人教版八年级下册数学第一次月考试卷.doc

人教版八年级下册数学第一次月考试卷
一、选择题（每小题3分，共24分）
1．（3分）下列的式子一定是二次根式的是（　　）
A． B． C． D．
2．（3分）二次根式有意义的条件是（　　）
A．x＞3 B．x＞﹣3 C．x≥﹣3 D．x≥3
3．（3分）下列计算结果正确的是（　　）
A．+＝ B．2+＝2 C．3﹣＝2 D．＝1
4．（3分）下列各式是最简二次根式的是（　　）
A． B． C． D．
5．（3分）如图，两个较大正方形的面积分别为225、289，中间所夹三角形为直角三角形，则字母A所代表的正方形的面积为（　　）

A．4 B．8 C．16 D．64
6．（3分）如图，O为数轴原点，A，B两点分别对应﹣3，3，作腰长为4的等腰△ABC，连接OC，以O为圆心，OC长为半径画弧交数轴于点M，则点M对应的实数为（　　）

A． B．4 C．5 D．2.5
7．（3分）在一块平地上，张大爷家屋前9米远处有一棵大树．在一次强风中，这棵大树从离地面6米处折断倒下，量得倒下部分的长是10米．出门在外的张大爷担心自己的房子被倒下的大树砸到．大树倒下时能砸到张大爷的房子吗？（　　）

A．一定不会 B．可能会
C．一定会 D．以上答案都不对
8．（3分）如图所示，将矩形ABCD沿AE向上折叠，使点B落在DC边上的F处，AB＝10，BC＝6，则EF的长为（　　）

A． B．3 C．2 D．1
二、填空题（每小题3分，共24分）
9．（3分）若式子有意义，则x的取值范围是　 　．
10．（3分）若是整数，则满足条件的最小正整数n为　 　．
11．（3分）若最简二次根式与可以合并，则a＝　 　．
12．（3分）计算﹣3的结果是　 　．
13．（3分）若1＜x＜2，则|x﹣1|+的值为　 　．
14．（3分）若直角三角形两边分别是3和4，则第三边是　 　．
15．（3分）如图，把两块相同的含30°角的三角尺如图放置，若cm，则三角尺的最长边长为　 　．

16．（3分）观察下面几组勾股数，并寻找规律：
①4，3，5；
②6，8，10；
③8，15，17；
④10，24，26；
请你根据规律写出第⑤组勾股数是　 　．
三、解答题（共72分）
17．（12分）计算：
（1）4+﹣+4；
（2）++﹣15；
（3）﹣4+÷；
（4）（1﹣）2﹣+（）0．
18．（6分）已知：，，求的值．
19．（6分）如图，实数a、b在数轴上的位置，化简﹣﹣．

20．（6分）已知x、y是实数，+y2﹣6y+9＝0，若3x﹣y的值．
21．（8分）一架梯子长25米，斜靠在一面墙上，梯子底端离墙7米，
（1）这个梯子的顶端距地面有多高？
（2）如果梯子的顶端下滑了4米到A′，那么梯子的底端在水平方向滑动了几米？

22．（8分）如图，将一个边长分别为4，8的长方形纸片ABCD折叠，使C点与A点重合，
求（1）AE的长．
（2）折痕EF的长．

23．（8分）观察下列等式：①＝+1；②＝+；③＝+；…，
（1）请用字母表示你所发现的律：即＝　 　（n为正整数）；
（2）计算：+++…+．
24．（8分）“为了安全，请勿超速”，如图所示是一条已经建成并通车的公路，且该公路的某直线路段MN上限速17m/s，为了检测来往车辆是否超速，交警在MN旁设立了观测点C．若某次从观测点C测得一汽车从点A到达点B行驶了5秒钟，已知∠CAN＝45°，∠CBN＝60°，BC＝200m．
（1）求观测点C到公路MN的距离；
（2）请你判断该汽车是否超速？（参考数据：≈1.41，≈1.73）

25．（10分）我们引入如下概念，
定义；到三角形的两条边的距离相等的点，叫做此三角形的准内心，举例：如图1，PE⊥BC，PD⊥AC，若PE＝PD，则P为△ABC的准内心
（1）填空；根据准内心的概念，图1中的点P在∠ACB的　 　上．
（2）应用；如图2，△ABC中，AC＝BC＝13，AB＝10，准内心P在AB上，求P到AC边的距离PD的长．
（3）探究；已知△ABC为直角三角形，AC＝BC＝6，∠C＝90°，准内心P在△ABC的边上，试探究PC的长．

参考答案与试题解析
一、选择题（每小题3分，共24分）
1．【分析】根据二次根式的被开方数是非负数对每个选项做判断即可．
【解答】解：A、当x＝0时，﹣x﹣2＜0，无意义，故本选项错误；
B、当x＝﹣1时，无意义；故本选项错误；
C、∵x2+2≥2，∴符合二次根式的定义；故本选项正确；
D、当x＝±1时，x2﹣2＝﹣1＜0，无意义；故本选项错误；
故选：C．
2．【分析】根据二次根式有意义的条件求出x+3≥0，求出即可．
【解答】解：∵要使有意义，必须x+3≥0，
∴x≥﹣3，
故选：C．
3．【分析】根据合并同类二次根式的法则进行选择即可．
【解答】解：A、+不能合并，故A错误；
B、2+不能合并，故B错误；
C、3﹣＝2，故C正确；
D、＝＝，故D错误；
故选：C．
4．【分析】利用最简二次根式的定义判断即可．
【解答】解：A、，不是最简二次根式，错误；
B、，不是最简二次根式，错误；
C、是最简二次根式，正确；
D、不是最简二次根式，错误；
故选：C．
5．【分析】根据正方形的面积等于边长的平方，由正方形PQED的面积和正方形PRQF的面积分别表示出PR的平方及PQ的平方，又三角形PQR为直角三角形，根据勾股定理求出QR的平方，即为所求正方形的面积．
【解答】解：∵正方形PQED的面积等于225，
∴即PQ2＝225，
∵正方形PRGF的面积为289，
∴PR2＝289，
又△PQR为直角三角形，根据勾股定理得：
PR2＝PQ2+QR2，
∴QR2＝PR2﹣PQ2＝289﹣225＝64，
则正方形QMNR的面积为64．
故选：D．

6．【分析】先利用等腰三角形的性质得到OC⊥AB，则利用勾股定理可计算出OC＝，然后利用画法可得到OM＝OC＝，于是可确定点M对应的数．
【解答】解：∵△ABC为等腰三角形，OA＝OB＝3，
∴OC⊥AB，
在Rt△OBC中，OC＝＝＝，
∵以O为圆心，CO长为半径画弧交数轴于点M，
∴OM＝OC＝，
∴点M对应的数为．
故选：A．
7．【分析】先构造出树倒下的示意图，判断出四边形ABGF是矩形，得出FG＝6，BG＝9，再用勾股定理求出EG＝19，进而求出EF大约为1.64米，最后根据实际判断即可得出结论．
【解答】解：如图
由题意画出大树倒下的示意图，大树从点B刮断，绕点B倒下，树梢的轨迹为，
根据题意得，AB＝6，BC＝10，AF＝9，
过点F作AB的平行线交于D，E（D在E上面），
∴BE＝BC＝10，∠F＝90°，
过点B作BG⊥DF于G，
∴∠BGF＝90°，
∵∠A＝90°，
∴∠A＝∠F＝∠BGF＝90°，
∴四边形ABGF是矩形，
∴FG＝AB＝6，BG＝AG＝9，
在Rt△BGF中，根据勾股定理得，EG＝＝＝，
∴EF＝FG﹣EG＝6﹣≈6﹣4.36＝1.64米，
而房屋一般高度为2.8到3米，
∴1.64＜2.8，
即：大树倒下时肯定能砸到张大爷的房屋，
但树不向张大爷房子的方向倒下时，一定不会砸到张大爷的房屋，
故选：B．

8．【分析】根据折叠的性质得到EF＝BE，AF＝AB＝10，根据勾股定理得到DF＝＝＝8，求得CF＝2，根据勾股定理列方程即可得到结论．
【解答】解：∵将矩形ABCD沿AE向上折叠，使点B落在DC边上的F处，
∴EF＝BE，AF＝AB＝10，
∵AB＝CD＝10，AD＝BC＝6，
∵∠D＝∠C＝90°，
∴DF＝＝＝8，
∴CF＝2，
∵CF2+CE2＝EF2，
∴22+（6﹣EF）2＝EF2，
∴EF＝，
故选：A．
二、填空题（每小题3分，共24分）
9．【分析】分式中：分母不为零、分子的被开方数是非负数．
【解答】解：根据题意，得
x+2≥0，且x≠0，
解得x≥﹣2且x≠0．
故答案是：x≥﹣2且x≠0．
10．【分析】把28分解因质因数，再根据二次根式的定义判断出n的最小值．
【解答】解：∵28＝4×7，4是平方数，
∴若是整数，则n的最小值为7．
故答案为：7．
11．【分析】根据最简二次根式的定义，进行计算即可．
【解答】解：∵最简二次根式与可以合并，
∴1+2a＝5﹣2a，
∴4a＝4，
∴a＝1，
故答案为1．
12．【分析】先把各二次根式化为最减二次根式，再合并同类项即可．
【解答】解：原式＝3﹣
＝2．
故答案为：2．
13．【分析】先根据题意判断出x﹣1及x﹣2的符号，再根据二次根式的性质进行解答即可．
【解答】解：∵1＜x＜2，
∴x﹣1＞0，x﹣2＜0，
∴原式＝x﹣1+2﹣x
＝1．
故答案为：1．
14．【分析】本题已知直角三角形的两边长，但未明确这两条边是直角边还是斜边，因此两条边中的较长边4既可以是直角边，也可以是斜边，所以求第三边的长必须分类讨论，即4是斜边或直角边的两种情况，然后利用勾股定理求解．
【解答】解：设第三边为x，
（1）若4是直角边，则第三边x是斜边，由勾股定理得：
32+42＝x2，
∴x＝5；
（2）若4是斜边，则第三边x为直角边，由勾股定理得：
32+x2＝42，
∴x＝；
∴第三边的长为5或．
故答案为：5或．
15．【分析】根据题意，知△ABD是等腰直角三角形，即可求得AB的长，再根据30°的直角三角形的性质进行求解．
【解答】解：∵∠ABD＝90°，AB＝BD，AD＝6cm，
∴AB＝BD＝6cm，
在直角三角形ABC中，∠BAC＝30°，
设BC＝x，则AC＝2x．
根据勾股定理，得4x2﹣x2＝108，
解得：x＝6，
则斜边长是12cm．
故答案为：12cm．
16．【分析】根据前面的几组数可以得到每组勾股数与各组的序号之间的关系，如果是第n组数，则这组数中的第一个数是2（n+1），第二个是：n（n+2），第三个数是：（n+1）2+1．根据这个规律即可解答．
【解答】解：观察前4组数据的规律可知：第一个数是2（n+1）；第二个是：n（n+2）；第三个数是：（n+1）2+1．
所以第⑤组勾股数是12，35，37．
故答案为：12，35，37．
三、解答题（共72分）
17．【分析】（1）先把二次根式化为最简二次根式，然后合并即可；
（2）先把二次根式化为最简二次根式，然后合并即可；
（3）先进行二次根式的除法运算，然后化简后合并即可；
（4）先利用完全平方公式和零指数幂的意义计算，再进行分母有理化，然后合并即可．
【解答】解：（1）原式＝4+3﹣2+4
＝7+2；
（2）原式＝2+3+﹣5
＝；
（3）原式＝3﹣2+
＝3﹣2+2
＝3；
（4）原式＝1﹣2+2﹣3（﹣1）+1
＝3﹣2﹣3+3+1
＝7﹣5．
18．【分析】将原式的分子利用完全平方公式分解因式，分母利用平方差公式分解因式，约分后得到最简结果，将x与y的值代入，化简后即可得到原式的值．
【解答】解：
＝ …（2分）
＝，…（4分）
当x＝+1，y＝﹣1时，原式＝＝＝．
19．【分析】根据数轴表示数的方法得到a＜0＜b，再根据二次根式的性质得原式＝|a|﹣|b|﹣|a﹣b|，然后去绝对值后合并即可．
【解答】解：∵a＜0＜b，
∴原式＝|a|﹣|b|﹣|a﹣b|
＝﹣a﹣b+a﹣b
＝﹣2b．
20．【分析】直接利用二次根式的性质以及偶次方的性质得出x，y的值进而得出答案．
【解答】解：∵+y2﹣6y+9＝0，
∴+（y﹣3）2＝0，
∴3x+4＝0，（y﹣3）2＝0，
解得：x＝﹣，y＝3，
则3x﹣y＝3×（﹣）﹣3＝﹣7．
21．【分析】（1）利用勾股定理直接得出AB的长即可；
（2）利用勾股定理直接得出BC′的长，进而得出答案．
【解答】解：（1）由题意得：AC＝25米，BC＝7米，
AB＝＝24（米），
答：这个梯子的顶端距地面有24米；

（2）由题意得：BA′＝20米，
BC′＝＝15（米），
则：CC′＝15﹣7＝8（米），
答：梯子的底端在水平方向滑动了8米．
22．【分析】（1）根据折叠的性质得到AE＝CE，根据勾股定理即可得到结论
（2）先过点F作FG⊥BC于G．利用勾股定理可求出AE，再利用翻折变换的知识，可得到AE＝CE，∠AEF＝∠CEF，再利用平行线可得∠AEF＝∠AFE，故有AE＝AF．求出EG，再次使用勾股定理可求出EF的长．
【解答】解：（1）∵将长方形纸片ABCD折叠，使C点与A点重合，
∴AE＝CE，
∴BE＝BC﹣CE＝BC﹣AE＝8﹣AE，
∵∠B＝90°，
∴AB2+BE2＝AE2，
即42+（8﹣AE）2＝AE2，
∴AE＝5；
（2）解：过点F作FG⊥BC于G
∵EF是直角梯形AECD的折痕
∴AE＝CE，∠AEF＝∠CEF．
又∵AD∥BC
∴∠AEF＝∠AFE．
∴AE＝AF．
在Rt△ABE中，
设BE＝x，AB＝4，AE＝CE＝8﹣x．x2+42＝（8﹣x）2，
解得x＝3．
在Rt△FEG中，EG＝BG﹣BE＝AF﹣BE＝AE﹣BE＝5﹣3＝2，FG＝4，
∴EF＝＝2．

23．【分析】（1）直接利用二次根式的混合运算法则、分母有理化计算得出答案；
（2）直接利用二次根式的混合运算法则、分母有理化计算得出答案．
【解答】解：（1）＝
＝+；
故答案为：+；

（2）原式＝﹣1+﹣+﹣+…+﹣
＝﹣1．
24．【分析】（1）根据题意结合锐角三角函数关系得出CH即可；
（2）汽车BH、AB的长，进而求出汽车的速度，进而得出答案．
【解答】解：（1）过C作CH⊥MN，垂足为H，如图所示：
∵∠CBN＝60°，BC＝200m，
∴CH＝BC•sin60°＝200×＝100（m），
即观测点C到公路MN的距离为100m；
（2）该汽车没有超速．理由如下：
∵BH＝BC•cos60°＝100（米），
∵∠CAN＝45°，
∴AH＝CH＝100m，
∴AB＝100﹣100≈73（m），
∴车速为＝14.6m/s．
∵60千米/小时＝m/s，
又∵14.6＜，
∴该汽车没有超速．

25．【分析】（1）根据准内心的概念，即可判断．
（2）根据三线合一先证明PC是高是中线，再根据•AC•PD＝•AP•PC，即可解决问题．
（3）分三种情形①点P在AB边上，②点P在AC边上，③点P在BC边上，分别讨论即可．
【解答】解：（1）如图1中，

∵PE⊥BC，PD⊥AC，PE＝PD，
∴点P在∠ACB的平分线上．
故答案为角平分线．

（2）如图2中，

∵点P是△ABC的准内心，
∴∠ACP＝∠BCP，
∵CA＝CB＝13，
∴PC⊥AB．AP＝PB＝5，
∴PC＝＝＝12．
∵•AC•PD＝•AP•PC，
∴PD＝＝，

（3）如图3中，

当点P在AB边上时，∵CA＝CB＝6，∠ACB＝90°，
∴AB＝＝6，
∵点P是△ABC的准内心，
∴∠PCB＝∠PCA，
∴PA＝PB，
∴PC＝AB＝3．
如图4中，当点P在AC边上时，作PE⊥AB于E，则AE＝PE，设AE＝PE＝x．

∵点P是△ABC的准内心，
∴∠PBA＝∠PBC，
∵PE⊥AB，PC⊥BC，
∴PE＝PC＝x，
∵AP+PC＝6，
∴x+x＝6，
x＝6﹣6，
∴PC＝6﹣6．
如图5中，

当点P在BC边上时，同理可得PC＝6﹣6．
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