备战2023年高考数学一轮复习-第1节-导数的概念及其意义、导数的运算.docx

第1节　导数的概念及其意义、导数的运算

1.了解导数概念的实际背景,理解导数的几何意义.
2.能根据导数定义求函数y=c(c为常数),y=x,y=x2,y=x3,y=1x,y=x 的导数.
3.能利用基本初等函数的导数公式和导数的四则运算法则求简单函数的导数.能求简单的复合函数(限于形如f(ax+b))的导数,会使用导数公式表.

1.函数y=f(x)在x=x0处的导数
(1)定义:如果当Δx→0时,平均变化率ΔyΔx无限趋近于一个确定的值,即ΔyΔx有极限,则称y=f(x)在x=x0处可导,并把这个确定的值叫做y=f(x)在x=x0处的导数(也称为瞬时变化率),记作f′(x0)或y′|x=x0,即
f′(x0)=limΔx→0ΔyΔx=limΔx→0f(x0+Δx)-f(x0)Δx.

(1)定义的变化形式:f′(x0)=limx→x0f(x)-f(x0)x-x0.
(2)函数y=f(x)的导数f′(x)反映了函数f(x)的瞬时变化趋势,其正负号反映了变化的方向,其大小|f′(x)|反映了变化的快慢,|f′(x)|越大,曲线在这点处的切线越“陡”.
(2)几何意义:函数y=f(x)在x=x0处的导数f′(x0)就是曲线y=f(x)切线的斜率k0,即
k0=limΔx→0f(x0+Δx)-f(x0)Δx=　　　. 

(1)曲线y=f(x)在点P(x0,y0)处的切线是指P为切点,斜率为f′(x0)的切线,具有唯一性.
(2)曲线y=f(x)过点P(x0,y0)的切线,点P不一定是切点,切线可能有多条.
2.函数y=f(x)的导函数
从求函数y=f(x)在x=x0处导数的过程可以看到,当x=x0时,f′(x0)是一个　　　　　　的数.这样,当x变化时,y=f′(x)就是x的函数,我们称它为y=f(x)的导函数(简称导数).y=f(x)的导函数有时也记作y′,即 
f′(x)=y′=limΔx→0f(x+Δx)-f(x)Δx.
3.基本初等函数的导数公式
基本初等函数
导函数
f(x)=c(c为常数)
f′(x)=　　 
f(x)=xα(α∈Q,且α≠0)
f′(x)=　　　 
f(x)=sin x
f′(x)=　　　 
f(x)=cos x
f′(x)=　　　 
f(x)=ex
f′(x)=　　 
f(x)=ax(a>0,且a≠1)
f′(x)=　　　 
f(x)=ln x
f′(x)=　　 
f(x)=loga x(a>0,且a≠1)
f′(x)=　　　　　 

函数的解析式中含有根式的,在求导时要先将根式化为分数指数幂后求导数.
4.导数的运算法则
若f′(x),g′(x)存在,则有
(1)[f(x)±g(x)]′=　　　　　　; 
(2)[f(x)·g(x)]′=　　　　　　; 
(3)[ f(x)g(x)]′=f'(x)g(x)-f(x)g'(x)[g(x)]2(g(x)≠0).
5.复合函数的导数
一般地,对于由函数y=f(u)和u=g(x)复合而成的函数y=f(g(x)),它的导数与函数y=f(u),u=g(x)的导数间的关系为y′x=　　　　　　.即y对x的导数等于y对u的导数与u对x的导数的乘积. 

1.奇函数的导数是偶函数,偶函数的导数是奇函数,周期函数的导数还是周期函数.
2.熟记以下结论:
(1)( 1x)′=-1x2;
(2)(x)′=12x;
(3)[ 1f(x)]′=-f'(x)[f(x)]2(f(x)≠0);
(4)[af(x)±bg(x)]′=af′(x)±bg′(x).

1.(选择性必修第二册P64练习T2改编)函数f(x)=ex+x2-2x的图象在点(0,f(0))处的切线方程为(　　)
A.x+y-1=0
B.x+y+1=0
C.2x+y+1=0
D.2x+y-1=0
2.下列求导数运算正确的是(　　)
A.(cosπ3)′=-sinπ3
B.(log2x)′=1xln2
C.(3x)′=3xlog3e
D.(x+1x)′=1+1x2
3.设f(x)在x=x0处可导,
且limΔx→0f(x0+3Δx)-f(x0)Δx=1,则f′(x0)=(　　)
A.1 B.3
C.13 D.0
4.(2020·全国Ⅲ卷)设函数f(x)=exx+a.若f′(1)=e4,则a=　　　. 
5.若函数f(x)=ln(2x-1),则f′(2)=　　　　. 

导数的运算
1.已知函数f(x)=f′(1)x2+2x+2f(1),则f′(2)的值为(　　)
A.-2 B.0
C.-4 D.-6
2.已知f(x)=lnx2x,则f′(12)=(　　)
A.-2-ln 2 B.-2+ln 2
C.2-ln 2 D.2+ln 2
3.(2021·湖南长沙长郡中学期中)若函数f(x),g(x)满足f(x)+xg(x)=x2-1,且f(1)=1,则f′(1)+g′(1)等于(　　)
A.1 B.2
C.3 D.4
4.求下列函数的导数:
(1)y=2x+1x+2;　(2)y=11+x+11-x;
(3)y=ln1+2x;　(4)y=1+cos2x.

1.求函数的导数要准确地把函数分解为基本初等函数的和、差、积、商,再利用运算法则求导数.
2.熟记求导函数的5种形式及解法
(1)连乘积形式:先展开化为多项式的形式,再求导;
(2)分式形式:观察函数的结构特征,先化为整式函数或较为简单的分式函数,再求导;
(3)对数形式:先化为和、差的形式,再求导;
(4)根式形式:先化为分数指数幂的形式,再求导;
(5)三角函数形式:可利用三角函数公式转化为和或差的形式,再求导,也可直接利用复合函数求导.
3.掌握求复合函数的导数一般步骤
(1)明确复合关系,适当选定中间变量,正确分解关系;
(2)分层求导,弄清每一步中是哪个变量对哪个变量求导数.
导数的几何意义及其应用
角度一　求切线方程
函数f(x)是定义在R上的奇函数,且当x<0时,f(x)=x3-2x2,则曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线方程为　　　　　　. 

1.求曲线在点P(x0,y0)处的切线方程的方法
(1)求出y=f(x)在x=x0处的导数,即y=f(x)在点P(x0,f(x0))处的切线斜率(当曲线y=f(x)在点P处的切线与y轴平行时,在该点处导数不存在,切线方程为x=x0);(2)由点斜式求得切线方程y-y0=f′(x0)·
(x-x0).
2.由于本题涉及奇函数的点的切线问题,因此求解时需要利用奇函数的性质求f(1)以及f′(1).
角度二　求切点坐标
(2019·江苏卷)在平面直角坐标系xOy中,点A在曲线y=ln x上,且该曲线在点A处的切线经过点(-e,-1)(e为自然对数的底数),则点A的坐标是　　　　. 

根据导数的几何意义求切点坐标应注意两点:一是切点坐标既在曲线的图象上又在切线上;二是切线的斜率等于切点的横坐标的导数值.
角度三　求参数的值(取值范围)
(1)已知直线y=kx+1与曲线y=ln x相切,则k等于(　　)
A.1e2 B.1e
C.e D.e2
(2)(2021·陕西宝鸡高考模拟)已知直线y=kx(k>0)和曲线f(x)=
x-aln x(a≠0)相切,则a的取值范围是(　　)
A.(-∞,0)∪(0,e)
B.(0,e)
C.(0,1)∪(1,e)
D.(-∞,0)∪(1,e)

利用导数的几何意义求参数的基本方法
利用切点的坐标、切线的斜率、切线的方程等得到关于参数的方程(组)或者参数满足的不等式(组),进而求出参数的值或取值范围.
[针对训练]
1.设函数f(x)=x3+ax2,若曲线y=f(x)在点P(x0,f(x0))处的切线方程为x+y=0,则点P的坐标为(　　)
A.(0,0) B.(1,-1)
C.(-1,1) D.(1,-1)或(-1,1)
2.若函数f(x)=ln x+ax的图象存在与直线2x-y=0平行或重合的切线,则实数a的取值范围是　　　　. 
3.(2021·安徽安庆一模)函数f(x)=(x+1)·ex-1+a在点(1,f(1))处的切线经过点(3,7),则实数a=　　　　. 
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