河北省保定市2021-2022学年高一上学期期末数学试题.docx

保定市2021~2022学年度上学期高一期末调研考试
数学试卷
满分150分，时间120分钟．
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上，并将条形码粘贴在答题卡上的指定位置．
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号徐黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效．
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并收回．
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1. 命题：“，”的否定是（ ）
A. ， B. ，
C. ， D. ，
【答案】C
【解析】
【分析】根据含有一个量词的命题的否定形式，全称命题的否定是特称命题，可得答案.
【详解】命题：“，”是全称命题，
它的否定是特称命题：，，
故选：C
2. 已知集合，，全集，则（ ）
A. B. C. D. I
【答案】B
【解析】
【分析】根据并集、补集的概念，计算即可得答案.
【详解】由题意得，所以．
故选：B
3. （ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】利用角度弧度互化即得.
【详解】．
故选：C.
4 已知，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据诱导公式，可得，计算化简，即可得答案.
【详解】由，得，
所以．
故选：B
5. 若函数为上的奇函数，则实数的值为（ ）
A. B. C. 1 D. 2
【答案】A
【解析】
【分析】根据奇函数的性质，当定义域中能取到零时，有 ，可求得答案.
【详解】函数为上的奇函数,
故，得，
当时，满足 ，
即此时为奇函数，
故，
故选：A
6. 函数的最小值为（ ）
A. 1 B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据对数的运算法则，化简可得，分析即可得答案.
【详解】由题意得，
当时，的最小值为.
故选：D
7. 已知，，且满足，则的最小值为（ ）
A. 2 B. 3 C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】由题意得，根据基本不等式“1”的代换，计算即可得答案.
【详解】因为，所以，
所以，
当且仅当时，即，时取等号．
所以的最小值为.
故选：C
8. 已知函数是上的增函数（其中且），则实数的取值范围为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】利用对数函数、一次函数的性质判断的初步取值范围，再由整体的单调性建立不等式，构造函数，利用函数的单调性求解不等式，从求得的取值范围.
【详解】由题意必有，可得，且，
整理为．令
由换底公式有，

由函数为增函数，
可得函数为增函数，
注意到，
所以由，得，
即，实数a的取值范围为．
故选:D.
二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．
9. 已知，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】BCD
【解析】
【分析】A选项可以举出反例，BCD可以利用不等式的基本性质推导出.
【详解】，，满足条件，故A错误；，故B正确；由得，故C正确；由有，故D正确．
故选：BCD
10. 下列说法正确的是（ ）
A. 的值与的值相等
B. 的值比的值大
C. 的值为正数
D. 关于x的不等式的解集为
【答案】ABC
【解析】
【分析】利用诱导公式可判断A，利用正弦函数的性质可判断B，利用三角函数的符号可判断C，利用余弦函数的性质可判断D.
【详解】对于选项A，由可知选项A正确；
对于选项B，由及正弦函数的单调性可知B选项正确；
对于选项C，由，，，可知C选项正确；
对于选项D，由余弦函数的图象及，可知关于x的不等式的解集为，故D选项错误．
故选：ABC.
11. 已知为锐角，角的终边上有一点，x轴的正半轴和以坐标原点O为圆心的单位圆的交点为N，则（ ）
A. 若，则
B. 劣弧的长度为
C. 劣弧所对的扇形的面积为是
D.
【答案】ABD
【解析】
【分析】根据题意，结合诱导公式化简整理，可判断A的正误；根据弧长公式，可判断B的正误；根据扇形面积公式，可判断C的正误，根据同角三角函数的关系，可判断D的正误，即可得答案.
【详解】A：
，故，故A正确；
B：劣弧长度为，故B正确；
C：只有当时，扇形的面积为，故C不正确；
D：，
∵为锐角，故．故D正确.
故选：ABD
12. 若，，则（ ）
A. 函数为奇函数
B. 当，时，
C. 当，时，
D. 函数有两个零点
【答案】ACD
【解析】
【分析】对于A，根据与的关系判断函数的奇偶性，即可判断，
对于BC，利用作差法即可判断；
对于D，根据零点的存在性定理，结合两函数的图像即可判断.
【详解】对于A选项，函数的定义域为，
由，
所以函数为奇函数，可知A选项正确；
对于B选项，由 ，
有，可知B选项错误；
对于C选项，由 ，
有，可知C选项正确；
对于D选项，令，
由， ，
，
由上可知函数至少有两个零点，
由双钩函数的性质可得函数在上递减，在上递增，
且，
作出函数和的图象，
根据函数和的图象可知，函数有且仅有两个零点，
故D正确.
故选：ACD.

三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．
13. 函数的定义域为______．
【答案】
【解析】
【分析】利用整体代入法求得定义域.
【详解】令，，可得，，
故函数的定义域为．
故答案为：
14. 已知，则______．
【答案】##
【解析】
【分析】结合同角三角函数的基本关系式求得所求表达式的值.
【详解】，．
故答案为：
15. 已知，，，则，，的大小关系是______．（用“”连接）
【答案】
【解析】
【分析】结合指数函数、对数函数的知识确定正确答案.
【详解】，
，
所以．
故答案为：
16. 已知函数若关于x的方程有4个解，分别为，，，，其中，则______，的取值范围是______．
【答案】 ①. 1 ②.
【解析】
【分析】作出图象，将方程有4个解，转化为图象与图象有4个交点，根据二次函数的对称性，对数函数的性质，可得的、的范围与关系，结合图象，可得m的范围，综合分析，即可得答案.
【详解】作出图象，由方程有4个解，可得图象与图象有4个交点，且，如图所示：

由图象可知：且
因为，
所以，
由，可得，
因为，所以
所以，整理得；
当时， 令，可得，
由韦达定理可得
所以，
因为且，
所以或，则或，
所以
故答案为：1，．
【点睛】解题的关键是将函数求解问题，转化为图象与图象求交点问题，再结合二次函数，对数函数的性质求解即可，考查数形结合，分析理解，计算化简的能力，属中档题.
四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤．
17. 计算下列各式的值：
（1），其中m，n均为正数，为自然对数的底数；
（2），其中且．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）根据分数指数幂的运算法则计算可得；
（2）根据对数的性质、换底公式及对数的运算法则计算可得；
【小问1详解】
解：

．
【小问2详解】
解：

．
18. 已知．
（1）若，求的值；
（2）若，且，求实数的值．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）根据同角三角函数的关系，平方化简可得，计算即可得答案.
（2）由题意得，可得或，根据的范围，可求得的值，代入即可得答案.
【小问1详解】
由，可得
所以，即，
所以
【小问2详解】
由，可得，
解得或，
而，所以，解得，
所以．
19. 已知函数的最小正周期为，其中．
（1）求的值；
（2）当时，求函数单调区间；
（3）求函数在区间上的值域．
【答案】（1）
（2）函数的单调减区间为，单调增区间为
（3）
【解析】
【分析】（1）利用求得.
（2）根据三角函数单调区间的求法，求得在区间上的单调区间.
（3）根据三角函数值域的求法，求得在区间上的值域.
【小问1详解】
由函数的最小正周期为，，所以，可得，
【小问2详解】
由（1）可知，
当，有，，
当，可得，
故当时，函数单调减区间为，单调增区间为．
【小问3详解】
当，有，，
可得，
有，
故函数在区间上的值域为．
20. 已知是幂函数，是指数函数，且满足，．
（1）求函数，的解析式；
（2）若，，请判断“是的什么条件？（“充分不必要条件”或“必要不充分条件”或“充要条件”或“既不充分也不必要条件”）．
【答案】（1），
（2）“”是“”的必要不充分条件
【解析】
【分析】（1）利用待定系数法求得.
（2）通过求函数的值域求得，由此确定充分、必要条件.
【小问1详解】
设，，则
则，代入，
∴，.
【小问2详解】
由（1）知，，，
当时，，有，得，
又由，有，得，故，
当时，，有，得，
又由，有，，解得，故，
由Ü，故“”是“”的必要不充分条件．
21. 如图，欲在山林一侧建矩形苗圃，苗圃左侧为林地，三面通道各宽，苗圃与通道之间由栅栏隔开．

（1）若苗圃面积，求栅栏总长的最小值；
（2）若苗圃带通道占地总面积为，求苗圃面积的最大值．
【答案】（1）200米
（2）4608平方米
【解析】
【分析】(1)设苗圃的两边长分别为a，b，依题意列出已知和所求，由基本不等式直接可得；
(2)根据题意列出已知，利用基本不等式将条件化为不等式，然后解不等式可得.
【小问1详解】
设苗圃的两边长分别为a，b（如图），

则，，
当且仅当即时取“=”，
故栅栏总长的最小值为200米．
【小问2详解】
，
而，故，
令，则，
因式分解为，解得，
所以，，当且仅当，即时取“=”，
故苗圃面积的最大值为4608平方米．
22. 已知函数是偶函数．
（1）求实数的值；
（2）若函数的最小值为，求实数的值；
（3）当为何值时，讨论关于的方程的根的个数．
【答案】（1）
（2）
（3）当时，方程有一个根；
当时，方程没有根；
当或或时，方程有两个根；
当时，方程有三个根；
当时，方程有四个根．
【解析】
【分析】（1）利用偶函数满足，求出的值；（2）对函数变形后利用二次函数的最值求的值；（3）定义法得到的单调性，方程通过换元后得到的根的情况，通过分类讨论最终求出结果.
【小问1详解】
由题意得：，即，所以，其中，
∴，解得：
【小问2详解】
，
∴，
故函数的最小值为，
令，故的最小值为，等价于，解得：
或，无解
综上：．
【小问3详解】
由，
令，，
有
．
由，有，，可得，可知函数为增函数，故当时，函数单调递增，由函数为偶函数，可知函数的增区间为，减区间为，
令，有，
方程（记为方程①）可化为，整理为：（记为方程②），
，
当时，有，此时方程②无解，可得方程①无解；
当时，时，方程②的解为，可得方程①仅有一个解为；
时，方程②的解为，可得方程①有两个解；
当时，可得或，
1°当方程②有零根时，，此时方程②还有一根为，可得此时方程①有三个解；
2°当方程②有两负根时，可得，不可能；
3°当方程②有两正根时，可得：，又由，可得，此时方程①有四个根；
4°当方程②有一正根一负根时，，可得：或，又由，可得或，此时方程①有两个根，
由上知：当时，方程①有一个根；
当时，方程①没有根；
当或或时，方程①有两个根；
当时，方程①有三个根；
当时，方程①有四个根．
【点睛】对于复合函数根的个数问题，要用换元法来求解，通常方法会用到根的判别式，导函数，基本不等式等.

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