福建省厦门市双十中学2021-2022学年高一12月第二次月考数学试题.docx

厦门双十中学2021-2022学年（上）第二次月考
高一数学试题
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的班级、姓名、座号、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上．
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效．
3．严禁在考场内使用计算器、电子存储器、手机等违反数学考试纪律的一切设备．
4．考试范围为：必修第一册除了5.5～5.7节的所有内容．本试卷共4页，满分150分．考试时间120分钟．
5．考试结束后，只需将答题卡交回．
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．已知角的终边经过点，则（ ）
A． B． C． D．
2．已知集合，集合，则下列关系式正确的是（ ）
A． B．
C． D．
3．设，，，则a，b，c的大小关系为（ ）
A． B． C． D．
4．《掷铁饼者》是希腊雕刻家米隆于约公元前450年雕刻的青铜雕像，它取材子现实生活中的体育竞技活动，刻面的是一名强健的男子在掷铁饼过程中最具有表现力的瞬间．现在把掷铁饼者张开的双臂近似看成一张拉满弦的“弓”，掷铁饼者的每只手臂长约，肩宽约为，“弓”所在圆的半径约为，则如图掷铁饼者双手之间的距离约为（ ）

A． B． C． D．
5．若，，则（ ）
A． B． C． D．
6．已知函数，若任意且都有，则实数a的取值范围（ ）
A． B． C． D．
7．已知函数，下列说法正确的是（ ）
A．既不是奇函数也不是偶函数 B．的图象与有无数个交点
C．在上为减函数 D．的图象与有两个交点
8．函数是定义在R上的奇函数，且为偶函数，当时，，若函数恰有一个零点，则实数b的取值集合是（ ）
A． B．
C． D．
二、多选题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．
9．下列命题中正确的是（ ）
A．
B．若角是第三象限角，则可能在第三象限
C．若且，则为第二象限角
D．锐角终边上一点坐标为，则
10．已知，，，则（ ）
A．的最大值为 B．的最小值为
C． D．的最小值为
11．设a，b，c都是正数，且，那么（ ）
A． B． C． D．
12．已知点是函数的图象的一个对称中心，且的图象关于直线对称，在单调递减，则（ ）
A．函数的最小正周期为
B．函数为奇函数
C．若的根为，则
D．若在上恒成立，则的最大值为
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．
13．某城市出租车按如下方法收费：起步价8元，可行（含），和到（含）每走加价1.5元，后每走加价0.8元，某人坐该城市的出租车走了，他应交负______元．
14．已知函数，若，则的最小值是_______．
15．已知函数，若，则________．
16．设，方程有四个不相等的实根，则的取值范围为________．
四、解答题：本题共6小题，第17题10分，第18～22题每题12分，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17．（10分）
已知函数．
（1）求函数的最小正周期和单调递增区间；
（2）求函数在区间上的最小值和最大值，并求出取得最值时x的值．
18．（12分）
已知函数为奇函数．
（1）求实数b的值，并用定义证明在R上是单调递增函数；
（2）若不等式对一切恒成立，求实数m的取值范围．
19．（12分）
已知．
（1）若，求的值．
（2）若，，且、，求的值．
20．（12分）
为了净化空气，某科研单位根据实验得出，在一定范围内，每喷洒1个单位的净化剂，空气中释放的浓度y（单位：毫克/立方米）随着时间x（单位：小时）变化的函数关系式近似为．若多次喷洒，则某一时刻空气中的净化剂浓度为每次投放的净化剂在相应时刻所释放的浓度之和，由实验知，当空气中净化剂的浓度不低于4（毫克/立方米）时，它才能起到净化空气的作用．
（1）若一次喷洒4个单位的净化剂，则净化时间约达几小时？（结果精确到0.1，参考数据：，）
（2）若第一次喷洒2个单位的净化剂，3小时后再喷洒2个单位的净化剂，设第二次喷洒t小时后空气中净化剂浓度为（毫克/立方米），其中．
①求的表达式；②求第二次喷洒后的3小时内空气中净化剂浓度的最小值．
21．（12分）
如图，在矩形中，，，点E为的中点，F，G分别为线段，上的点，且，．

（1）若的周长为，求的解析式及的取值范围；
（2）求的最值．
22．（12分）
已知函数，．
（1）若函数的定义域为R，求实数a的取值范围；
（2）若函数在上单调递减，求实数a的取值范围；
（3）用表示m，n中的最小值，设函数，讨论零点的个数．
厦门双十中学2021-2022学年（上）第二次月考
高一数学试题参考答案与评分标准
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1-4：BDCB 5-8：AACD
第8题【详解】：
函数是定义在R上的奇函数，且为偶函数，
，，
，即，∴，
∴的周期为4．
时，，
，，，
∴，
∵，∴，
周期为4，∴，
当，，，
当，，，
做出函数图像，如下图所示：

令，
当，，
，两边平方得，
，
此时直线与在函数图像相切，与函数有两个交点，
同理，直线与在函数图像相切，与函数有两个交点，
则要使函数在内与直线只有一个交点，
则b满足，周期为4，
b范围也表示为，
所以所有b的取值范围是．
二、多选题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．
9．【答案】BCD 10．【答案】ABC 11．【答案】AC 12．【答案】ACD
第12题【详解】：
对于A，设的最小正周期为T，因为点是函数图象的一个对称中心，且的图象关于直线对称，在上单调递减，，所以，，故函数的最小正周期为，故A正确．
对于B，，因为，所以，因为，所以．又在上单调递减，所以，即，所以，，为偶函数，故B错误．
对于C，由得，，结合三角函数的用期性可知，方程有6个根，在内的两根关于直线对称，同理可得，所以C正确．
对于D，由得，因此，
所以，
故，即，所以的最大值为，故D正确．
故选：ACD
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．
13．【答案】26.5 14．【答案】 15．【答案】 16．【答案】
第16题【详解】：
∵时，，
∴在与上的图象关于对称，
作出图象如下：不防令，
可得，，∴．
∴，，，
∴
，
令，
则原式化为：，，
其对称轴，开口向上，故在递增，
∴，
∴的取值范围是．
故答案为：．

四、解答题：本题共6小题，第17题10分，第18～22题每题12分，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．
17．【解析】
（1）因为，，所以函数的最小正周期为．
由，得，
故函数的单调递增增区间为．
（2）因为，所以．
所以当，即时，；
当，即时，．
所以函数和区间上的最大值为，此时；最小值为，此时．
18．【解析】
（1）∵函数的定义域为R，且为奇函数，
∴，解得．
此时，所以为奇函数，所以．
证明：由题知，设，
则
∵ ∴， ∴
即
所以在R上是单调递增函数．
（2）因为是R上的奇函数且为严格增函数，
所以由，可得，
即对一切恒成立．
令，，设，
所以，
即，解得．
19．【解析】
（1）

由已知，，得
所以

（2）依题意，由，可知，，
∴，
∴．
∵，∴．
又∵，∴．
∴．
而，
∴．
∴．
∴．
20．【解析】
（1）根据已知可得，一次喷洒4个单位的净化剂，浓度，
则当时，由，得，所以，
当时，由，得，，得，所以，
综上，，
所以一次喷洒4个单位的净化剂，则净化时间约达6.9小时，
（2）①由题意可知，第一次喷洒2个单位的净化剂，
3小时后的浓度为（毫克/立方米），
所以第二次喷洒t小时后空气中净化剂浓度为
，
②，

，
当且仅当，即时取等号，
答：第二次喷洒2.3小时时空气中净化剂浓度达到最小值28毫克/立方米．
21．【解析】
（1）在中，，，，则，又，即有，
同理有，
显然为锐角，
因此，，
因为F，G分别为线段，上的点，当F与点D重合时，最大，此时，而为锐角，则，
当点G与C重合时，最大，此时最小，同理可得最大值为，则，
于是得的取值范围为，
所以；
（2）由（1）知，
令，则，
因，则，，
于是得，
又，
则，因在上单调递减，
当，即时，，
当，即或时，，
所以，．
22．【解析】
（1）若函数的定义域为R，
则任意，使得，
所以，解得，
所以实数a的取值范围为．
（2）若函数在上单调递减，
又因为在上为减函数，
所以在上为增函数且任意，，
所以，且，
即，且，解得，
所以a的取值范围为．
（3）因为当时，，
所以，
所以在上无零点，
①当时，过点，且对称轴，
作出的图象，可得只有一个零点，

②当时，在点，且对称轴，
当，即时，只有一个零点，

当，即时，的零点为，由两个零点，，

当，即时，令，
解得，，且，，
若，即时，函数有3个零点，，，

若，即时，函数有1个零点．

若，即时，函数有2个零点，，

综上所述，当时，只有一个零点，
当或时，有两个零点，
当时，有三个零点．