专题3-2-一元一次方程的解法【十大题型】(人教版)(原卷版).docx

专题3.2 一元一次方程的解法【十大题型】
【人教版】

【题型1 一元一次方程的整数解问题】 1
【题型2 换元法解一元一次方程】 2
【题型3 根据两个一元一次方程的解之间的关系求参数】 2
【题型4 错解一元一次方程问题】 2
【题型5 解一元一次方程】 3
【题型6 探究一元一次方程解的情况】 3
【题型7 同解问题】 4
【题型8 一元一次方程的解与参数无关】 4
【题型9 一元一次方程的解法在新定义中的运用】 5
【题型10 含绝对值的一元一次方程】 5

【知识点1 一元一次方程的解法】
解一元一次方程的一般步骤：去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1，这仅是解一元一次方程的
一般步骤，针对方程的特点，灵活应用，各种步骤都是为使方程逐渐向x=a形式转化．
【知识点2 一元一次方程的解】
定义：使一元一次方程左右两边相等的未知数的值叫做一元一次方程的解．
把方程的解代入原方程，等式左右两边相等．
【题型1 一元一次方程的整数解问题】
【例1】（2022·北京·首都师范大学附属中学七年级期中）若关于x的方程k−2019x−2017=6−2019x+1的解是整数，则整数k的取值个数是（    ）
A．5 B．3 C．6 D．2
【变式1-1】（2022·全国·课时练习）当整数k为何值时，方程9x−3=kx+15有正整数解．求出这些解．
【变式1-2】（2022·内蒙古通辽·七年级期末）若关于x的方程mx=3−x的解为整数，则正整数m的值为______．
【变式1-3】（2022·北京石景山·七年级期末）设为整数，且关于的一元一次方程.
（1）当时，求方程的解；
（2）若该方程有整数解，求的值.
【题型2 换元法解一元一次方程】
【例2】（2022·江苏·南通市八一中学七年级阶段练习）已知关于x的一元一次方程x2019+5=2019x+m的解为x=2018，那么关于y的一元一次方程5−y2019−5=2019(5−y)−m的解为（　　）
A．2013 B．−2013 C．2023 D．−2023
【变式2-1】（2022·河南·南阳市宛城区官庄镇第一初级中学七年级阶段练习）如果关于x的方程12022x＋2021＝2x＋m的解是x＝2023，则关于y的方程12022（y＋1）＋2021＝2（y＋1）＋m的解是y＝___．
【变式2-2】（2022·江西景德镇·七年级期末）若x=−4是关于x的方程ax−b=1a≠0的解，则关于x的方程a2x−3−b−1=0a≠0的解为______．
【变式2-3】（2022·山西临汾·七年级阶段练习）如果关于x的一元一次方程ax+b=0的解是x=−2，则关于y的一元一次方程ay−1+b=0的解是______．
【题型3 根据两个一元一次方程的解之间的关系求参数】
【例3】（2022·全国·七年级单元测试）关于x的方程4x−2m=3x−1的解是x=2x−3m的解的2倍，则m的值为（    ）
A．12 B．14 C．−14 D．−12
【变式3-1】（2022·山东菏泽·七年级期末）若方程12(x+1)=1的解与关于x的方程1−k2=x+1的解互为倒数，则k的值是_________．
【变式3-2】（2022·全国·七年级课时练习）若关于x的方程3x+6=0与关于y的方程5y+2m=18的解互为相反数，则m=____．
【变式3-3】（2022·江苏·南通市八一中学七年级阶段练习）已知方程2−3(x+1)=0的解与关于x的方程k+x2−2=2x的解互为倒数，求k的值．
【题型4 错解一元一次方程问题】
【例4】（2022·全国·七年级专题练习）在解关于x的方程x+23=x+a5−2时，小颖在去分母的过程中，右边的“−2”漏乘了公分母15，因而求得方程的解为x=4，则方程正确的解是（  ）
A．x=−10 B．x=16 C．x=203 D．x=4
【变式4-1】（2022·河南·上蔡县第一初级中学七年级阶段练习）将方程x+12−2x−36=1去分母，得到3x+3-2x-3=6，错在（   ）
A．最简公分母找错 B．去分母时，漏掉乘不含分母的项
C．去分母时，分子部分没有加括号 D．去分母时，各项所乘的数不同
【变式4-2】（2022·江苏·兴化市周庄初级中学七年级期中）小王在解关于x的方程2﹣＝3a﹣2x时，误将﹣2x看作+2x，得方程的解x＝1．
（1）求a的值；
（2）求此方程正确的解．
【变式4-3】（2022·四川·威远县凤翔中学七年级期中）小李在解方程3a−x=13（x为未知数）时，误将−x看作+x，解得方程的解x=−2，则a＝________，原方程的解为________．
【题型5 解一元一次方程】
【例5】（2022·全国·七年级课时练习）方程的解是x=(　)
A． B．- C． D．-
【变式5-1】（2022·山东威海·期末）解方程：
(1)4−2(x+4)=2(x−1)；
(2)13(x+7)=25−12(x−5)；
(3)0.3x−0.40.2+2=0.5x−0.20.3．
【变式5-2】（2022·全国·七年级单元测试）解方程：
(1)32−x=4−x．
(2)x+12−1=3x−23．
(3)9−3y=5y+5．
(4)3x−14−1=5x−76．
【变式5-3】（2022·全国·七年级课时练习）方程的解是____.
【题型6 探究一元一次方程解的情况】
【例6】（2022·全国·七年级课时练习）若m、n是有理数，关于x的方程3m（2x﹣1）﹣n＝3（2﹣n）x有至少两个不同的解，则另一个关于x的方程（m+n）x+3＝4x+m的解的情况是（　　）
A．有至少两个不同的解 B．有无限多个解
C．只有一个解 D．无解
【变式6-1】（2022·全国·七年级专题练习）阅读：关于x方程ax=b在不同的条件下解的情况如下：（1）当a≠0时，有唯一解x=；（2）当a=0，b=0时有无数解；（3）当a=0，b≠0时无解．请你根据以上知识作答：已知关于x的方程 •a= ﹣ （x﹣6）无解，则a的值是（   ）
A．1 B．﹣1 C．±1 D．a≠1
【变式6-2】（2022·全国·八年级课时练习）关于的方程，分别求为何值时，原方程：
（1）有唯一解
（2）有无数多解
（3）无解
【变式6-3】（2022·全国·七年级单元测试）已知关于x的方程4+3ax=2a﹣7有唯一解，关于y的方程2+y=（b+1）y无解，判断关于z的方程az=b的解的情况．
【题型7 同解问题】
【例7】（2022·全国·七年级课时练习）已知关于x的方程：2x−1+1=x与3x+m=m−1有相同的解，求关于y的方程3−my3=m−3y2的解．
【变式7-1】（2022·四川·仁寿县文宫镇古佛九年制学校七年级期中）若方程2x－m＝1和方程3x＝2(x－1)的解相同，则m的值为__________．
【变式7-2】（2022·全国·七年级课时练习）关于x的方程4x−5=3x−1的解与x+a2=2x+a3+1的解相同，则a的值为______．
【变式7-3】（2022·黑龙江·哈尔滨美加外国语学校七年级阶段练习）若关于x的方程3x−7=2x+a的解与方程4x+3=7的解相同，求a2+2a+1的值．
【题型8 一元一次方程的解与参数无关】
【例8】（2022·北京·首都师范大学附属中学七年级期中）若关于x的方程2kx+a3=1−x−bk6，无论k为何值，它的解总是x=1，则代数式2a+b=_________．
【变式8-1】（2022·全国·七年级课时练习）已知a，b为定值，且无论k为何值，关于x的方程的解总是x＝2，则_________．
【变式8-2】（2022·全国·七年级单元测试）若a，b为常数，无论k为何值时，关于x的一元一次方程(b+1)x=12−4ka，它的解总是1，则a，b的值分别是_______．
【变式8-3】（2022·山东滨州·七年级期末）若关于x的方程2kx+m3=2+x−nk6，无论k为任何数时，它的解总是x＝2，那么m+n＝_____．
【题型9 一元一次方程的解法在新定义中的运用】
【例9】（2022·全国·七年级专题练习）已知关于x的一元一次方程ax+b＝0（其中a≠0，a、b为常数），若这个方程的解恰好为x＝a﹣b，则称这个方程为“恰解方程”，例如：方程2x+4＝0的解为x＝﹣2，恰好为x＝2﹣4，则方程2x+4＝0为“恰解方程”．
(1)已知关于x的一元一次方程3x+k＝0是“恰解方程”，则k的值为 　 　；
(2)已知关于x的一元一次方程﹣2x＝mn+n是“恰解方程”，且解为x＝n（n≠0）．求m，n的值；
(3)已知关于x的一元一次方程3x＝mn+n是“恰解方程”．求代数式3（mn+2m2﹣n）﹣（6m2+mn）+5n的值．
【变式9-1】（2022·吉林·长春外国语学校七年级期末）新定义：如果两个一元一次方程的解互为相反数，就称这两个方程为“友好方程”，如：方程2x=6和3x+9=0为“友好方程”．
(1)若关于x的方程3x+m=0与方程2x−6=4是“友好方程”，求m的值．
(2)若某“友好方程”的两个解的差为6，其中一个解为n，求n的解．
【变式9-2】（2022·全国·七年级专题练习）我们规定：若关于x的一元一次方程a＋x＝b（a≠0）的解为x=ba，则称该方程为“商解方程”．例如：2＋x＝4的解为x＝2且2=42，则方程2＋x＝4是“商解方程”．请回答下列问题：
(1)判断3＋x＝5是不是“商解方程”．
(2)若关于x的一元一次方程6＋x＝3（m﹣3）是“商解方程”，求m的值．
【变式9-3】（2022·四川成都·七年级期末）一般情况下m2−n3=m−n2−3不成立，但有些数可以使得它成立，例如：m＝n＝0．我们称使得m2−n3=m−n2−3成立的一对数m，n为“神奇数对”，记为（m，n）．若（8，n）是“神奇数对”，且关于x的方程3x﹣6＝n与2x﹣1＝3k的解相等，则k的值为_____．
【题型10 含绝对值的一元一次方程】
【例10】（2022·全国·七年级课时练习）根据绝对值定义，若有|x|＝4，则x＝4或﹣4，若|y|＝a，则y＝±a，我们可以根据这样的结论，解一些简单的绝对值方程，例如：|2x+4|＝5
解：方程|2x+4|＝5可化为：2x+4＝5或2x+4＝﹣5
当2x+4＝5时，则有：2x＝1，所以x＝
当2x+4＝﹣5时，则有：2x＝﹣9；所以x＝﹣
故，方程|2x+4|＝5的解为x＝或x＝﹣
(1)解方程：|3x﹣2|＝4；
(2)已知|a+b+4|＝16，求|a+b|的值；
(3)在（2）的条件下，若a，b都是整数，则a•b的最大值是　 　（直接写出结果）．
【变式10-1】（2022·广东广州·七年级期末）解关于x的方程：||x＋3|－k|＝2．
【变式10-2】（2022·河北·武邑宏达实验学校八年级阶段练习）先阅读下列的解题过程，然后回答下列问题.
例：解绝对值方程：.
解：讨论：①当时，原方程可化为，它的解是；
②当时，原方程可化为，它的解是.
原方程的解为或.
（1）依例题的解法，方程算的解是_______；
（2）尝试解绝对值方程：；
（3）在理解绝对值方程解法的基础上，解方程：.
【变式10-3】（2022·河南周口·七年级期中）先阅读下列解题过程，然后解答后面两个问题．
解方程：|x-3|=2．
解：当x-3≥0时，原方程可化为x-3=2，解得x=5；
当x-3＜0时，原方程可化为x-3=-2，解得x=1．
所以原方程的解是x=5或x=1．
（1）解方程：|3x-2|-4=0．
（2）解关于x的方程：|x-2|=b+1