2019北京三帆中学初三(上)期中数学(教师版).docx

2019北京三帆中学初三（上）期中
数 学
一、选择题（本题其16分，每小题2分）
1．（2分）抛物线的顶点坐标是　　
A． B． C． D．
2．（2分）如图，是的外接圆，，则的度数为　　
A． B． C． D．
3．（2分）下面列图案中既是轴对称图形又是中心对称图形的是　　
A． B． C． D．
4．（2分）如图，四边形内接于，为延长线上一点，如果，那么等于　　

A． B． C． D．
5．（2分）在平面直角坐标系中，将抛物线先向右平移3个单位长度，再向下平移4个单位长度后所得到的抛物线表达式为　　
A． B． C． D．
6．（2分）二次函数，若点，是它图象上的两点，则与的大小关系是　　
A． B． C． D．不能确定
7．（2分）如图，数轴上有、、三点，点，关于点对称，以原点为圆心作圆，若点，，分别在外，内，上，则原点的位置应该在　　

A．点与点之间靠近点 B．点与点之间靠近点
C．点与点之间靠近点 D．点与点之间靠近点

8．（2分）已知一次函数和二次函数部分自变量与对应的函数值如下表

0
2
4
5

0
1
3
5
6

0

0
5
9

当时，自变量的取值范围是　　
A． B． C．或 D．或
二、填空题（本题共16分，每小题2分）
9．（2分）点关于原点对称的点的坐标为　　．
10．（2分）请你写出一个二次函数，其图象满足条件：①开口向下；②图象过原点，此二次函数的解析式可以是　　．
11．（2分）如图所示，是等边内一点，是由旋转所得，则　 　度．

12．（2分）如图，为的直径，弦于点，已知，，则的半径为　　．

13．（2分）若抛物线与轴有且只有一个公共点，则的值为　　．
14．（2分）如图，在一块长，宽的矩形空地上，修建同样宽的两条道路（两条道路各与矩形的一条边平行），剩余部分栽种花草，且栽种花草的面积为，设道路的宽为，则根据题意，可列方程为　　．

15．（2分）如图所示的网格是正方形网格，线段绕点顺时针旋转后与相切，则的值为　　．

16．（2分）如图，已知二次函数的图象与轴交于点，对称轴为直线，与轴的交点在和之间（包括这两点），下列结论正确的是　　
①当时，；②；③；④；

三、解答题（本题共68分，第17-20题，每小题5分，第21题7分，第22-24题，每小题5分，第25，26题，每小题5分，第27，28题，每小区7分）解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程
17．（5分）解方程：（用配方法）

18．（5分）阅读下面材料
在数学课上，老师提出利用尺规作图完成下面问题
已知：是的一个内角．作：．
小芸的作法如下：如图
①作线段的垂直平分线；
②作线段的垂直平分线，与直线交于点；
③以点为圆心，为半径作的外接圆；
④在弧上取一点，连接，
所以
根据小芸设计的尺规作图过程
（1）使用直尺和圆规，补全图形；（保留作图痕迹）
（2）完成下面的证明
证明：连接，，
由作图可知　　（填推理的依据）
点，在上，弧弧
．　　（填推理的依据）

19．（5分）已知抛物线与轴交于，两点，点在点的左侧．
（1）求，两点的坐标和此抛物线的对称轴；
（2）设此抛物线的顶点为，点与点关于轴对称，求四边形的面积．

20．（5分）如图，在中，，，是边上一点（点与，不重合），连接，将线段绕点按逆时针方向旋转得到线段，连接交于点，连接．
（1）求证：；
（2）当时，求的度数．

21．（7分）已知二次函数．
（1）将二次函数的表达式化为的形式．
（2）在平面直角坐标系中，用描点法画出这个二次函数的图象．

（3）观察图象，直接写出当时，的取值范围．
（4）根据（2）中的图象，写出一条该二次函数的性质．

22．（5分）跳台滑雪是冬季奥运会比赛项目之一，运动员起跳后的飞行路线可以看作是抛物线的一部分．一名运动员起跳后，他的飞行路线如图所示，当他的水平距离为时，达到飞行的最高点处，此时的竖直高度为，他落地时的水平距离（即的长）为，求这名运动员起跳时的竖直高度（即的长）．

23．（5分）如图，是的直径，弦于点，在的切线上取一点，使得．
（1）求证：是的切线．
（2）若，，求的长．

24．（5分）如图，点是半圆中 上一动点，连接，作，交弦于点．已知，设，两点间的距离为，，两点间的距离为，，两点间的距离为．（当点与点重合时，，的值为．
小元根据学习函数的经验，分别对函数随自变量的变化而变化的规律进行了探究．
下面是小元的探究过程，请补充完整：
（1）按照下表中自变量的值进行取点、画图、测量，分别得到了与的几组对应值；

0
1
2
3
4
5
6

0
1.21
2.09

2.99
2.82
0

0
0.87
1.57
2.20
2.83
3.61
6
经测量的值是　　（保留一位小数）．
（2）在同一平面直角坐标系中，描出补全后的表中各组数值所对应的点，，并画出函数，的图象；

（3）结合函数图象，解决问题：当为等腰三角形时，的长度约为　　（保留一位小数）．

25．（6分）关于的一元二次方程有两个不相等且非零的实数根，探究，，满足的条件．
小华根据学习函数的经验，认为可以从二次函数的角度看一元二次方程，下面是小华的探究过程，第一步，设一元二次方程对应的二次函数为；
第二步：借助二次函数图象．可以得到相应的一元二次方程中，，满足的条件，列表如下：
方程两根的情况
对应的二次函数的大致图象
，，满足的条件
方程有两个不相等的负实根

①_______

方程有两个不相等的正实根
②_______
③_______
（1）请帮助小华将上述表格补充完整；
（2）参考小华的做法，解决问题：
若关于的一元二次方程有一个负实根和一个正实根，且负实根大于，求实数的取值范围．

26．（6分）已知抛物线，将抛物线在轴左侧部分沿轴翻折，翻折后的部分和抛物线在轴右侧部分组成图形，已知，，，
（1）求抛物线的对称轴；
（2）当时，
①若点在图形上，求的值；
②直接写出线段与图形的公共点个数．
（3）当时，若线段与图形恰有两个公共点，直接写出的取值范围．

27．（7分）已知中，，将绕点逆时针旋转后，点的对应点为点，点的对应点为点，直线与直线交于点，连接．
（1）如图1，当时，
①求证：；
②求的度数；
（2）如图2，当时，
①请依意补全图2；
②用等式表示线段，，之间的数量关系，并证明．

28．（7分）对于平面直角坐标系中的点和，给出如下定义：若存在过点的直线交于异于点的，两点，在，，三点中，位于中间的点恰为以另外两点为端点的线段的中点时，则称点为的相邻点，直线为关于点的相邻线．
（1）当的半径为1时，
①分别判断在点，，，中，是的相邻点有　　；
②请从①中的答案中，任选一个相邻点，在图1中做出关于它的一条相邻线，并说明你的作图过程；
③点在直线上，若点为的相邻点，求点横坐标的取值范围；
（2）的圆心在轴上，半径为1，直线与轴，轴分别交于点，，若线段上存在的相邻点，直接写出圆心的横坐标的取值范围．

参考答案
一、选择题（本题其16分，每小题2分）
1．【分析】根据顶点式解析式写出顶点坐标即可．
【解答】解：抛物线的顶点坐标是．
故选：．
【点评】本题考查了二次函数的性质，主要是利用顶点式解析式写顶点的方法，需熟记．
2．【分析】根据圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半得，进而可得答案．
【解答】解：是的外接圆，，
．
故选：．
【点评】此题主要考查了圆周角定理，关键是准确把握圆周角定理即可．
3．【分析】根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解．
【解答】解：、不是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项错误；
、不是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项错误；
、是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项错误；
、是轴对称图形，也是中心对称图形，故此选项正确．
故选：．
【点评】本题考查了中心对称图形与轴对称图形的知识．轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合；中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后两部分重合．
4．【分析】由四边形内接于，可得，又由，即可求得．
【解答】解：，，
．
故选：．
【点评】此题考查了圆的内接多边形的性质．此题比较简单，注意掌握数形结合思想的应用．
5．【分析】把抛物线的顶点先向右平移3个单位长度，再向下平移4个单位长度后得到点的坐标为，即得到平移后抛物线的顶点坐标，然后根据顶点式写出解析式即可．
【解答】解：抛物线的顶点坐标为，把点先向右平移3个单位长度，再向下平移4个单位长度后得到点的坐标为，
所以平移后所得的抛物线的解析式为．
故选：．
【点评】本题考查了二次函数图象与几何变换：先把二次函数的解析式配成顶点式然后把抛物线的平移问题转化为顶点的平移问题．
6．【分析】分别计算自变量为、2时的函数值，然后比较函数值的大小即可．
【解答】解：当时，；
当时，；
，
，
故选：．
【点评】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征：二次函数图象上点的坐标满足其解析式．也考查了二次函数的性质．
7．【分析】画出图象，利用图象法即可解决问题；
【解答】解：如图，观察图象可知，

原点的位置应该在点与点之间靠近点，
故选：．
【点评】本题考查点与圆的位置关系，解题的关键是理解题意，学会利用图象法解决问题．
8．【分析】利用表中数据得到直线与抛物线的交点为和，时，，从而得到当时，自变量的取值范围．
【解答】解：当时，；当时，；
直线与抛物线的交点为和，
而时，，
当时，自变量的取值范围是或．
故选：．
【点评】本题考查了二次函数与不等式：对于二次函数、、是常数，与不等式的关系，利用两个函数图象在直角坐标系中的上下位置关系求自变量的取值范围，可作图利用交点直观求解，也可把两个函数解析式列成不等式求解．
二、填空题（本题共16分，每小题2分）
9．【分析】根据点和点关于原点对称可知，点的坐标与点的坐标互为相反数．
【解答】解：点与关于原点对称，
点和点的横、纵坐标分别互为相反数，
点坐标为．
故答案为．
【点评】本题考查了平面直角坐标系中任意一点关于原点的对称点是，即关于原点的对称点，横纵坐标都变成相反数．
10．【分析】根据题目中的条件，可以写出一个二次函数，注意本题答案不唯一．
【解答】解：一个二次函数满足条件：①开口向下；②图象过原点，
该函数可以是：，
故答案为：．
【点评】本题考查二次函数的性质，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质解答，这是一道开放性题目，答案不唯一．
11．【分析】连接，根据旋转的性质，易得，由全等的性质进而可得，，代入数据即可得答案．
【解答】解：连接，
根据旋转的性质，，
则，则，
即度．
故答案为60．

【点评】此题主要考查了图形旋转的性质，比较简单．
12．【分析】连接，设的半径为，根据垂径定理求出，根据勾股定理列式计算，得到答案．
【解答】解：连接，
设的半径为，则，
，
，
由勾股定理得，，即，
解得，，
则的半径为5，
故答案为：5．

【点评】本题考查的是垂径定理、勾股定理，垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧．
13．【分析】根据抛物线与轴有且只有一个公共点，可以得到当时，，△，从而可以得到的值．
【解答】解：抛物线与轴有且只有一个公共点，
当时，，△，
解得，，
故答案为：．
【点评】本题考查抛物线与轴的交点、二次函数的性质，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质解答．
14．【分析】把所修的两条道路分别平移到矩形的最上边和最左边，则剩下的部分是一个长方形，根据长方形的面积公式列方程．
【解答】解：道路的宽应为米，
由题意得，，
故答案为：．
【点评】此题主要考查了由实际问题抽象出一元二次方程，把中间修建的两条道路分别平移到矩形地面的最上边和最左边是做本题的关键．
15．【分析】线段绕点顺时针旋转后与相切，切点为和，连接、，根据切线的性质得，，利用直角三角形30度的判定或三角函数求出，从而得到，同理可得，则．
【解答】解：线段绕点顺时针旋转后与相切，切点为和，连接、，
则，，
在中，，，
，
，
同理可得，
，
综上所述，的值为或．
故答案为或．

【点评】本题考查了切线的性质：圆的切线垂直于经过切点的半径．也考查了旋转的性质和直角三角形的性质．
16．【分析】根据题意和图象可以分别计算出各个小题中的结论是否成立，从而可以解答本题．
【解答】解：二次函数的图象与轴交于点，对称轴为直线，
和时的函数值相等，
当时，，当时，，故①正确，
，
，
，
，故②正确，
，
解得，，故③正确，
，，
，故④错误，
故答案为：①②③．
【点评】本题考查二次函数图象与系数的关系、抛物线与轴的交点，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用二次函数的性质解答．
三、解答题（本题共68分，第17-20题，每小题5分，第21题7分，第22-24题，每小题5分，第25，26题，每小题5分，第27，28题，每小区7分）解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程
17．【分析】解题时要注意解题步骤的准确应用，把左边配成完全平方式，右边化为常数．然后利用直接开平方法即可求解．
【解答】解：

，．
【点评】用配方法解一元二次方程的步骤：
（1）形如型：第一步移项，把常数项移到右边；第二步配方，左右两边加上一次项系数一半的平方；第三步左边写成完全平方式；第四步，直接开方即可．
（2）形如型，方程两边同时除以二次项系数，即化成，然后配方．
18．【分析】（1）根据作图过程即可补全图形；
（2）根据圆的性质即可完成证明．
【解答】解：（1）如图即为补全的图形；

（2）证明：连接，，
由作图可知（同圆中的半径相等）
点，在上，
，
（同圆或等圆中，同弧所对的圆周角相等）．
故答案为：同圆中的半径相等同圆或等圆中，同弧所对的圆周角相等．
【点评】本题考查了作图复杂作图，解决本题的关键是准确画图．
19．【分析】（1）令解方程即可求得和的横坐标，然后利用配方法即可求得对称轴和顶点坐标；
（2）首先求得的坐标，然后利用面积公式即可求解．
【解答】解：（1）令，则，
解得：，．
则的坐标是，的坐标是．
，
则对称轴是直线，顶点的坐标是；
（2）的坐标是．
，，
则四边形的面积是：．
【点评】本题考查了待定系数法求函数解析式以及配方法确定二次函数的对称轴和顶点坐标，正确求得和的坐标是关键．
20．【分析】（1）由题意可知：，，由于，所以，，所以，从而可证明
（2）由可知：，，从而可求出的度数．
【解答】解：（1）由题意可知：，，
，
，
，
，
在与中，

（2），，
，
由（1）可知：，
，
，

【点评】本题考查全等三角形的判定与性质，解题的关键是熟练运用旋转的性质以及全等三角形的判定与性质，本题属于中等题型．
21．【分析】（1）利用完全平方公式进行配方即可；
（2）先确定抛物线的顶点坐标、抛物线与坐标轴的交点坐标，然后描点即可；
（3）结合函数图象，写出当时的取值范围；
（4）根据二次函数的性质求解．
【解答】解：（1）；
（2）抛物线的对称轴为直线，顶点坐标为，
当时，，则抛物线与轴的交点坐标为；
当时，，解得，，则抛物线与轴的交点坐标为，，
如图，

（3）当时，的取值范围为；
（4）当时，随的增大而增大，当时，随的增大而减小，当时，函数有最小值．
【点评】本题考查了用待定系数法求二次函数的解析式：在利用待定系数法求二次函数关系式时，要根据题目给定的条件，选择恰当的方法设出关系式，从而代入数值求解．
22．【分析】利用待定系数法确定抛物线的解析式后求得与轴的交点即可确定本题的答案．
【解答】解：设抛物线的解析式为，
根据题意得：抛物线的顶点坐标为，
，
与轴交于点，
，
解得：，
解析式为，
令得：，
点的坐标为，
这名运动员起跳时的竖直高度为40米．
【点评】此题考查了二次函数的应用，解题的关键是将实际问题转化为数学问题，难度中等．
23．【分析】（1）根据切线的性质得到，求得，推出，求得，于是得到结论；
（2）连接，根根据垂径定理得到，根据三角函数的定义得到，根据切线的性质得到，，于是得到结论．
【解答】（1）证明：是的切线，
，
，
，，
，
，
，
是的切线；
（2）连接，
，，
，
，
，
，是的切线，
，，
，
，

【点评】本题考查了切线的判定和性质，圆周角定理，直角三角形，正确的作出辅助线是解题的关键．
24．【分析】（1）测量即可；
（2）通过描点，画出如下图象；
（3）分、两种情况，分别求解即可．
【解答】解：（1）经测量：；
（2）通过描点，画出如下图象；

（3）①当时，
即：，
从图象可以看出：；
②当时，
画出函数：的图象，
图象与的交点处的为2.3；
故：答案为4.2或2.3．
【点评】本题为圆的综合题，主要是研究函数随自变量的变化而变化的规律，此类题目，主要通过画出函数图象，根据题设条件，找出图象对应的点的值即可．
25．【分析】（1）有题意即可求解；
（2）由讨论中的第二种情况，可得：，且时，，即可求解．
【解答】解：（1）有题意得：①答案为：方程有两个异号的实数根；
②答案如图所示；
③答案为：，△，，；
（2）由讨论中的第二种情况，可得：，且时，，
即且，
解得：．
【点评】本题考查的是二次函数综合运用，主要考查的是函数的基本性质，关键在于理解题意，按照题设的思路和逻辑求解即可．
26．【分析】（1）由对称轴公式直接可求；
（2）①由函数的对称性可知，点在图形上，则点在上；②画出图象，可知线段与图形的公共点有三个；
（3）与轴的交点在轴的正半轴上，当在上时，，此时时解得，，此时与线段有两个不同的交点；当，即，△时，此时与线段有一个交点，则可确定在这两种情况之间时，与线段有两个不同的交点．
【解答】解：（1）的对称轴为；
（2）当时，，
①点在图形上，则点在上，
，
；
②画出图象，可知线段与图形的公共点有三个；
（3）抛物线的左侧沿轴翻折后的解析式为，
，
，
与轴的交点在轴的正半轴上，
如图1：当在上时，，
此时时，
解得，，
与线段有两个不同的交点，
如图2：当，即，
△时，
，
此时与线段有一个交点，
时线段与图形恰有两个公共点．

【点评】本题考查二次函数的图象及性质；熟练掌握二次函数的图象及性质，数形结合解题是关键．
27．【分析】（1）①由旋转知，，，再用等角的余角相等，判断出，即可得出结论；
②构造出，进而判断出是等腰直角三角形，即可得出结论；
（2）①根据题意直接画出图形，
②同（1）①的方法构造出，，得出，，即可得出结论．
【解答】解（1）①由旋转知，，，
，
，
，
，
，
；
②如图1，
过点作交于，
，
由旋转知，，，，
，
，
，
，
，
；
（2）①如图2所示，
②．
过点作交于，
，
由旋转知，，，
，
，
，
，
，，
，
，
，
，
，
即：．

【点评】此题是几何变换综合题，主要考查了旋转的性质，全等三角形的判定和性质，等角的余角相等，等腰直角三角形的判定和性质，构造出全等三角形是解本题的关键．
28．【分析】（1）由相邻点的定义可知：在圆内的点必为相邻点，在圆外的点必须满足，，其中为的中点，且，所以若半径为1的圆有相邻点，则的长必须满足且，分别求出、、到的距离即可判断．求出直线与坐标轴的交点坐标分别为和，根据（1）问中结论可知，的横坐标的取值范围是：；
（2）根据（1）问中可知：且，又因为点在线段上移动，所以点在以点为圆心，半径为3的圆内，且不能在以点为圆心，半径为1的圆上，再根据点在轴上，即可得出的横坐标取值范围．
【解答】解：（1）由定义可知，
当点在内时，
由垂径定理可知，点必为的相邻点，
此时，；
当点在外时，
设点是的中点，
连接交于点，
延长交于点，
连接，，
，
，
，
，
，
，
，
点是的中点，
，
又的半径为1，
，
，
又是的弦，
，
，
，
，
，
点在外，
，
，
当点在上时，
此时，但不符合题意，
综上所述，半径为1的，当点与圆心的距离满足：，且时，点为的相邻点；
①，，
，
，
，
，
，
和是的相邻点；
②连接，过点作的垂线交于、两点；
③令代入，
，
令代入，
，
与坐标轴的交点为和
由于点在直线上，且点是的相邻点，
，且
又点在外，
，
的横坐标范围为：；
（2）令代入，
，
，，
令代入，
，
，
点是半径为1的的相邻点，
且，
点在以点为圆心，半径为3的圆内，且不能在以点为圆心，半径为1的圆上，
点在轴上，
点的横坐标范围的取值范围：．

【点评】本题考查圆的综合问题，解题关键是根据相邻点的定义，得出点与圆心的距离范围，本题涉及相似三角形的性质与判定，圆的性质等知识，综合程度较高，需要学生认真理解题意．
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