2019北京北师大实验中学初三(上)期中数学(教师版).docx

2019北京北师大实验中学初三（上）期中
数 学
班级______ 姓名_______ 学号_______
试卷说明：
1、本试卷考试时间为120分钟，总分为100分；
2、本试卷共有8页，28道小题；
3、请将选择题、填空题及解答题答案写在答题纸相应位置处；
4、一律不得使用涂改液及涂改带。
命题人：苏海燕、吴勇 审题人：陈平
一、选择题（本题共16分，每小题2分）
下面各题均有四个选项，其中只有一个是符合题意的
1.抛物线𝑦=-(x+1)2-3的顶点坐标是（ ）。
A．(−1,-3) B．(-1,3) C．(1,-3) D．(1,3)
2.已知2𝑥=3𝑦，则下列各式错误的是（ ）。
A.x3=y2 B. xy=32 C. x2=y3 D.6x=9y
3.在一个不透明的袋子里装有7个完全相同的乒乓球，把它们标号分别记为1，2，3，4，5，6，7从中随机摸出一个小球，标号为偶数的概率为（）。
A.27 B. 37 C. 47 D. 57
4. 如图，AB为⊙O的直径，点C在⊙O上，若∠ACO=50°，则∠B的度数为（）。
A．60° B．50° C．45° D．40°
5. 点A（−2，y1）、B（1，y2）在二次函数 y=x2+2x-1的图象上，y1与y2的大小关系是（）。
A．y1>y2 B．y1=y2 C．y1<y2 D．无法判断
6. 已知圆锥的底面半径为2cm，母线长为3cm，则该圆锥的侧面积为（）。
A．18𝜋 B．12𝜋 C．6𝜋 D．3𝜋
7. 如图，⊙O是正六边形ABCDEF的外接圆，点P在⊙O上（P不与A、B重合），则∠APB的度数为（）。
A．60° B．60°或120° C．30° D．30°或150°
8. 已知有且仅有一个正实数满足关于𝑥的方程(𝑥−1)(𝑥−3)=𝑘，则𝑘不可能为（）。
A．−1 B．1 C．3 D．5
二、填空题（本题共16分，每小题2分）.
9.若抛物线开口向下，且与𝑦轴交于点(0,1)，写出一个满足条件的抛物线的解析式： 。
10.已知Rt△𝐴𝐵𝐶∽Rt△𝐴′𝐵′𝐶′，且∠𝐶=∠𝐶′=90°，若𝐴𝐶=3，𝐵𝐶=4,𝐴′𝐵′=10，则𝐴′𝐶′= .
11.左图中的三翼式旋转门在圆形的空间内旋转，旋转门的三片旋转翼把空间等分成三个部分，右图是旋转门的俯视图，显示了某一时刻旋转翼的位置，根据图中的数据，可知AB的长是_________m．
12. 将抛物线𝑦=2(x+2)2+2经过适当的几何变换得到抛物线𝑦=2x2−2,请写出一种满足条件的变换方法 。
13.如图，四边形𝐴𝐵𝐶𝐷内接于⊙𝑂，∠𝐴𝑂𝐶=140°，则四边形𝐴𝐵𝐶𝐷的外角∠𝐶𝐷𝑀= 。

14.某小组做“用频率估计概率”的试验时，统计了某一事件发生的频率，绘制了如图所示的折线图．

该事件最有可能是 （填写一个你认为正确的序号）．
①掷一个质地均匀的正六面体骰子，向上一面的点数是2；
②掷一枚硬币，正面朝上；
③暗箱中有1个红球和2个黄球，这些球除了颜色外无其他差别，从中任取一球是红球．
15.排水管的截面为如图所示的⊙O，半径为5m，已知现在水面位于圆心O下方，且水面宽AB=6m，如果水面上涨后，水面宽为8m，那么水面上涨了__________m．
16.如图是抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）的部分
图象，其顶点坐标为(1，n)，且与x轴的一个交点在点(3，0)和(4，0)之间．则下列结论：
①𝑎𝑏𝑐> 0; ②3a+b=0；
③a−b+c>0； ④b2=4a(c−n)，
其中，正确的是 （填上所有满足题意的序号）。
三、解答题（本题共68分，第17、20-24题，每小题5分，第18、19、25、26题，每小题6分，第27、28题，每小题7分）
17.如图，在⊙𝑂中，𝑂𝐶⊥𝐴𝐵，交𝐴𝐵于点𝐷，交⊙𝑂于点𝐶，
（1）求证：∠𝐴𝑂𝐶=∠𝐵𝑂𝐶；
（2）若点𝐷是𝑂𝐶的中点，且𝐴𝐵=6，求⊙𝑂的半径。

18.已知二次函数的解析式是𝑦=−x2+2𝑥+3.
（1）用配方法将该二次函数化成𝑦=𝑎(x-h)2+𝑘的形式，并写出顶点坐标；
（2）在右图中画出该二次函数的图象（不需要 列表），并写出该图象与𝑥轴的交点；
（3）当0≤𝑥<3时，直接写出𝑦的取值范围。

19.如图，已知AB为⊙O的直径，PA是⊙O的切线，点C是⊙O上异于点A的一点，且PC=PA，
（1）求证：PC是⊙O的切线；
（2）若∠BAC=30°，AB=6，求∠P的度数及PA的长。

20.下表是二次函数𝑦=𝑎x2+𝑏𝑥+𝑐(𝑎≠0)图象上部分点的横坐标（x）和纵坐标（y）.
x
···
-1
0
1
2
3
4
5
···
y
···
8
3
0
-1
0
m
8
···
（1）观察表格，直接写出m= ；
（2）其中A（x1，y1）、B（x2，y2）在函数的图象上，且-1<x1<0，2<x2<3,则y1 y2（用“>”或“<”填空）；
（3）求这个二次函数的表达式。

21.甲、乙两人进行摸牌游戏．现有十张形状大小完全相同的牌，正面分别标 有数字1~10从中选出一些牌，将这些牌背面朝上，洗匀后放在桌子上，甲从中随机抽取一张牌，记录数字后放回洗匀，乙再随机抽取一张，若两人抽取的数字和为2的倍数，则甲获胜；其余情况，乙获胜。
（1）若选出三张分别标有数字2、3、5的牌，这个游戏公平吗？请利用树状图或列表法来解释说明．
（2）乙说：“若我在2、3、5三张牌外再选一张牌，共四张牌进行游戏，则 我可以让自己获胜的可能性比甲大”，请判断乙的说法是否正确，若正确，请写出乙可以再选哪些牌让自己获胜的可能性比甲大；若不正确，请说明理由。
22. 如图，是一座古拱桥的截面图，拱桥桥洞上沿是抛物线形状，拱桥的跨度为10m，桥洞与水面的最大距离是5m，桥洞两侧壁上各有一盏距离水面4m的景观灯，求两盏景观灯之间的水平距离。

23.已知点𝐴、𝐵(𝐴𝐵<2)，现没有直尺，只有一把生锈的圆规，仅能做出半径为1的圆，能否在平面内找到一点𝐹，使得△𝐴𝐵𝐹是等边三角形？
小天经过探究完成了以下的作图步骤：
第一步：分别以点𝐴、𝐵为圆心，1为半径作圆，两圆交于点𝐶；
第二步：以𝐶为圆心，1为半径作圆交第一步中的两圆于点𝐷、𝐸；
第三步：分别以𝐷、𝐸为圆心，1为半径作圆，两圆交于点𝐶、𝐹，
（1）请将图补充完整，并作出△𝐴𝐵𝐹。
（2）以下说法中，
①点𝐶在线段𝐴𝐵的垂直平分线上；
②△𝐶𝐴𝐷和△𝐶𝐵𝐸都是等边三角形；
③点𝐶在线段𝐴𝐹的垂直平分线上；
④△𝐴𝐵𝐹是等边三角形，
正确的有 。（填上所有正确的序号）
24.函数y=x2+3x+2的图象如图所示，根据图象回答问题：
（1）当𝑥满足 时，x2+3𝑥+2>0；
（2）在解决上述问题的基础上，探究解决新问题：
①函数y=(x+1)(x+2)的自变量x的取值范围是___________；
②下表是函数y=(x+1)(x+2)的几组y与x的对应值
X
···
-7
-6
-4
-3
-2
-1
0
1
3
4
···
y
···
5.477···
4.472···
2.449···
1.414···
0
0
1.414···
2.449···
4.472···
5.477···
···
如下图，在平面直角坐标系中，描出了上表中各对对应值为坐标的点的大概位 置，请你根据描出的点，画出该函数的图象：
③利用图象，直接写出关于𝑥 的方程x4=x2+3𝑥+2的所有近似实数解 。（结果精确到0.1）

25.如图，在△𝐴𝐵𝐶中，∠𝐵=135°，端点为𝐴的射线𝑙∥𝐵𝐶，点𝐴绕射线𝑙上的某点𝐷旋转一周所形成的图形为𝐹，点𝐵在图形𝐹上，
（1）利用尺规作图确定点𝐷的位置；
（2）判断直线𝐵𝐶与图形𝐹的公共点个数，并说明理由；
（3）若𝐴𝐷=2，∠𝐶=15°，求直线𝐴𝐶被图形𝐹所截得的线段的长。

26.抛物线F1:𝑦=𝑎x2+𝑏𝑥−1(𝑎>1)与𝑥轴交于点𝐴、𝐵（点𝐴在点𝐵的左侧）,与𝑦轴于点𝐶，已知点𝐴的坐标为（-1a,0）,
（1）直接写出𝑏= （用含𝑎的代数式表示）；
（2）求点𝐵的坐标；
（3）设抛物线F1的顶点为P1,将该抛物线平移后得到抛物线F2，抛物线F2的顶点P2满足P1P2∥𝐵𝐶，并且抛物线F2过点𝐵,
①设抛物线F2与直线𝐵𝐶的另一个交点为𝐷,判断线段𝐵𝐶与𝐵𝐷的数量关系（不 需证明），并直接写出点𝐷的坐标；
②求出抛物线F2与𝑦轴的交点纵坐标的取值范围。

27.如图，在△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC=CD，∠ACD=α，将线段CD绕点C顺时针旋转90°得到线段CE，连接DE，AE，BD．
（1）依题意补全图形；
（2）判断AE与BD的数量关系与位置关系并加以证明；
（3）若60°＜α≤110°，AB=4，AE与BD相交于点G，直接写出点G到直线AB的距离𝑑的取值范围。

28.对于给定的图形𝐺和点𝑃，若点𝑃可通过一次向上或向右平移𝑛(𝑛>0)个单位至图形𝐺上某点𝑃′，则称点𝑃为图形𝐺的“可达点”，特别地，当点𝑃在图形𝐺上时，点𝑃为图形𝐺的“可达点”。
（1）在平面直角坐标系𝑥𝑂𝑦中，点𝐴(1,1),𝐵(2,1),
①在点𝑂、𝐴、𝐵中，不是直线𝑦=−𝑥+2的“可达点”的是 ；
②若点𝐴是直线𝑙的“可达点”且点𝐴不在直线𝑙上，写
出一条满足要求的直线𝑙的表达式： ；
③若点𝐴、𝐵中有且仅有一点是直线𝑦=𝑘𝑥+2的“可达点”，则𝑘的取值范围是 。
（2）在平面直角坐标系𝑥𝑂𝑦中，⊙𝑂的半径为1,直线m:y=-33x+b
①当𝑏=−2时，若直线𝑚上一点𝑁(xN,yN)满足𝑁是⊙𝑂的“可达点”，直接写出xN的取值范围 ；
②若直线𝑚上所有的⊙𝑂的“可达点”构成一条长度不为0的线段，直接写出𝑏的取值范围 。

参考答案
一、选择题（本题共16分，每小题2分）
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
答案
A
C
B
D
C
C
D
B
二、填空题（本题共16分，每小题2分）.
9.答案不唯一，例如𝑦=-x2+1
10.6
11. 23π
12. 向右平移2个单位，向下平移4个单位（方法不唯一，强调表达）
13.70°
14.③
15.1或7（每个答案1分，错误不扣分）
16.③④
三、解答题（本题共68分，第17、20-24题，每小题5分，第18、19、25、26题，每小题6分，第27、28题，每小题7分）
17.（1）证：∵OC⊥AB，∴AC=BC ………………1 分
∴∠AOC=∠BOC ………………1 分
（2）由垂径定理得AD=12AB=3 ………………1 分
法1：设半径为r,则OD=12r,AO=r
在Rt△AOD中，AO2=OD2+AD2即r2=(12r)2+32, ………………1 分
解得r=23 ………………1 分
法2：Rt△AOD中，AO=2OD，∴∠OAD=30° ………………1 分
∴AO=233AD=23 ………………1 分
18.（1）y=-(x-1)2+4 ………………1 分
顶点（1,4）； ………………1 分
（2）图象略 ………………1 分
该图象与x轴的交点为（-1,0），（3,0） ………………1 分
（3）0<y≤4 ………………2分
19. （1）证：连接𝑂𝐶，
∵PA是⊙O的切线∴∠𝑃𝐴𝐵 =90°………………1 分
∵𝑂𝐴=𝑂𝐶∴∠𝑂𝐴𝐶=∠𝑂𝐶𝐴
∵𝑃𝐶=𝑃𝐴∴∠𝑃𝐴𝐶=∠𝑃𝐶𝐴
∴∠𝑃𝐶𝑂=∠𝑃𝐶𝐴+∠𝑂𝐶𝐴=∠𝑃𝐴𝐶+∠𝑂𝐴𝐶=∠𝑃𝐴𝐵 = 90………………1分
即𝑃𝐴⊥AB∴PC是⊙O的切线；………………1 分
本题也可以通过证明△𝑃𝐴𝑂≌△𝑃𝐶𝑂来证明得1分。
（2）连接𝐵𝐶，
∵∠BAC=30°∴∠𝑃𝐴𝐶=60°
∴得等边△𝑃𝐴𝐶∴∠𝑃=60°………………1分
法1：∵AB 为⊙O 的直径 ∴∠𝐴𝐶𝐵=90°，………………1分
∴在Rt△𝐴𝐶𝐵中，𝑃𝐴=𝐴𝐶=32𝐴𝐵=33………………1分
法2：
在△𝐴𝑂𝐶中，∠𝐴𝑂𝐶=120°，𝑂𝐴=𝑂𝐶 ………………1分
∴𝑃𝐴=𝐴𝐶=3𝑂𝐴=33 ………………1分
20.（1）𝑚=3 ………………1 分
（2）y1>y2 ………………1分
（3）法1：由图知，顶点为(2,−1)，
∴设二次函数的解析式为𝑦=𝑎(x-2)2−1， ………………2分
代入(1,0)得𝑎=1，
∴𝑦=(x-2)2−1 ………………1分
法2：设二次函数的解析式为𝑦=𝑎(𝑥−1)(𝑥−3) ………………2分
代入(2,−1)，得𝑎=1
∴𝑦=(𝑥−1)(𝑥−3)=x2−4𝑥+3 ………………1分
21.（1）树状图或列表略 ………………1分
共有9种结果，每种结果的可能性相同，甲获胜的结果有5种， ………………1 分
所以𝑃（甲获胜）=59所以不公平。 ………………1 分
（2）当选择的牌是奇数时，𝑃（甲获胜）=58
当选择的牌是奇数时，𝑃（甲获胜）=12 ………………1 分
因此，乙不可能让自己获胜的可能性比甲大。 ………………1 分
22. 解：建系， ………………1 分
标点， ………………1 分
可求抛物线解析式为𝑦=−15x2+5， ………………1分
（不同的建系方法会得到不同的解析式，但二次项系数为−15
令𝑦=4，解得𝑥=±5， ………………1分
所以两盏景观灯之间的水平距离为25。………………1 分
23. 图略 ………………2分
①②④（对1个得1分，错1个扣1分） ………………3 分
24.（1）𝑥<−2或𝑥>−1 ………………1 分
（2）①𝑥≤−2或𝑥≥−1 ………………1 分
②图略 ………………1 分
（3）-0.8（-0.9~-0.6）和1.8（1.6~1.9） ………………2 分
25.（1）作线段𝐴𝐵的垂直平分线交射线𝑙于点𝐷 ………………1分
（2）1个， ………………1分
∵∠𝐵=135°
∴∠𝐵𝐴𝐷=45°
∴得等腰直角△𝐴𝐷𝐵，即∠𝐴𝐷𝐵=90°
由平行得，∠𝐷𝐵𝐶 = 90°，即𝐷𝐵⊥𝐵𝐶
∴直线𝐵𝐶与图形𝐹相切 ………………1 分
（3）设直线𝐴𝐶交图形𝐹于𝐸，
∴∠𝐴𝐸𝐵=12∠𝐴𝐷𝐵=45°………………1 分
∴在△𝐴𝐵𝐸中，过𝐵作𝐵𝐻⊥𝐴𝐸，
在Rt△𝐴𝐵𝐻中，𝐴𝐵=22，𝐵𝐻=12𝐴𝐵=2，𝐴𝐻=3𝐵𝐻=6，………………1 分
在Rt△𝐵𝐻𝐸中，𝐸𝐻=𝐵𝐻=2
∴𝐴𝐸=𝐴𝐻+𝐻𝐸=6+2。 ………………1分
26. （1）1−𝑎 ………………1分
（2）抛物线为𝑦=𝑎x2+(1−𝑎)𝑥−1，
令𝑦=0，x1=1，x2=−1a
∴𝐵(1,0) ………………1分
（3）①相等， ………………1分
𝐷(2,1) ………………1分
②令𝑥=−1，𝑦=2𝑎−2，
所以抛物线𝐹2与𝑦轴的交点纵坐标为2𝑎−1， ………………1分
∵𝑎>1
∴纵坐标大于1 ………………1分
27.（1）补全图形 ………………1分
（2）相等且垂直 ………………1分
法1：证明△𝐴𝐶𝐸≌△𝐵𝐶𝐷， ………………1分
得𝐴𝐸=𝐵𝐷，∠𝐶𝐴𝐸=∠𝐶𝐵𝐷， ………………1分
由“8”字形得∠𝐴𝐺𝐵=∠𝐴𝐶𝐵=90°即𝐴𝐸⊥𝐵𝐷 ………………1 分
法2：点𝐸、𝐷、𝐴、𝐵在以点𝐶为圆心，𝐶𝐴为半径的圆上，………………1分
由∠𝐸𝐶𝐴=∠𝐷𝐶𝐵，得𝐴𝐸=𝐵𝐷， ………………1分
可证∠𝐶𝐴𝐸=∠𝐶𝐵𝐷，
由“8”字形得∠𝐴𝐺𝐵=∠𝐴𝐶𝐵=90°即𝐴𝐸⊥𝐵𝐷 ………………1 分
（3）3<𝑑≤2 ………………2 分
28.（1）①𝐵 ………………1分
②答案不唯一，例如𝑦=−𝑥+3 ………………1分
③-1≤k<-12 ………………1分
（1）①-33≤xN≤-3或-1≤xN≤1 ………………2分
②-1-33≤b<233 ………………2分
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