2023届高考数学特训营-第5节-数列的综合应用.doc

第5节　数列的综合应用

A级(基础应用练)
1．(2022·东三省四市模拟)在等比数列{an}中，a5，a7是函数f(x)＝x2－4x＋3的两个零点，则a3·a9等于(　　)
A．－3 B．3
C．－4 D．4
答案：B
解析：∵a5，a7是函数f(x)＝x2－4x＋3的两个零点，
∴a5，a7是方程x2－4x＋3＝0的两个根，
∴a5·a7＝3，由等比数列的性质可得a3·a9＝a5·a7＝3.故选B.
2．我国明代珠算家程大位的名著《直指算法统宗》中有如下问题：“今有白米一百八十石，令三人从上及和减率分之，只云甲多丙米三十六石，问：各该若干？”其意思为：“今有白米一百八十石，甲、乙、丙三人来分，他们分得的白米数构成等差数列，只知道甲比丙多分三十六石，那么三人各分得多少白米？”请问：乙应该分得白米(　　)
A．96石 B．78石
C．60石 D．42石
答案：C
解析：∵他们分得的米数构成等差数列，只知道甲比丙多分三十六石，
∴d＝＝－18，3a1＋3×(－18)＝180，
解得a1＝78(石)．
∴乙应该分得白米78－18＝60石．故选C.
3．我国古代数学名著《九章算术》中，有已知长方形面积求一边的算法，其方法的前两步为：
第一步，构造数列1，，，，…，；
第二步，将第一步中数列的各项乘以n，得到的新数列记为a1，a2，a3，…，an.
则a1a2＋a2a3＋…＋an－1an＝(　　)
A．n2 B．(n－1)2
C．n(n－1) D．n(n＋1)
答案：C
解析：由题意得，新数列为n，，，，…，，故a1a2＋a2a3＋a3a4＋…＋an－1an＝n·＋·＋·＋…＋·＝n2[＋＋＋…＋]＝n2(1－＋－＋－＋…＋－)＝n2(1－)＝n(n－1)．故选C.
4．(2022·宜昌市调研测试)已知数列{an}，若an＋1＝an＋an＋2(n∈N*)，则称数列{an}为“凸数列”．已知数列{bn}为“凸数列”，且b1＝1，b2＝－2，则数列{bn}的前2020项和为(　　)
A．5 B．－5
C．0 D．－4
答案：B
解析：由“凸数列”的定义及b1＝1，b2＝－2，得b3＝－3，b4＝－1，b5＝2，b6＝3，b7＝1，b8＝－2，…，∴数列{bn}是周期为6的周期数列，且b1＋b2＋b3＋b4＋b5＋b6＝0，于是数列{bn}的前2020项和等于b1＋b2＋b3＋b4＝－5.
5.(2022·鹤壁市模拟)古希腊毕达哥拉斯学派的“三角形数”是一列点(或圆球)在等距的排列下可以形成正三角形的数，如1，3，6，10，15，….我国宋元时期数学家朱世杰在《四元玉鉴》中所记载的“垛积术”，其中的“落一形”堆垛就是每层为“三角形数”的三角锥的堆垛(如图所示，顶上一层1个球，下一层3个球，再下一层6个球，…)．若一“落一形”三角锥垛有10层，则该堆垛总共球的个数为(　　)

A．55 B．220
C．285 D．385
答案：B
解析：“三角形数”的通项公式an＝，
前n项和公式为Sn＝1＋3＋6＋…＋＝＋＝＋，当n＝10时，S10＝＋＝220.故选B.
6．春夏季节是流感多发期，某地医院近30天每天入院治疗流感的人数依次构成数列{an}，已知a1＝1，a2＝2，且满足an＋2－an＝1＋(－1)n(n∈N*)，则该医院近30天入院治疗流感的总人数为________．
答案：255
解析：由于an＋2－an＝1＋(－1)n(n∈N*)，
所以当n为奇数时，an＋2＝an，
当n为偶数时，an＋2－an＝2，
所以a1＝a3＝…＝a29，a2，a4，…，a30构成公差为2的等差数列．
因为a1＝1，a2＝2，
所以a1＋a2＋a3＋…＋a29＋a30＝15＋15×2＋×2＝255.
7．各项均为正数且公比q＞1的等比数列{an}的前n项和为Sn，若a1a5＝4，a2＋a4＝5，则的最小值为________．
答案：8
解析：由题意a1a5＝a2a4＝4，又a2＋a4＝5，公比q＞1，
∴a2＝1，a4＝4，故q2＝＝4，故q＝2，a1＝.
∴an＝2n－2，Sn＝＝(2n－1)．
∴＝，
令t＝2n－1∈{1，2，22，23，…}，
则原式＝＝t＋＋4≥2 ＋4＝8，当且仅当t＝2n－1＝2，即n＝2时取等号．
8．(2022·湖北省荆门市模拟)定义：若数列{tn}满足tn＋1＝tn－，则称该数列为“切线一零点数列”．已知函数f(x)＝x2＋px＋q有1，2两个零点，数列{xn}为“切线一零点数列”，设数列{an}满足a1＝2，an＝ln ，xn>2，数列{an}的前n项和为Sn，则S2020＝________．
答案：22021－2
解析：∵f(x)＝x2＋px＋q有1，2两个零点，
∴f(x)＝(x－1)(x－2)＝x2－3x＋2.
f′(x)＝2x－3.由题意
xn＋1＝xn－＝，
∴＝＝＝()2.
∵an＝ln ，∴an＋1＝ln ＝2ln ＝2an，
又a1＝2，∴数列{an}是首项为2，公比为2的等比数列，
则an＝2n，∴S2020＝＝22021－2.
B级(综合创新练)
9．(多选题)一个弹性小球从100 m高处自由落下，每次着地后又跳回原来高度的再落下．设它第n次着地时，经过的总路程记为Sn，则当n≥2时，下面说法正确的是(　　)
A．Sn<500 B．Sn≤500
C．Sn的最小值为 D．Sn的最大值为400
答案：AC
解析：第一次着地时，共经过了100 m，第二次着地时，共经过了(100＋100××2)m，第三次着地时，共经过了[100＋100××2＋100×()2×2]m，…，以此类推，第n次着地时，共经过了[100＋100××2＋100×()2×2＋…＋100×()n－1×2]m.所以Sn＝100＋＝100＋400[1－()n－1]，则Sn是关于n的增函数，所以当n≥2时，Sn的最小值为S2，且S2＝.又Sn＝100＋400[1－()n－1]<100＋400＝500.故选AC.
10．(多选题)已知数列{an}，{bn}均为递增数列，{an}的前n项和为Sn，{bn}的前n项和为Tn，且满足an＋an＋1＝2n，bn·bn＋1＝2n(n∈N)，则下列说法正确的有(　　)
A．0<a1<1 B．1<b1<
C．S2n<T2n D．S2n≥T2n
答案：ABC
解析：数列{an}中，an＋an＋1＝2n，an＋1＋an＋2＝2(n＋1)＝2n＋2，两式相减得an＋2－an＝2，所以数列{an}为隔项以2为公差的等差数列形式；
数列{bn}中，bn·bn＋1＝2n，bn＋1·bn＋2＝2n＋1，两式相除得＝2，所以数列{bn}为隔项以2为公比的等比数列形式．A选项，因为an＋an＋1＝2n，所以，即，又数列{an}为递增数列，所以，即，所以0<a1<1，正确；B选项，因为bn·bn＋1＝2n，所以，即，又数列{bn}为递增数列，所以⇒2b1>⇒⇒1<b1<，正确；
因为S2n＝a1＋a2＋a3＋a4＋…＋a2n－1＋a2n＝(a1＋a3＋…＋a2n－1)＋(a2＋a4＋…＋a2n)
＝(na1＋×2)＋(na2＋×2)＝n(a1＋a2)＋2n2－2n＝2n2，
T2n＝b1＋b2＋b3＋b4＋…＋b2n－1＋b2n＝(b1＋b3＋…＋b2n－1)＋(b2＋b4＋…＋b2n)
＝＋＝(2n－1)(b1＋b2)，
因为C，D选项中只有一个正确，取特值，当n＝3时，S2n＝S6＝2×32＝18，T2n＝T6＝(23－1)(b1＋b2)＝7(b1＋b2)≥7×2 ＝14>18＝S6，
所以C选项正确，D选项错误．故选ABC.
11．设a1，a2…，an是各项不为零的n(n≥4)项等差数列，且公差d≠0，若将此数列删去某一项后，得到的数列(按原来顺序)是等比数列，则所有数对(n，)所组成的集合为________．
答案：{(4，－4)，(4，1)}
解析：满足题意的数列只能有4项，若删掉a2，则a＝a1·a4，a1d＝－4d2，若删掉a3，则a＝a1·a4，a1d＝d2，∴所有数对(n，)所组成的集合为{(4，－4)，(4，1)}．
12．在数列的每相邻两项之间插入此两项的积，形成新的数列，这样的操作叫作该数列的一次“扩展”．将数列1，2进行“扩展”，第一次得到数列1，2，2；第二次得到数列1，2，2，4，2；…；第n次“扩展”后得到的数列为1，x1，x2，…，xt，2.记an＝log2(1·x1·x2·…·xt·2)，其中t＝2n－1，n∈N*，则数列{an}的通项an＝________．
答案：(n∈N*)
解析：由题意，根据an＝log2(1·x1·x2·…·xt·2)，可得an＋1＝log2[1·(1·x1)·x1·(x1·x2)·x2·…·xt·(xt·2)·2]＝log2＝3an－1.设an＋1＋m＝3(an＋m)，即an＋1＝3an＋2m，可得m＝－，易知a1＝log2(1×2×2)＝2，则数列{an－}是首项为2－＝，公比为3的等比数列，故an－＝×3n－1，所以an＝(n∈N*)．
13．在①b4＝a3＋a5，②b4＋b6＝3a3＋3a5，③a2＋a3＝b4这三个条件中任选一个，补充在下面的问题中，若问题中的k存在，求出k的值；若k不存在，说明理由．
已知{an}是等差数列，其前n项和为Sn，{bn}是公比大于0的等比数列，b1＝1，b3＝b2＋2，b5＝a4＋2a6，且________，设cn＝，是否存在k，使得对任意的n∈N*，都有ck≤cn?
解：设数列{an}的公差为d，{bn}的公比为q(q＞0)，
因为{bn}是公比大于0的等比数列，且b1＝1，b3＝b2＋2，
所以q2＝q＋2，解得q＝2(q＝－1不合题意，舍去)，所以bn＝2n－1.
若存在k，使得对任意的n∈N*，都有ck≤cn，则cn存在最小值．
若选①，则由b5＝a4＋2a6，b4＝a3＋a5，
可得解得
所以Sn＝n2＋n，cn＝＝＝.
因为n∈N*，所以n2＋n≥2，{cn}是递减数列，所以cn不存在最小值，
即不存在满足题意的k.
若选②，由b5＝a4＋2a6，b4＋b6＝3a3＋3a5，可得解得
所以Sn＝－n2＋n，cn＝＝.
因为当n≤20时，cn＞0，当n≥21时，cn＜0，
所以易知cn的最小值为c21＝－.
即存在k＝21，使得对任意的n∈N*，都有ck≤cn.
若选③，则由b5＝a4＋2a6，a2＋a3＝b4，
可得解得
所以Sn＝，cn＝＝.
因为2n2＋26n≥28，{cn}是递减数列，所以cn不存在最小值，
即不存在满足题意的k.
14．在数列{an}中，a1＝1，a1＋＋＋…＋＝2n－1(n∈N*)．
(1)求数列{an}的前n项和Sn；
(2)若存在n∈N*，使得an≤n(n＋1)λ成立，求实数λ的最小值．
解：(1)a1＋＋＋…＋＝2n－1，　①
a1＋＋＋…＋＝2n－1－1，　②
由①－②得＝2n－1(n≥2)，
∴an＝n·2n－1，当n＝1时，也符合．
Sn＝1×20＋2×2 1＋3×22＋…＋n·2n－1，　③
2Sn＝1×21＋2×22＋…＋(n－1)·2n－1＋n·2n，　④
又③－④得－Sn＝1＋2＋22＋…＋2n－1－n·2n＝(1－n)·2n－1，
∴Sn＝(n－1)·2n＋1.
(2)由an≤n(n＋1)λ，得λ≥＝.
令f(n)＝，
＝·＝>1，
∴f(n)单调递增，从而f(n)min＝f(1)＝，
∴λ≥，因此实数λ的最小值为.