吉林省实验中学2017-2018学年高一上学期期末考试数学试题(解析版).docx

2017-2018学年吉林省实验中学
高一上学期期末考试数学试题此卷只装订不密封
班级 姓名 准考证号 考场号 座位号

数学
注意事项：
1．答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。
2．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
3．非选择题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
4．考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交。
一、单选题
1．已知全集，，，则（ ）
（A） （B） （C） （D）
2．下列函数中，既是奇函数又是周期函数的是（ ）
A． B． C． D．
3．已知平面向量， ，且∥，则（ ）
A． 1 B． －1 C． 4 D． －4
4．函数的部分图象如图所示，则的值分别是（ ）

A． B． C． D．
5．下列各组向量中，可以作为基底的是（ ）
A． B．
C． D．
6．已知， ， ，则（ ）
A． B． C． D．
7．已知，则（ ）
A． B． C． D．
8．已知非零向量，满足，且，则与的夹角是（ ）
A． B． C． D．
9．函数的值域是（ ）
A． B． C． D．
10．把函数图象上各点的横坐标缩短到原来的倍（纵坐标不变），再将图象向右平移个单位，那么所得图象的一条对称轴方程为（ ）
A． B． C． D．
11．已知函数和均为奇函数， 在区间上有最大值5，那么在上的最小值为（ ）
A． －5 B． －3 C． －1 D． 5
12．已知函数若互不相等，且，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．

二、填空题
13．若，则
14．已知，则的值为__________________．
15．已知将函数的图象向左平移个单位长度后得到的图象，则在上的值域为_________．
16．下列命题中，正确的是___________________．
①已知， ， 是平面内三个非零向量，则；
②已知， ，其中，则；
③若，则的值为2；
④是所在平面上一定点，动点满足： ， ，则直线一定通过的内心．

三、解答题
17．已知．
（Ⅰ）求的值；
（Ⅱ）求与的夹角的余弦值．
18．已知都是锐角， ， ．
（Ⅰ）求的值；
（Ⅱ）求的值．
19．已知函数．
（Ⅰ）求的最小正周期；
（Ⅱ）当时，求的最小值以及取得最小值时的集合．
20．定义在上的函数满足．当时， ．
（Ⅰ）求的解析式；
（Ⅱ）当时，求的最大值和最小值．
21．已知向量，记 ．
（Ⅰ）求的单调递减区间；
（Ⅱ）若，求 的值；
（Ⅲ）将函数的图象向右平移个单位得到的图象，若函数在上有零点，求实数的取值范围．
22．已知函数，当时，恒有．当时， ．
（Ⅰ）求证： 是奇函数；
（Ⅱ）若，试求在区间上的最值；
（Ⅲ）是否存在，使对于任意恒成立？若存在，求出实数的取值范围；若不存在，说明理由．

2017-2018学年吉林省实验中学
高一上学期期末考试数学试题
数学 答 案
参考答案
1．B
【解析】
试题分析：，所以，故选B.
考点：集合的交集、补集运算.
2．A
【解析】根据函数的奇偶性定义可知函数为奇函数， 为周期函数，选A.
3．D
【解析】，则 ，选D.
4．A
【解析】
答案：A.
由函数图像得，
则=π，解得ω=2，
又点（，2）在函数图像上，
则有2sin(2×+φ)=2，
所以sin(2×+φ)=1，
所以可令+φ=，
解得φ=.
故选A.
5．B
【解析】选项A中，两向量共线不能作为基底，选项B中均为非零向量，且 ，由于不共线，可以作为基底，选B.
6．D
【解析】, ，则，选D.
7．A
【解析】,
,
两式相加得： ，则 ，选A.
8．C
【解析】 ， ， ，则与的夹角是，选C.
9．B
【解析】，又 ，则，
函数为减函数，则，函数的值域为，选B.
10．A
【解析】把函数图象上各点的横坐标缩短为原来的倍（纵坐标不变），得到 的图象，再将图象向右平移个单位，得到 ，函数的对称轴为 ，即，当时， ，选 A.
11．C
【解析】令，因为 为奇函数， 时， ， ，又时， ， ， ，故选C.
【点睛】本题主要考查函数的奇偶性的应用，由于函数和 g(x)均为奇函数，则也为奇函数，构造函数,则为奇函数，借助在上的最大值得出的最大值，由于奇函数的图象关于原点对称，所以在关于原点对称的单调区间上的最大值与最小值之和为零，得出在上的最小值，进而得出在上的最小值.
12．D
【解析】画出函数图象，不妨令，要满足，则， ，则，选D.

【点睛】本题主要考查函数有关问题，由于时， ，函数的最小正周期为2，画出函数图像，这段图像关于对称，当最大值为1，当时， ，画出函数图像，由于， ，故且有解出的范围，从而求出所求范围，本题注意利用数形结合，灵活应用三角函数知识和对数函数知识 。
13．
【解析】试题分析：所求式子分子、分母同除以，可得，代入得，原式=.
考点：三角函数的化简、求值.
14．
【解析】， ， ， ，则 .
15．
【解析】，向左平移个单位长度后得到的图象，则 ， ， ， ，则在上的值域为.
16．②③④
【解析】①， ， 是平面内三个非零向量，则错误，因为和为实数， 方向不同时，不可能相等；②已知， ，其中，由于 ，则正确；③若，有， ，则的值为2正确；④是所在平面上一定点，动点满足： ， ，由于为方向上的单位向量， 为方向上的单位向量，则的方向为角A的平分线，则直线一定通过的内心正确，正确的序号为②③④.
【点睛】关于是所在平面上一定点，动点满足： ， ，则直线一定通过的内心这样的问题属于一类问题，如关于是所在平面上一定点，动点满足： ，则直线一定通过的重心等，所以涉及到三角形的内心、外心、重心、垂心这“四心”问题，要善于总结.
17．(Ⅰ) ；(Ⅱ) .
【解析】试题分析：(1)根据向量加法的坐标运算法则，求出的坐标，再利用向量的求模公式求出向量的模；（2）先求出两向量的数量积及两向量的模，利用两向量夹角公式，两向量的夹角的余弦等于这两个向量的点积比模积，求出两向量夹角的余弦.
试题解析：
（Ⅰ）因为，所以， ，
所以
或：由得
（Ⅱ）
【点睛】本题考查向量的坐标运算，涉及到向量的加法减法的坐标运算法则，向量的数量积和模的坐标运算，以及向量的夹角的坐标运算，要熟练使用运算法则和运算公式，准确计算求出所求的值.
18．(Ⅰ) ；(Ⅱ) .
【解析】试题分析：（1）本题为凑角求值题，根据角的正弦值求出余弦值，根据角的余弦值求出正弦值，注意教的范围，利用，利用两角差的正弦公式求值；（2）先用诱导公式化简为，再利用二倍角余弦公式化为，借助第一步的结论代入求值.
试题解析：
（Ⅰ）因为都是锐角，所以， ，所以
（Ⅱ）
【点睛】凑角求值问题先要观察角与角的关系，利用已知角表示未知角，根据角的范围，利用同角三角函数关系求出所缺的三角函数值，再利用和、差、倍角三角函数公式求值，注意角的范围，注意三角函数值的符号，注意运算要准确.
19．(Ⅰ) ；(Ⅱ)答案见解析.
【解析】试题分析：（1）先利用平方差公式化简，然后利用降幂公式和辅助角公式进行化简，化为标准形式，利用周期公式求出最小正周期；（2）由于限制了x的范围，因此先从范围入手，求出的范围，在此范围下借助正弦函数找出何时取得最小值，最小值大小为多少。
试题解析：
（Ⅰ）由已知，

所以最小正周期为
（Ⅱ）由得，所以当，即时，
的最小值为， 取最小值时的集合为
【点睛】化简三角函数式常利用降幂公式和辅助角公式，只有把三角函数式化简为标准形式，才能研究三角函数的性质，如求周期，最值，单调区间，对称轴和对称中心等，当自变量x的范围限制在某区间上时，一定要遵守范围优先考虑原则，从题目所给范围入手，求出的范围，借助正弦函数图象寻找最值和单调区间.
20．(Ⅰ) ；(Ⅱ) ， .
【解析】试题分析：（1）根据函数是奇函数，求x<0的解析式，利用，借助利用x>0的解析式，求出x<0的解析式，从而写出函数f(x)的完整解析式；（2）由于时， ，研究二次函数在[2,8]上的最值即可.
试题解析：
（Ⅰ）由，则函数是奇函数，且，
当时， ，则，
所以，
所以．
（Ⅱ）令， ，则，对称轴为，
当，即时， ，
当，即时， .
【点睛】利用函数的奇偶性求函数的解析式，一般反用定义如奇函数利用，偶函数利用，但奇函数要注意处的定义，另外求指数型复合函数的最值时，常用换元法，可以简化函数的形式，转化为其他函数求最值，解题要注意新元的范围.
21．(Ⅰ) ；(Ⅱ)1；(Ⅲ)
【解析】试题分析：（1）首先根据数量积的坐标运算公式表示函数f(x)，然后利用降幂公式和辅助角公式把函数化简为标准形式，借助正弦函数的单调性列不等式求出单减区间；（2）根据，解出，代入中，求出三角函数值；（3）把函数图象右移个单位相当于把解析式中的x替换为，得出函数的解析式，根据的范围求出的范围，求出g(x)的范围， 在上有零点，就是函数和的图象有交点，写出k的范围 .
试题解析：
（Ⅰ）；
由，
得，
所以的单调递减区间是．
（Ⅱ）由已知得， ，则．
；
（Ⅲ）将函数的图像向右平移个单位得到的图像，
则；
因为，所以，
所以；
若函数在上有零点，则函数 的图像与直线 在上有交点，所以实数的取值范围为．
【点睛】函数f(x)利用向量的数量积定义的，因此先根据数量积的坐标运算公式表示函数f(x)，然后利用降幂公式和辅助角公式把函数化简为标准形式，借助正弦函数的单调性列不等式求出单减区间；函数图像变换包括沿x轴左、右平移，简称“左加右减
”，沿y轴上下平移，简称“上加下减”，曲线上的点的纵坐标不变横坐标伸长（或缩短）为原来的，相当于解析式中的等.
22．(Ⅰ)证明见解析；(Ⅱ) ． ；(Ⅲ) .
【解析】试题分析：(1)令x=y=0，求出 f(0)，令y=-x，可以得出f(-x)与f(x)的关系，从而判断出函数的奇偶性；(2)先判断函数的单调性，取值 ，赋值 ，得出，根据，利用已知当时， ．比较出与的大小，得出函数为增函数，求出函数在区间上的最值；（3）根据函数为奇函数且为增函数，转化不等式，利用换元法简化不等式，利用极值原理求出m 的范围.
试题解析：
（Ⅰ）令，则，
∴．令，则，
∴，即为奇函数；
（Ⅱ）任取，且，
∵，∴，
∵当时， ，且，∴，即，
∴为增函数，
∴当时，函数有最小值， ．
当时，函数有最大值， ；
（Ⅲ）∵函数为奇函数，
∴不等式
可化为，
又∵为增函数，∴，
令，则，
问题转化为在上恒成立，
即对任意恒成立，
令，只需，
而，
∴当时， ，则．
∴的取值范围是．
【点睛】处理抽象函数问题常用的方法是赋值法，判断奇偶性一般先求 f(0)，再赋值y=-x,判断出函数的奇偶性；判断函数的单调性一般先取值，然后赋值，y 的赋值一般使x+y为，所以 y的赋值为，如果为的形式，则赋值，再根据已知判断的大小，进而判断函数的单调性.3