2021北京初三(上)期中数学汇编：弧长与扇形面积.docx

2021北京初三（上）期中数学汇编
弧长与扇形面积
一、单选题
1．（2021·北京市第五中学分校九年级期中）如图，正六边形的边长为2，以为圆心，的长为半径画弧，得，连接，，则图中阴影部分的面积为（       ）

A． B． C． D．
2．（2021·北京·景山学校九年级期中）如图，在中，，，，以为圆心为半径画圆，交于点，则阴影部分面积是（ ）

A． B． C． D．
3．（2021·北京市第五十四中学九年级期中）如图所示，在矩形纸片上剪下一个扇形和一个圆形，使之恰好能围成一个圆锥模型．若扇形的半径为，圆的半径为，则与满足的数量关系是（       ）

A． B． C． D．
4．（2021·北京一七一中九年级期中）若一个扇形的圆心角为90°，半径为6，则该扇形的面积为（     ）
A． B． C． D．
二、填空题
5．（2021·北京市三帆中学九年级期中）京剧作为一门中国文化的传承艺术，深受外国友人青睐．如图，在平面直角坐标系xOy中，某脸谱轮廓可以近似地看成是一个半圆与抛物线的一部分组合成的封闭图形，记作图形G．点A，B，C，D分别是图形G与坐标轴的交点，已知点B的坐标为（0，），线段CD为半圆的直径，且CD=4，点M在半圆上，点N在抛物线上，N的纵坐标为，MN与y轴平行．下列关于图形G的四个结论，其中正确的有________ ．（填正确结论的序号）
①图形G关于直线y=0对称；
②线段MN的长为；
③扇形OMA的面积；
④当＜a＜2时，直线y=a与图形G有两个公共点．

6．（2021·北京市三帆中学九年级期中）一个扇形的半径为4，圆心角为90°，则此扇形的弧长为______．
7．（2021·北京市第一五六中学九年级期中）已知扇形的圆心角为150°，弧长为20πcm，则扇形的面积 _______cm2．
8．（2021·北京·景山学校九年级期中）已知：如图，半圆O的直径AB＝12cm，点C，D是这个半圆的三等分点，则弦AC，AD和围成的图形（图中阴影部分）的面积S是 ___.

9．（2021·北京四中九年级期中）京西某游乐园的摩天轮采用了国内首创的横梁结构，风格更加简约．如图，摩天轮直径 88 米，最高点 A 距离地面 100 米，匀速运行一圈的时间是 18 分钟．由于受到周边建筑物的影响，乘客与地面的距离超过 34 米时，可视为最佳观赏位置，在运行的一圈里最佳观赏时长为___________分钟．

10．（2021·北京·景山学校九年级期中）如图所示，在矩形纸片上剪下一个扇形和一个圆形，使之恰好能围成一个圆锥模型.若扇形的半径为R，圆的半径为r，则R与r满足的数量关系是 ___.

11．（2021·北京市西城外国语学校九年级期中）如图，正六边形ABCDEF内接于⊙O，⊙O的半径为6，则的长为__________．

12．（2021·北京十五中九年级期中）如图，等边△ABC内接于⊙O，若⊙O的半径为3，则阴影部分的面积为_____.

13．（2021·北京市第五十四中学九年级期中）草坪上的自动喷水装置的旋转角为，且它的喷灌区域是一个扇形．若它能喷灌的扇形草坪面积为平方米，则这个扇形的半径是__米．
14．（2021·北京·东直门中学九年级期中）如果一个圆锥的母线长为4，底面半径为1，那么这个圆锥的侧面积为_____．
15．（2021·北京市第一五六中学九年级期中）如果圆的半径为6,那么60°的圆心角所对的弧长为______.
16．（2021·北京四中九年级期中）在半径为1cm的圆中，圆心角为120°的扇形的弧长是_____cm．
17．（2021·北京市第五中学分校九年级期中）如图是一个用来盛爆米花的圆锥形纸杯，纸杯开口圆的直径EF长为10cm，母线OE（OF）长为10cm．在母线OF上的点A处有一块爆米花残渣，且FA=2cm，一只蚂蚁从杯口的点E处沿圆锥表面爬行到A点，则此蚂蚁爬行的最短距离________cm．

18．（2021·北京·东直门中学九年级期中）如图，在△ABC中，∠ACB=90°，∠ABC=30°，BC=2．将△ABC绕点C逆时针旋转α角后得到△A′B′C，当点A的对应点A'落在AB边上时，旋转角α的度数是_____度，阴影部分的面积为_____．

三、解答题
19．（2021·北京市第五十四中学九年级期中）如图，正方形网格中的每个小正方形的边长都是1，顶点叫做格点．△ABC的三个顶点A，B，C都在格点上．将△ABC绕点A按顺时针方向旋转90°得到△AB'C'．

(1)在正方形网格中，画出△AB'C'；
(2)计算线段AB在旋转到AB'的过程中点B过的路线长．
20．（2021·北京市第三中学九年级期中）如图，在平面直角坐标系中，△AOB的三个顶点坐标分别为A（1，0），O（0，0），B（2，2）．以点O为旋转中心，将△AOB逆时针旋转90°，得到△A1OB1．
（1）画出△A1OB1；
（2）直接写出点A1和点B1的坐标；
（3）在旋转过程中点B经过的路径的长度为 　 　．（结果保留π）．

21．（2021·北京市第五十六中学九年级期中）如图，点O，B的坐标分别是（0，0）（3，0），将△OAB绕点O逆时针旋转90°，得到△OA1B1
（1）画出平面直角坐标系和三角形OA1B1；
（2）直接写出点A1的坐标；
（3）求旋转过程中点B走过的路径长．

22．（2021·北京一七一中九年级期中）正方形网格中，每个小正方形的边长都是1个单位长度，在平面直角坐标系中，的三个顶点O（0，0），A（4，1），B（4，4）均在格点上．
（1）画出绕原点O顺时针旋转90°后得到的OA1B1，并写出点A1的坐标．
（2）求点A到点A1经过的路径长．

23．（2021·北京五十五中九年级期中）如图，点A的坐标为(3，2)，点B的坐标为(3，0)，作如下操作：以点A为旋转中心，将ABO顺时针方向旋转90°，得到△AB1O1．
（1）在图中画出△AB1O1．
（2）请接写出点B1的坐标　　．
（3）请直接写出点B旋转到点B1所经过的路径长　　．

24．（2021·北京市第二十二中学九年级期中）已知△ABC如图所示地摆放在边长为1的小正方形组成的网格内，将△ABC绕点C顺时针旋转90°，得到△．

（1）在网格中画出△；
（2）直接写出点B运动到点所经过的路径的长

参考答案
1．A
【分析】
利用等六边形的性质计算出AC的长度，再根据扇形面积计算公式计算即可．
【详解】
解：过B点作AC垂线，垂直为G，

根据正六边形性质可知，，
∴，
∴S扇形=，
故选：A．
【点睛】
本题主要考查扇形面积的计算，根据正六边形性质计算出扇形的半径是解题的关键．
2．B
【分析】
根据直角三角形的性质得到，，根据扇形和三角形的面积公式即可得到结论．
【详解】
解：中，，，，
∴，，
∴
．
故选：．
【点睛】
本题考查了扇形面积的计算，含30°角的直角三角形的性质，正确的识别图形是解题的关键．
3．D
【分析】
利用圆锥的底面周长等于侧面展开图的扇形弧长，根据弧长公式计算．
【详解】
解：扇形的弧长是：，
圆的半径为r，则底面圆的周长是2πr，
圆锥的底面周长等于侧面展开图的扇形弧长则得到：=2πr，
即：R=4r，
R与r之间的关系是R=4r．
故选：D．
【点睛】
本题综合考查有关扇形和圆锥的相关计算．解题思路：解决此类问题时要紧紧抓住两者之间的两个对应关系：（1）圆锥的母线长等于侧面展开图的扇形半径；（2）圆锥的底面周长等于侧面展开图的扇形弧长．正确对这两个关系的记忆是解题的关键．
4．D
【分析】
根据扇形公式S扇形=，代入数据运算即可得出答案．
【详解】
解：由题意得，n=90°，R=6，
S扇形=，
故选：D．
【点睛】
本题主要考查了扇形的面积计算，属于基础题，解答本题的关键是熟练掌握扇形的面积公式，另外要明白扇形公式中，每个字母所代表的含义．
5．②④##④②
【分析】
用待定系数法求出抛物线表达式，从而得出对称轴，令求出点坐标，即可得出的横坐标，由勾股定理求出点坐标，从而得出的长，由三角函数求出的度数，由扇形面积公式从而得出，由图像得出当时，直线与图形的交点个数．
【详解】

如图，交轴于点，
，
，，
设抛物线表达式为，
把代入解得：，
，
图形关于直线对称，故①错误；
令得：，
解得：或，
，
，
在中，，
，故②正确；
，，
，
，故③错误；
由图可知，，
当时，直线与图形有两个公共点，故④正确．
故答案为：②④．
【点睛】
本题以半圆为抛物线合成的封闭图形为背景，曲线的对称性、整点问题，构造直角三角形，利用勾股定理求点的坐标．
6．2π
【分析】
根据扇形的弧长公式求出即可．
【详解】
∵扇形的半径为4，圆心角为90°，
∴此扇形的弧长=，
故答案为：．
【点睛】
本题考查了扇形的弧长计算，能熟记扇形的弧长公式是解此题的关键，注意：扇形的半径为r，圆心角为n°的扇形的弧长是．
7．
【分析】
先求解扇形所在圆的半径，再利用扇形的面积公式求解扇形的面积即可.
【详解】
解： 扇形的圆心角为150°，弧长为20π，

故答案为：
【点睛】
本题考查的是扇形的弧长，扇形的面积，掌握“利用扇形的公式求解扇形的面积”是解题的关键.
8．
【分析】
如图，连接OC、OD、CD，OC交AD于点E，由点C，D是这个半圆的三等分点可得，在同圆中，同弧所对的圆周角是圆心角的一半，即可得出，再根据得，，都是等边三角形，所以，，可证，故，由扇形的面积公式计算即可．
【详解】
如图所示，连接OC、OD、CD，OC交AD于点E，

点C，D是这个半圆的三等分点，
，
，
，
，都是等边三角形，
，，
在与中，
，
，
，
．
故答案为：．
【点睛】
本题考查了扇形面积公式的应用，证明，把求阴影部分面积转化为求扇形面积是解题的关键．
9．12
【分析】
先计算出圆的底端距离地面的距离为12，从而得到圆的底部到弦的距离为22，从而计算出弦所对的圆心角，用弧长公式计算劣弧的长，周长减去劣弧的长得到最佳观赏路径长，除以运动速度即可．
【详解】
如图所示，根据题意，得OC=44，CD=AD-AC=100-88=12，ED=34，
∴CE=ED-CD=34-12=22，
∴OE=OC-CE=44-22=22，
在直角三角形OEF中，sin∠OFE=，

∴∠OFE=30°，
∴∠FOE=60°，
∴∠FOB=120°，
∴，
∵圆转动的速度为，
∴最佳观赏时长为（分钟），
故答案为：12．
【点睛】
本题考查了垂径定理，弧长公式，特殊角的三角函数，熟练掌握弧长公式，灵活运用特殊角的三角函数是解题的关键．
10．##
【分析】
利用圆锥的底面周长等于侧面展开图的扇形弧长，根据弧长公式计算．
【详解】
解：扇形的弧长是：，
圆的半径为，则底面圆的周长是，
圆锥的底面周长等于侧面展开图的扇形弧长则得到：，
即：，
与之间的关系是．
故答案是：．
【点睛】
本题综合考查有关扇形和圆锥的相关计算，解题的关键是要紧紧抓住两者之间的两个对应关系：（1）圆锥的母线长等于侧面展开图的扇形半径；（2）圆锥的底面周长等于侧面展开图的扇形弧长．
11．2π
【分析】
根据圆内接正六边形的性质得到∠AOB=，再利用弧长公式计算即可．
【详解】
如图连接OA、OB，
∵正六边形ABCDEF内接于⊙O，
∴∠AOB=，
∴的长为，
故答案为：．
．
【点睛】
此题考查圆内接正六边形的性质，弧长的计算公式，熟记圆内接正六边形的性质是解题的关键．
12．
【分析】
由等边三角形的性质可得∠ABC=60°，根据圆周角定理可得∠AOC=120°，利用扇形面积公式即可得答案.
【详解】
∵△ABC是等边三角形，
∴∠ABC=60°，
∵∠ABC和∠AOC是所对的圆周角和圆心角，
∴∠AOC=2∠ABC=120°，
∵⊙O的半径为3，
∴S阴影==，
故答案为：
【点睛】
本题考查圆周角定理及扇形面积，在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半；根据圆周角定理得出∠AOC的度数并熟记扇形面积公式是解题关键.
13．3
【分析】
根据已知得出自动喷水装置它能喷灌的草坪是扇形，面积为5平方米，圆心角为200°，利用扇形面积公式S扇形=求出即可．
【详解】
解：∵草坪上的自动喷水装置它能喷灌的草坪是扇形，面积为5平方米，圆心角为200°，
∴它能喷灌的草坪的面积为：=5．
解得： R=3，
故答案为3．
【点睛】
此题主要考查了扇形面积求法.
14．4π
【详解】
试题分析：本题考查了圆锥的计算，解题的关键是知道圆锥的侧面积的计算方法．根据圆锥的侧面积=×底面周长×母线长计算．所以
故填
考点：圆锥的侧面积．
15．
【详解】
试题分析：直接根据弧长公式进行计算．
试题解析：根据弧长的公式
考点: 弧长的计算．
16．
【详解】
知道半径，圆心角，直接代入弧长公式即可求得扇形的弧长：
17．cm
【详解】
试题分析：因为OE=OF=EF=10（cm），
所以底面周长=10π（cm），
将圆锥侧面沿OF剪开展平得一扇形，此扇形的半径OE=10（cm），弧长等于圆锥底面圆的周长10π（cm）
设扇形圆心角度数为n，则根据弧长公式得：
10π=，
所以n=180°，
即展开图是一个半圆，
因为E点是展开图弧的中点，
所以∠EOF=90°，
连接EA，则EA就是蚂蚁爬行的最短距离，
在Rt△AOE中由勾股定理得，
EA2=OE2+OA2=100+64=164，
所以EA=2（cm），
即蚂蚁爬行的最短距离是2（cm）．

考点：平面展开-最短路径问题；圆锥的计算．
18．     60    
【详解】
试题分析：连接CA′，证明三角形AA′C是等边三角形即可得到旋转角α的度数，再利用旋转的性质求出扇形圆心角以及△CDB′的两直角边长，进而得出图形面积即可．
试题解析：

∵AC=A′C，且∠A=60°，
∴△ACA′是等边三角形．
∴∠ACA′=60°，
∴∠A′CB=90°-60°=30°，
∵∠CA′D=∠A=60°，
∴∠CDA′=90°，
∵∠B′CB=∠A′CB′-∠A′CB=90°-30°=60°，
∴∠CB′D=30°，
∴CD=CB′=CB=×2=1，
∴B′D=，
∴S△CDB′=×CD×DB′=×1×=，
S扇形B′CB=，
则阴影部分的面积为：.
考点：1.旋转的性质；2.扇形面积的计算．
19．(1)图见解析
(2)
【分析】
（1）分别作出点B、C绕点A按顺时针方向旋转90°得到的对应点，再顺次连接可得；
（2）根据扇形的面积公式列式计算可得．
(1)
解：如图所示，△AB'C'即为所求；

(2)
因为AB＝＝5，
所以线段AB在旋转过程中所扫过的面积为＝．
【点睛】
本题主要考查作图−旋转变换，解题的关键是根据旋转的性质作出变换后的对应点及扇形的面积公式．
20．（1）见解析；（2）A1（0，1），B1（−2，2）；（3）
【分析】
（1）利用网格特点和旋转的性质画出A、B的对应点A1、B1即可；
（2）利用（1）所画图形确定点A1和点B1的坐标；
（3）先计算出OB的长，然后利用弧长公式计算．
【详解】
解：（1）如图，△A1OB1为所作；

（2）A1（0，1），B1（−2，2）；
（3）OB＝，
所以点B旋转到点B1所经过的路径长＝,
故答案为：．
【点睛】
本题考查了作图−旋转变换：根据旋转的性质可知，对应角都相等都等于旋转角，对应线段也相等，由此可以通过作相等的角，在角的边上截取相等的线段的方法，找到对应点，顺次连接得出旋转后的图形．
21．（1）见解析；（2）A1（-2，4）；（3）．
【分析】
（1）分别作出A，B，的对应点A1，B1即可．
（2）根据点A1的位置写出坐标即可．
（3）利用弧长公式计算即可．
【详解】
解：（1）如图，OA1B1即为所求．

（2）由图可得A1（-2，4）．
（3）旋转过程中点B走过的路径长＝．
【点睛】
本题考查作图−旋转变换，弧长公式等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．
22．（1）作图见解析，点的坐标为；（2）
【分析】
（1）将点、分别绕原点顺时针旋转后得到其对应点，再与点首尾顺次连接即可；
（2）先求出线段的长，再根据扇形的弧长公式结合求解即可．
【详解】
解：（1）如图所示，即为所求．

其中点的坐标为；
（2），，
点A到点A1经过的路径长为．
【点睛】
本题主要考查作图—旋转变换，解题的关键是掌握旋转变换的定义与性质及扇形弧长公式．
23．（1）见解析，（2）（1，2），（3）π
【分析】
（1）利用网格和旋转的性质画出点B、O的对应点B1、O1，从而得到△AB1O1；
（2）由（1）得到点B1的坐标；
（3）根据弧长公式求解即可．
【详解】
解：（1）如图，△AB1O1为所作；

（2）点B1的坐标为（1，2）；
故答案为（1，2）；
（3）点B旋转到点B1所经过的路线长＝＝π
故答案为：π．
【点睛】
本题考查了作图﹣旋转变换和弧长公式，解题关键是根据旋转的性质作出对应点．
24．（1）作图见解析；（2）．
【详解】
试题分析：（1）利用对应点到旋转中心的距离相等，对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角，分别作出点A、B的对应点，然后顺次连接即可；
（2）因为B旋转到所经过的路线是以C为圆心CB为半径，圆心角度数为90°的弧，利用弧长公式即可求解．
试题解析：（1）如图所示，△A1B1C即为所求作的图形；
（2）．

考点：1．弧长的计算；2．作图-旋转变换．
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