2021北京十二中初二(上)期中数学(教师版).docx

2021北京十二中初二（上）期中
数 学
一、选择题（本大题共12小题，共24分）
1．（2分）下列各式中，计算正确的是　　
A． B． C． D．
2．（2分）如果三角形的三个内角的度数比是，则它是　　
A．锐角三角形 B．钝角三角形
C．直角三角形 D．钝角或直角三角形
3．（2分）如图，若，四个点、、、在同一直线上，，，则的长是　　)

A．2 B．3 C．5 D．7
4．（2分）下列计算正确的是　　
A． B．
C． D．
5．（2分）已知，则的值为　　
A．4 B．3 C．1 D．0
6．（2分）若，则的值为　　
A．3 B． C． D．
7．（2分）如图，已知，有四个可添加的条件：①；②；③；④．能使的条件有　　

A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
8．（2分）如图，已知直线，直角三角形中，，若，那么　　

A． B． C． D．
9．（2分）如果两个三角形中两条边和其中一边上的高对应相等，那么这两个三角形的第三条边所对的角的关系是　　
A．相等 B．不相等 C．互余或相等 D．互补或相等
10．（2分）如图，在格的正方形网格中，与有一条公共边且全等（不与重合）的格点三角形（顶点在格点上的三角形）共有　　

A．5个 B．6个 C．7个 D．8 个
11．（2分）如图，在平面直角坐标系中，以为圆心，适当长为半径画弧，交轴于点，交轴于点，再分别以点，为圆心，大于的长为半径画弧，两条弧在第二象限交于点，若点的坐标为，则，的数量关系是　　

A． B． C． D．
12．（2分）如果一个正整数可以表示为两个连续奇数的平方差，那么称该正整数为“和谐数”如，，即8，16均为“和谐数” ，在不超过2017的正整数中，所有的“和谐数”之和为　　
A．255054 B．255064 C．250554 D．255024
二、填空题（本大题共10小题，共30分）
13．（3分）因式分解：　　．
14．（3分）计算：　　．
15．（3分）如图，，，则　　．

16．（3分）若，，则　　．
17．（3分）若，则　　．
18．（3分）长、宽分别为、的矩形，它的周长为14，面积为10，则的值为　 　．
19．（3分）在中，，，是边上的中线，则的取值范围是　　．
20．（3分）4个数、、、排列，我们称之为二阶行列式，规定它的运算法则为，若，则　　．
21．（3分）已知，、为整数，则　 　．
22．（3分）如图，已知四边形中，厘米，厘米，厘米，，点为线段的中点．如果点在线段上以3厘米秒的速度由点向点运动，同时，点在线段上由点向点运动．当点的运动速度为　　厘米秒时，能够使与以、、三点所构成的三角形全等．

三、计算题（本大题共4小题，共12分）
23．（3分）计算：．
24．（3分）．
25．（3分）．
26．（3分）计算：．
四、因式分解（本大题共3小题，共9分）
27．（3分）因式分解：．
28．（3分）因式分解：．
29．（3分）因式分解：．
五、解答题（本大题共5小题，30题4分，31-33每题5分，34题6分，共25分）
30．（4分）如图，，，，求证：．

31．（5分）已知，求：的值．
32．（5分）已知：如图所示，，，、分别是、的中点，求证：．

33．（5分）若、、为三角形的三边长，试证明：的值一定为负．
34．（6分）探究与发现：
探究一：我们知道，三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和．那么，三角形的一个内角与它不相邻的两个外角的和之间存在何种数量关系呢？

已知：如图1，与分别为的两个外角，试探究与的数量关系．
探究二：三角形的一个内角与另两个内角的平分线所夹的钝角之间有何种关系？
已知：如图2，在中，、分别平分和，试探究与的数量关系．
探究三：若将改为任意四边形呢？
已知：如图3，在四边形中，、分别平分和，试利用上述结论探究与的数量关系．

参考答案
一、选择题（本大题共12小题，共24分）
1．【分析】分别根据合并同类项的法则、同底数幂的乘法法则、幂的乘方法则以及同底数幂除法法则解答即可．
【解答】解：、与不是同类项，故不能合并，故选项不合题意；
、，故选项不合题意；
、，故选项不符合题意；
、，故选项符合题意．
故选：．
【点评】本题主要考查了幂的运算性质以及合并同类项的法则，熟练掌握运算法则是解答本题的关键．
2．【分析】利用“设法”求出最大角的度数，然后作出判断即可．
【解答】解：设三个内角分别为、、，
则，
解得，
所以，最大的角为，
所以，三角形是锐角三角形．
故选：．
【点评】本题考查了三角形的内角和定理，利用“设法”表示出三个内角求解更加简便．
3．【分析】根据全等三角形的对应边相等得到，计算即可．
【解答】解：，
，
又，
，
，
．
故选：．
【点评】本题考查的是全等三角形的性质，掌握全等三角形的对应边相等、全等三角形的对应角相等是解题的关键．
4．【分析】直接利用完全平方公式以及单项式乘多项式、多项式乘多项式分别计算，进而得出答案．
【解答】解：．，故此选项不合题意；
．，故此选项不合题意；
．，故此选项不合题意；
．，故此选项符合题意．
故选：．
【点评】此题主要考查了整式的混合运算，正确掌握整式的乘法运算以及运用完全平方公式是解题关键．
5．【分析】先将原式化简，然后将整体代入求解．
【解答】解：，

．
故选：．
【点评】此题考查的是整体代入思想在代数求值中的应用．
6．【分析】根据题意可知：将展开，再根据对应项系数相等求解．
【解答】解：，
而；
即，
．
故选：．
【点评】本题主要考查完全平方公式的应用，利用对应项系数相等求解是解题的关键．
7．【分析】要确定添加的条件，首先要看现有的已知条件，，还有一条公共边，具备一角，一边分别对应相等，只要再添加任意一边或任意一角都能使得三角形全等，于是答案可得．
【解答】解：添加①，可根据判定；
添加②，可根据判定
添加③，可根据判定；
添加④，可根据判定．
故选：．
【点评】本题重点考查了三角形全等的判定定理，普通两个三角形全等共有四个定理，即、、、，直角三角形可用定理，但、，无法证明三角形全等，本题是一道较为简单的题目．做题时要根据已知条件结合判定方法逐个验证．
8．【分析】利用三角形的内角和先计算，再通过平行线、对顶角把、、联系起来，利用外角与不相邻内角间关系可得结论．
【解答】解：，，
．
，，
．
，
．
．
故选：．

【点评】本题考查了三角形的内角和定理、平行线的性质等知识点，通过平行线的性质、对顶角的性质把、、联系起来是解决本题的关键．
9．【分析】第三边所对的角即为前两边的夹角．分两种情况，一种是两个锐角或两个钝角三角形，另一种是一个钝角三角形和一个锐角三角形．
【解答】解：第一种情况，当两个三角形全等时，是相等关系，
第二种情况，如图，，高，
，
在和△中，
，
△，
，
此时，，
是互补关系，
综上所述，这两个三角形的第三条边所对的角的关系是“相等或互补”．
故选：．

【点评】本题考查全等三角形的判定，应注意的是，两边相等不一定角相等，解题时要多方面考虑．
10．【分析】可以以和为公共边分别画出3个，不可以，故可求出结果．
【解答】解：以为公共边可画出，，三个三角形和原三角形全等．
以为公共边可画出三个三角形，，和原三角形全等．
以为公共边不可以画出一个三角形和原三角形全等，
所以可画出6个．
故选：．

【点评】本题考查全等三角形的性质，三条对应边分别相等，以及格点的概念．
11．【分析】根据作图方法可得点在第二象限的角平分线上，根据角平分线的性质和第二象限内点的坐标符号可得，然后再整理可得答案．
【解答】解：根据作图方法可得点在第二象限角平分线上；点到轴、轴的距离相等；点的横纵坐标互为相反数，
则点横纵坐标的和为0，
故，
整理得：，
故选：．
【点评】此题主要考查了基本作图角平分线的做法以及坐标与图形的性质：点到坐标轴的距离与这个点的坐标是有区别的，表现在两个方面：①到轴的距离与纵坐标有关，到轴的距离与横坐标有关；②距离都是非负数，而坐标可以是负数，在由距离求坐标时，需要加上恰当的符号．
12．【分析】（方法一）由，解得，可得在不超过2017的正整数中，“和谐数”共有252个，依此列式计算即可求解．
（方法二）经过规律发现，第个“和谐数”为，则2017以内最后一个“和谐数”为2016，它是第252个“和谐数”，然后用高斯数学从一直加到2016即可计算求解．
【解答】解：（方法一）由，解得，
则在不超过2017的正整数中，所有的“和谐数”之和为．
（方法二）由，可知第个和谐数为，则2017以内最后一个和谐数为2016．
．
故选：．
【点评】此题考查了平方差公式，弄清题中“和谐数”的定义是解本题的关键．
二、填空题（本大题共10小题，共30分）
13．【分析】首先提取公因式，再利用完全平方公式分解因式得出答案．
【解答】解：
．
故答案为：．
【点评】此题主要考查了提取公因式法以及公式法分解因式，正确应用公式是解题关键．
14．【分析】根据积的乘方运算法则进行简便计算．
【解答】解：原式

，
故答案为：．
【点评】本题考查积的乘方运算，掌握积的乘方运算法则是解题关键．
15．【分析】根据全等三角形对应角相等可得，再根据等式的性质两边同时减去可得结论．
【解答】证明：，
，
，
即．
故答案是：28．
【点评】本题考查了全等三角形的性质，三角形的内角和定理的应用，能熟记全等三角形的性质是解此题的关键，注意：全等三角形的对应角相等．
16．【分析】先利用平方差公式，再整体代入求值．
【解答】解：，
，
．
故答案为：3．
【点评】本题考查了平方差公式及整体代入的方法．掌握平方差公式是解决本题的关键．
17．【分析】由得，再根据幂的乘方以及同底数幂的乘法法则把所求式子化为，再把代入计算即可．
【解答】解：，
，
，
故答案为：4．
【点评】本题主要考查了同底数幂的乘法以及幂的乘方，熟记幂的运算法则是解答本题的关键．
18．【分析】由周长和面积可分别求得和的值，再利用因式分解把所求代数式可化为，代入可求得答案
【解答】解：
长、宽分别为、的矩形，它的周长为14，面积为10，
，，
，
故答案为：70．
【点评】本题主要考查因式分解的应用，把所求代数式化为是解题的关键．
19．【分析】作出图形，延长中线到，使，利用“边角边”证明和全等，根据全等三角形对应边相等可得，然后根据三角形任意两边之和大于第三边，两边之差小于第三边求出的范围，再除以2即可得解．
【解答】解：如图，延长中线到，使，
是三角形的中线
，
在和中，
，
，
，
，，
，即，
．
故答案为：．

【点评】本题考查了三角形的三边关系，全等三角形的判定与性质，根据辅助线的作法，“遇中线加倍延”作出辅助线构造全等三角形是解题的关键．
20．【分析】根据新定义得到，然后解方程即可．
【解答】解：根据题意得，
整理得，，
解得．
故答案为．
【点评】本题考查了整式的混合运算，解一元一次方程，掌握运算法则是解题的关键．
21．【分析】已知等式左边利用多项式乘多项式法则计算，整理后利用多项式相等的条件确定出的值即可．
【解答】解：已知等式整理得：，、为整数，
，，即，或，或，或，，
则，
故答案为：
【点评】此题考查了多项式乘多项式，以及多项式相等的条件，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
22．【分析】分两种情况讨论，依据全等三角形的对应边相等，即可得到点的运动速度．
【解答】解：设点运动的时间为秒，则，，
，
①当，时，与全等，
此时，，
解得，
，
此时，点的运动速度为厘米秒；
②当，时，与全等，
此时，，
解得，
点的运动速度为厘米秒；
故答案为：3或．

【点评】本题考查了全等三角形的性质和判定的应用，解决问题的关键是掌握全等三角形的对应边相等．
三、计算题（本大题共4小题，共12分）
23．【分析】分别根据同底数幂的乘法法则以及积的乘方运算法则化简，再合并同类项即可．
【解答】解：原式

．
【点评】本题主要考查了同底数幂的乘法以及幂的乘方与积的乘方，熟记幂的运算法则是解答本题的关键．
24．【分析】根据多项式乘多项式乘法法则解决此题．
【解答】解：

．
【点评】本题主要考查多项式乘多项式，熟练掌握多项式乘多项式乘法法则解决此题．
25．【分析】根据平方差公式和完全平方公式计算即可，平方差公式：两个数的和与这两个数的差相乘，等于这两个数的平方差，即；完全平方公式：．
【解答】解：

．
【点评】本题考查了整式的混合运算，掌握相关公式与运算法则是解答本题的关键．
26．【分析】根据完全平方公式进行简便运算．
【解答】解：

．
【点评】本题主要考查完全平方公式，熟练掌握完全平方公式是解决本题的关键．
四、因式分解（本大题共3小题，共9分）
27．【分析】逆用平方差公式进行因式分解．
【解答】解：．
【点评】本题主要考查运用公式法进行因式分解，熟练掌握公式法是解决本题的关键．
28．【分析】利用完全平方公式和其它整式乘法运算法则进行计算即可．
【解答】解：

．
【点评】此题考查了整式乘法的计算能力，关键是能准确选择完全平方公式及其它适合此题的运算方法进行运算．
29．【分析】逆用平方差公式进行因式分解．
【解答】解：

．
【点评】本题主要考查运用公式法进行因式分解，熟练掌握公式法是解决本题的关键．
五、解答题（本大题共5小题，30题4分，31-33每题5分，34题6分，共25分）
30．【分析】根据只要证明即可解决问题；
【解答】证明，
，
在和中，
，
．
【点评】本题考查全等三角形的判定，解题的关键是熟练掌握全等三角形的判定，属于中考常考题型．
31．【分析】根据，将所求式子变形，即可求得所求式子的值．
【解答】解：，

．
【点评】本题考查因式分解的应用，解答本题的关键是明确题意，利用因式分解的方法解答．
32．【分析】连接，证可得，根据中点的性质知，利用“”即可证明，可得．
【解答】证明：连接，

在和中，
，
，
，
，，分别是、的中点，
，
在和中，
，
，
．
【点评】本题考查了全等三角形的判定，考查了全等三角形对应边相等的性质，本题中求证和是解题的关键．
33．【分析】根据平方差公式和完全平方公式把变形为，再根据三角形的三边关系即可得出答案．
【解答】解：

，
、、为三角形的三边长，
，，，，
的值一定为负．
【点评】此题考查了三角形的三边关系，用到的知识点是平方差公式、完全平方公式以及三角形的三边关系，关键是对给出的式子进行变形．
34．【分析】探究一：根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和可得，，再根据三角形内角和定理整理即可得解；
探究二：根据角平分线的定义可得，，然后根据三角形内角和定理列式整理即可得解；
探究三：根据四边形的内角和定理表示出，然后同理探究二解答即可．
【解答】解：探究一：，，
；

探究二：、分别平分和，
，，

；

探究三：、分别平分和，
，，

．
【点评】本题考查了三角形的外角性质，三角形的内角和定理，多边形的内角和公式，此类题目根据同一个解答思路求解是解题的关键．
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