2021北京东城初二(上)期末数学(教师版).docx

2021北京东城初二（上）期末
数 学
一、选择题（本题共30分，每小题3分）下面各题均有四个选项，符合题意的选项只有一个
1．（3分）如果有意义，那么的取值范围是　　
A． B． C． D．
2．（3分）下列各式是最简二次根式的是　　
A． B． C． D．
3．（3分）若分式，则的值是　　
A． B． C． D．
4．（3分）下列各式中，运算正确的是　　
A． B． C． D．
5．（3分）2020年突如其来的新型冠状病毒肺炎疫情席卷全球，我国在党中央的坚强领导下，取得了抗击疫情的巨大成就．科学研究表明，某种新型冠状病毒颗粒的直径约为125纳米，1纳米米，若用科学记数法表示125纳米，则正确的结果是　　
A．米 B．米 C．米 D．米
6．（3分）下列各式由左到右是分解因式的是　　
A． B．
C． D．
7．（3分）一个多边形内角和是，则这个多边形是　　
A．六边形 B．七边形 C．八边形 D．九边形
8．（3分）如图所示，点是内一点，平分，于点，连接，若，，则的面积是　　

A．20 B．30 C．50 D．100
9．（3分）如图，已知，点在边上，，点、在边上，，若，则　　

A．3 B．4 C．5 D．6
10．（3分）剪纸是我国传统的民间艺术．将一张纸片按图中①，②的方式沿虚线依次对折后，再沿图③中的虚线裁剪，最后将图④中的纸片打开铺平，所得图案应该是　　

A． B． C． D．
二、填空题（本题共16分，每小题2分）
11．（2分）因式分解：　　．
12．（2分）如果是一个完全平方式，那么的值是　　．
13．（2分）图（1）是一个长为，宽为的长方形，用剪刀沿图中虚线（对称轴）剪开，把它分成四块形状和大小都一样的小长方形，然后按图（2）那样拼成一个正方形，则中间空的部分的面积是　　．

14．（2分）如图所示，已知是上的一点，，请再添加一个条件：　　，使得．

15．（2分）小明同学用一根铁丝恰好围成一个等腰三角形，若其中两条边的长分别为和，则这根铁丝的长为　　．
16．（2分）如图，在中，是上一点，，，则　　．

17．（2分）如图，等腰直角中，，，为的中点，，若为上一个动点，则的最小值为　　．

18．（2分）如图，，点，，，，在射线上，点，，，在射线上，且△，△，△，均为等边三角形，以此类推，若，则△的边长为　　．

三、解答题（本题共54分）解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．
19．（5分）计算：．
20．（5分）如图，点，，，在一条直线上，，，，求证：．

21．（5分）已知，求代数式的值．
22．（4分）尺规作图：
如图所示，在一次军事演习中，红方侦察员发现：蓝方指挥部点在区内，且到铁路和公路的距离相等，到两通讯站和的距离也相等，如果你是红方的指挥员，请你在图中标出蓝方指挥部点的位置（保留作图痕迹，不必写作法）．

23．（5分）解方程：．
24．（5分）化简求值：，其中．
25．（5分）列分式方程解应用题：
截止到2020年11月23日，全国832个国家级贫困县全部脱贫摘帽．某单位党支部在“精准扶贫”活动中，给结对帮扶的贫困家庭赠送甲、乙两种树苗．已知每棵乙种树苗的价格比甲种树苗的价格贵10元，用480元购买乙种树苗的棵数恰好与用360元购买甲种树苗的棵数相同，求甲、乙两种树苗每棵的价格．
26．（6分）已知是等边三角形，点是的中点，点在射线上，点在线段上，．
（1）如图1，若点与点重合，求证：；
（2）如图2，若点在线段上，，求的值．

27．（7分）如图，在中，，，为的中点，为延长线上一点，连接，过点作，交的延长线于点，连接．作点关于直线的对称点，连接．
（1）依题意补全图形；
（2）若；
①求的度数（用含的式子表示）；
②请判断以线段，，为边的三角形的形状，并说明理由．

28．（7分）如图，在平面直角坐标系中，直线经过点，且平行于轴．给出如下定义：点先关于轴对称得点，再将点关于直线对称得点，则称点是点关于轴和直线的二次反射点．
（1）已知，，，则它们关于轴和直线的二次反射点，，的坐标分别是 　　；
（2）若点的坐标是，其中，点关于轴和直线的二次反射点是点，求线段的长；
（3）已知点，点，以线段为边在轴上方作正方形，若点，关于轴和直线的二次反射点分别为，，且线段与正方形的边有公共点，求的取值范围．

参考答案
一、选择题（本题共30分，每小题3分）下面各题均有四个选项，符合题意的选项只有一个
1．【分析】根据被开方数大于等于0列式计算即可得解．
【解答】解：由题意得，，
解得．
故选：．
【点评】本题考查的知识点为：二次根式的被开方数是非负数．
2．【分析】根据最简二次根式的概念判断即可．
【解答】解：、是最简二次根式；
、，不是最简二次根式；
、，不是最简二次根式；
、，被开方数的分母中含有字母，不是最简二次根式；
故选：．
【点评】本题考查的是最简二次根式的概念，被开方数不含分母、被开方数中不含能开得尽方的因数或因式的二次根式，叫做最简二次根式．
3．【分析】分式的值为零：分子等于零，分母不等于零．
【解答】解：依题意得，，且，
解得．
故选：．
【点评】本题考查了分式的值为零的条件．若分式的值为零，需同时具备两个条件：（1）分子为0；（2）分母不为0．这两个条件缺一不可．
4．【分析】分别根据同底数幂的乘法法则，幂的乘方运算法则，积的乘方运算法则以及同底数幂的除法法则逐一判断即可．
【解答】解：、，故本选项不合题意；
、，故本选项符合题意；
、，故本选项不合题意；
、，故本选项不合题意；
故选：．
【点评】本题主要考查了同底数幂的乘除法以及幂的乘方与积的乘方，熟记幂的运算法则是解答本题的关键．
5．【分析】绝对值小于1的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．
【解答】解：125纳米米米．
故选：．
【点评】本题考查用科学记数法表示较小的数，一般形式为，其中，为由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．
6．【分析】根据分解因式的定义逐个判断即可．
【解答】解：．等式由左到右的变形不属于分解因式，故本选项不符合题意；
．等式由左到右的变形属于整式乘法，不属于分解因式，故本选项不符合题意；
．等式两边不相等，即等式由左到右的变形不属于分解因式，故本选项不符合题意；
．等式由左到右的变形属于分解因式，故本选项符合题意；
故选：．
【点评】本题考查了因式分解的定义，注意：把一个多项式化成几个整式的积的形式，叫因式分解，也叫分解因式．
7．【分析】设这个多边形是边形，则它的内角和是，得到关于的方程组，就可以求出边数．
【解答】解：设这个多边形是边形，由题意知，
，
，
所以该多边形的边数是八边形．
故选：．
【点评】根据多边形的内角和定理，求边数的问题就可以转化为解方程的问题来解决．
8．【分析】根据角平分线的性质求出，最后用三角形的面积公式即可解答．
【解答】解：过作于点，

平分，于点，
，
的面积，
故选：．
【点评】此题考查角平分线的性质，关键是根据角平分线的性质得出解答．
9．【分析】作于，根据等腰三角形的性质求出，根据直角三角形的性质求出，计算即可．
【解答】解：作于，
，
，
，
，
，
，
故选：．

【点评】本题考查的是直角三角形的性质、等腰三角形的性质，掌握直角三角形中，角所对的直角边等于斜边的一半是解题的关键．
10．【分析】对于此类问题，只要依据翻折变换，将图（4）中的纸片按顺序打开铺平，即可得到一个图案．
【解答】解：按照图中的顺序，向右对折，向上对折，从斜边处剪去一个直角三角形，从直角顶点处剪去一个等腰直角三角形，展开后实际是从原菱形的四边处各剪去一个直角三角形，从菱形的中心剪去一个正方形，可得：
．
故选：．
【点评】本题主要考查了剪纸问题，解决这类问题要熟知轴对称图形的特点，关键是准确地找到对称轴．一般方法是动手操作，拿张纸按照题目的要求剪出图案，展开即可得到正确的图案．
二、填空题（本题共16分，每小题2分）
11．【分析】首先提取公因式，再利用平方差公式分解因式即可．
【解答】解：．
故答案为：．
【点评】此题主要考查了提取公因式法以及公式法分解因式，正确应用乘法公式分解因式是解题关键．
12．【分析】利用完全平方公式的结构特征判断即可求出的值．
【解答】解：是一个完全平方式，
．
故答案为：25．
【点评】此题考查了完全平方式，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键．
13．【分析】先求出正方形的边长，继而得出面积，然后根据空白部分的面积正方形的面积矩形的面积即可得出答案．
【解答】解：图（1）是一个长为，宽为的长方形，
正方形的边长为：，
由题意可得，正方形的边长为，
正方形的面积为，
原矩形的面积为，
中间空的部分的面积．
故答案为．
【点评】此题考查了完全平方公式的几何背景，求出正方形的边长是解答本题的关键．
14．【分析】利用全等三角形的判定定理解决问题即可．
【解答】解：若添加，且，，由“”可证；
若添加，且，，由“”可证；
若添加，可得，且，，由“”可证；
故答案为或或．
【点评】本题考查了全等三角形的判定，掌握全等三角形的判定方法是本题的关键．
15．【分析】等腰三角形中两条边的长分别为和时，第三边的长可能为或，分别求得三角形的周长，即为铁丝的长．
【解答】解：等腰三角形中两条边的长分别为和，
当第三条边的长为时，这根铁丝的长为，此时，符合三角形的三边关系；
当第三条边的长为时，这根铁丝的长为．
故答案为：50或55．
【点评】本题考查了等腰三角形的判定及三角形的三边关系，熟练掌握相关性质及定理并分类讨论是解题的关键．
16．【分析】设，然后根据，，表示出和的度数，最后根据三角形的内角和定理求出的度数，进而求得的度数即可．
【解答】解：，
，，
设，
，
，
，
在中，
，
，
解得：，
，
故答案为：25．
【点评】本题考查了等腰三角形的性质：①等腰三角形的两腰相等；②等腰三角形的两个底角相等，熟练掌握等腰三角形的性质是解题的关键．
17．【分析】作点关于的对称点，连接，，依据轴对称的性质，即可得到，，，根据，可得当，，在同一直线上时，的最小值等于的长，根据全等三角形的对应边相等，即可得出的最小值为．
【解答】解：如图所示，作点关于的对称点，连接，，
则，，，，
是的中点，
，
，
，
当，，在同一直线上时，的最小值等于的长，此时，最小，
，为的中点，
，
又，
，
，
的最小值为．
故答案为：．

【点评】此题考查了轴对称线路最短的问题，凡是涉及最短距离的问题，一般要考虑线段的性质定理，结合轴对称变换来解决，多数情况要作点关于某直线的对称点．
18．【分析】根据等边三角形的性质得到，根据三角形的外角性质求出，得到，根据等腰三角形的判定定理得到，总结规律，根据规律解答．
【解答】解：△为等边三角形，
，
，
，
，
，
同理可得，，，，
△的边长，
故答案为：．
【点评】本题考查的是图形的变化规律、等边三角形的性质、三角形的外角性质，根据等边三角形的性质总结出规律是解题的关键．
三、解答题（本题共54分）解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．
19．【分析】根据绝对值，零指数幂、负整数指数幂的性质进行计算即可．
【解答】解：原式

．
【点评】本题考查绝对值，零指数幂、负整数指数幂，掌握绝对值，另指数幂、负整数指数幂的性质的性质是正确计算的前提．
20．【分析】先证，得出，则，再由平行线的判定即可得出结论．
【解答】证明：在和中，
，
，
，
，
．
【点评】本题考查了全等三角形的判定与性质、平行线的判定等知识；证明是解题的关键．
21．【分析】根据多项式乘多项式进行化简，然后整体代入即可求值．
【解答】解：原式
，
当，即时，原式．
【点评】本题考查了多项式乘多项式，解决本题的关键是掌握多项式乘多项式．
22．【分析】作线段的垂直平分线，作的角平分线交于点，点即为所求作．
【解答】解：如图，点即为所求作．

【点评】本题考查作图应用与设计，角平分线的性质，线段垂直平分线的性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．
23．【分析】首先方程两边乘以最简公分母，把分式方程化成整式方程，求出整式方程的解，再代入最简公分母检验即可．
【解答】解：方程两边乘以得：，
解这个方程得：，
检验：当时，，
是原方程的解；
原方程的解是：．
【点评】本题考查了分式方程的解法、一元一次方程方程的解法；熟练掌握分式方程的解法，方程两边乘以最简公分母，把分式方程化成整式方程是解决问题的关键．
24．【分析】原式括号中两项通分并利用同分母分式的减法法则计算，同时利用除法法则变形，约分得到最简结果，将的值代入计算即可求出值．
【解答】解：

，
当时，原式．
【点评】此题考查了分式的化简求值，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
25．【分析】可设甲种树苗每棵的价格是元，则乙种树苗每棵的价格是元，根据等量关系：用480元购买乙种树苗的棵数恰好与用360元购买甲种树苗的棵数相同，列出方程求解即可
【解答】解：设甲种树苗价格是元棵，则乙种树苗价格是元棵，
依题意得：，
解得：，
经检验，是原方程的解，
（元，
答：甲种树苗每棵的价格是30元，乙种树苗每棵的价格是40元．
【点评】本题考查分式方程的应用，分析题意，找到合适的等量关系是解决问题的关键．
26．【分析】（1）由等边三角形和等腰三角形的性质得出，即可得出；
（2）如图2，过点作交于，可证是等边三角形，由“”可证，可得，即可求解．
【解答】证明：（1）为等边三角形，
，，
为的中点，
平分，
，

，
；
（2）解：如图2，过点作交于，

是等边三角形，，点是的中点，
，，，
，
，
是等边三角形，，
，
，
，
，
在和中，
，

，
．
【点评】本题考查了全等三角形的判定与性质，等边三角形的判定与性质，熟练掌握等边三角形的性质和等腰三角形的性质，证明三角形全等是解题的关键．
27．【分析】（1）根据题意画出图形解答即可；
（2）①根据轴对称的性质解答即可；
②根据轴对称的性质和全等三角形的判定和性质得出，进而解答即可．
【解答】解：（1）补全图形，如图所示：

（2）①，
，
由轴对称性质可知，，
，
，
；
②以线段，，为边的三角形是直角三角形，
连接，，由轴对称性质可知，，，
是的中点，
，
，
，
，，
在与中，
，
，
，，
，
，
，
以线段，，为边的三角形是直角三角形，
以线段，，为边的三角形是直角三角形．
【点评】此题考查全等三角形的判定和性质，关键是根据轴对称的性质和全等三角形的判定和性质解答．
28．【分析】（1）根据二次反射点的定义直接得出答案；
（2）根据二次反射点的定义得出，则可得出答案
（3）根据二次反射点的定义得出，，由题意分两种情况列出不等式组，解不等式组可得出答案．
【解答】解：（1），
点关于轴点的对称的坐标为，
关于直线对称得点，
点关于轴和直线的二次反射点；
，
点关于轴点的对称的坐标为，
关于直线对称得点，
点关于轴和直线的二次反射点；
，
点关于轴点的对称的坐标为，
关于直线对称得点，
点关于轴和直线的二次反射点；
故答案为：，，；
（2）点的坐标是，，
点关于轴对称的点的坐标为，
关于直线对称得点，
．
（3）点，
点关于轴和直线的二次反射点为，
，
关于轴和直线的二次反射点为，

当与有公共点时，
，
，
当与有公共点时，
，
，
或，
【点评】本题考查了正方形的性质，轴对称性质，动点问题，新定义二次反射点的理解和运用；解题关键是对新定义二次反射点的正确理解。
16 / 16