差数列求和公式计算可得；
【详解】解：设公差为，因为，，所以，即，
所以，所以
故答案为：；
15．          6
【分析】设等比数列的公比为，由题意可得，，从而解得，，即可写出通项公式及前项和公式，从而解不等式.
【详解】解：设等比数列的公比为，
则，，
解得，，
故，
，
，
即，
故的最小值为6，
故答案为：，6.
16．          3
【分析】首先求出数列的公比、，即可得到数列的通项公式，再根据通项公式对分奇偶讨论，即可得解；
【详解】解：因为，所以，所以，即，所以；所以当为偶数时，，当为奇数时，
要使，所以且为奇数即且为奇数，所以或
故答案为：，
17．     8    
【解析】由等比数列的性质得，解出的值，再结合等差数列的前项和公式可得结果.
【详解】因为数列是公差为的等差数列，成等比数列，
所以，即，解得；
所以，
故答案为：8，.
18．(1)证明见详解；
(2)
【分析】（1）利用得，变形得，则可证明等比数列，根据等比数列的通项公式可得答案；
（3）令，通过计算的正负，求出的最大值，将题目转化为，解不等式即可.
（1）
①
②
①-②得，即，
变形可得，
又，得
故数列是以-1为首项，为公比的等比数列，
由等比数列的通项公式可得，
.
（2）
令，则

当或时，，
当时，
又，，
因为不等式对任意的正整数恒成立，
，解得.
19．(1)②③
(2)证明见详解
(3)1008
【分析】（1）由题干的四个限定条件对数列序号逐一判断即可；
（2）由反证法证明即可；
（3）由（2）得出一个，证明满足题意，即可得到的最小值，
(1)由题可知，数列必满足：或1，对任意i，j，都存在s，t，使得，且两两不相等，
对①，，不满足，故①不符合；
对②，当时，存在，同理当时，存在，当时，存在，故②符合；
同理对③也满足，故满足题目条件的序列号为：②③；
(2)证明：当时，设数列中1，2，3出现的频次为，由题意知，，假设时，，（对任意），与已知矛盾，故，同理可证，
假设，数列可表示为：，显然，故，经验证时，显然符合，所以，，，数列的最短数列可表示为：，故；
(3)由（2）知，数列首尾应该满足，假设中间各出现一次，此时，显然满足或1，
对或时显然满足（）；
对，或时显然满足（）；
对，时，则可选取，满足；同理若，，则可选取，满足；
如果，则可取，这种情况下每个数最多被选取一次，因此也成立，故对任意i，j，都存在s，t，使得，其中且两两不相等，故的最小值为1008
20．(1)条件选择见解析，，
(2)
【分析】（1）设等差数列的公差为，等比数列的公比为，由题意从三个条件中任选一个，然后列方程组求解即可得答案；
（2）由（1）知，，，则，利用裂项相消求和法即可得数列的前项和.
(1)解：设等差数列的公差为，等比数列的公比为．
若选①，则
由，得，解得或不合题意，舍去．
所以，即，，即．  
若选②，则由，得，解得或不合题意，舍去.
所以，即，，即．
若选③，则由得解得，
所以，即，，即．
(2)解：由（1）知，，，
所以 .  
所以．
21．(1)；；
(2)
(3)
【分析】（1）直接令求解即可；
（2）结合（1）令得，进而求得的公差为，再根据通项公式求解即可；
（3）根据得数列的通项公式，再结合（2）得，进而根据等比数列前项和公式求解即可.
（1）解：令，则，解得，
令，则，解得.
所以；；
（2）解：由（1）知；，
所以令，则，解得.
所以，，
设等差数列的公差为，则，解得
所以数列的通项公式为
（3）解：由（1）知，时，，
当时，，整理得，
所以数列是等比数列，公比为，首项为
所以.
由（2）知，
所以，
所以，即数列是等比数列，公比为，首项为，
所以
22．(1)
(2)
【分析】（1）设是公差为d的等差数列，是公比为q的等比数列，运用通项公式可得，，进而得到所求通项公式；
（2）求得，再由数列的求和方法：分组求和，运用等差数列和等比数列的求和公式，计算即可得到所求和.
(1)解：（1）设是公差为d的等差数列，
是公比为q的等比数列，
由，，可得，
；
即有，，
则，
则；
(2)解：，
则数列的前n项和为
.
23．(1)
(2)
【分析】（1）采用作差法可得，再由求出，即可求解的通项公式；
（2）先求出的通项公式，再求出，结合分组求和法即可求解
(1)由①，可得②，两式作差得，
因为，所以，，，
则是以首项为2，公差为2的等差数列，故；
(2)由是公比为3的等比数列，且可得，设，则是以首项为1，公比为3的等比数列，故，
即，，
结合分组求和法可得
24．（1），，，；（2）证明见解析；（3）.
【分析】（1）根据题意代入可得答案；  
（2）必要性：有，，将两式作差，得；充分性：若对任意，有，则，可得证；
（3）不妨假设中，有项，项，项，建立方程组，解之可得项中组，且满足，从而求得答案.
【详解】解：（1）因为，，，，，
根据题意可得，，，.   
（2）必要性：对，有，因此.      
对任意且，有，，
两式作差，得，即，
因此 .    
综上，对任意，有.
充分性：若对任意，有，则，
所以 .
综上，“对任意，”的充要条件是“对任意，
”.     
（3）已知，即中，
不妨假设中，有项，项，项，
则，
且，
所以项中组，且满足，，所以可知与固定，
且项中有一项为，所以共有个 ；
25．（Ⅰ）；（Ⅱ）证明见解析；（Ⅲ）
【分析】（Ⅰ）根据数列满足的两个条件直接求解即可；
（Ⅱ）用反证法，先假设数列中存在同时为非负数，然后证明与条件矛盾；
（Ⅲ）根据题意可得出当为奇数时，，当为偶数时，，然后讨论当为奇数时和当为偶数时可得.
【详解】（Ⅰ）由题，即，又，，
则，求得或1，均满足，
当时，，解得或，均满足，
当时，，解得或，又，故，
综上，的所有可能值为；
（Ⅱ）假设数列中存在同时为非负数，
因为，
若，则有，与条件矛盾；
若，则有，与条件矛盾，
即假设不存在，即对任意正整数中至少有一个小于0；
（Ⅲ）记，由（Ⅱ）可得不能都为非负数，
当，则，
根据，得到，所以，
当，则，
根据，得到，所以，
所以，总有成立，，
当为奇数时，，故的奇偶性不同，则，当为偶数时，，
当为奇数时，，
考虑数列：
可以验证，所给的数列满足条件，且，所以的最大值为0，
当为偶数时，，
考虑数列：，
可以验证，所给数列满足条件，且，
综上，的最大值为.
【点睛】关键点睛：解决本题的关键是正确利用已知条件，利用反证法证明，得出当为奇数时， ，当为偶数时，.
26．（1）a1= 1， a2=3，a3=8，a4=20；（2）证明见解析；（3）证明见解析.
【分析】（1）根据数列的递推公式代值计算即可；
（2）根据等差数列的通项公式可得，根据已知条件可得，代换到，即求证；
（3）先求出，取，，，得，可得数列是等差数列，根据等差数列的通项公式和求和公式即可证明．
【详解】解：（1），，则，
，则，
，则，
证明：（2）由等差数列的通项公式可得，可得，
并注意到，
于是，
，
；
证明：（3）首项交换中的，可得，
两式相加可得，
于是对任意三元数组，，，，两两不相等，总有，
取，，，
得，
即，于是数列是等差数列，
故，
另一方面，
于是，
当时，用替换得，
，
两式相减得，，
也满足上式，故是等差数列；
【点睛】本题考查数列的递推公式，等差数列的通项公式求和公式，解答的关键是对等差数列的定义的理解．
27．（1）；（2）选择①②：10；选择①③：10；选择②③：10.
【解析】（1）利用等差数列的通项公式将已知条件转化为关于和的方程，即可求解；
（2）选择①②时，根据条件①②可以求出，.，再利用可以求出，即可求出的公比，利用等比数列前项和公式计算出，解不等式即可；
选择①③时，首先利用和求出，，再利用可得，利用等比数列前项和公式计算出，解不等式即可；选择②③时，，，可得结合，可得公比，利用等比数列前项和公式计算出，解不等式即可.
【详解】（1）设等差数列的公差为d，则，
因为，，
所以，解得：
所以；
（2）（I）选择①②
设等比数列的公比为q，
因为，，
所以，，
因为，所以，
所以，所以，
因为，所以，
所以，即n的最大值为10.
（II）选择①③
设等比数列的公比为q，
因为，，
所以，，
所以，，
因为，所以，
所以，
因为，所以，
所以.即n的最大值为10.
选择②③
设等比数列的公比为q
因为，，
所以.
所以，或.
因为，所以.
所以.
因为，所以
所以.即n的最大值为10.
【点睛】关键点点睛：本题的关键是熟记等差和等比数列的通项公式，等比数列的前项和公式，关键是利用得出.
28．答案见解析
【解析】根据选择的条件建立方程即可求出的首项和公差，的首项和公比，即可求出数列的通项公式和数列的前n项和.
【详解】选择条件①和条件②：
（1）设等差数列的公差为，
，则，
；
（2）设等比数列的公比为，，
，解得，
设数列的前n项和为，
.
选择条件①和条件③：
（1）设等差数列的公差为，
，则，
；
（2），
设等比数列的公比为，，
，解得，
设数列的前n项和为，
.
选择条件②和条件③：
（1）设等比数列的公比为，，
，解得，
，
设等差数列的公差为，
，又，故，
；
（2）设数列的前n项和为，
由（1）可知.
【点睛】本题考查等差等比数列基本量的计算，属于基础题.
29．（1）（），；（2）
【分析】（1）根据等比中项的性质及可求得.再由可求得公比和首项，进而得数列的通项公式；由等比数列求和公式即可求得前项和；
（2）将代入式子可求得数列的通项公式，利用裂项求和法即可得数列的前项和.
【详解】（1）设等比数列的公比为．
因为且
所以，得，
又因为，
所以，得．
所以（），
所以．
（2）因为
所以，则，
所以．
所以数列的前项和,

．
【点睛】本题考查了等比数列通项公式及等比中项的简单应用，等比数列求和公式的应用，裂项求和法的应用，属于中档题.
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