备战2023年高考数学一轮复习-第6节-对数与对数函数.docx

第6节　对数与对数函数

1.理解对数的概念和运算性质,知道用换底公式能将一般对数转化成自然对数或常用对数.
2.通过具体实例,了解对数函数的概念.能用描点法或借助计算工具画出具体对数函数的图象,探索并了解对数函数的单调性与特殊点.
3.知道对数函数y=logax与指数函数y=ax互为反函数(a>0,且a≠1).

1.对数
概念
一般地,如果ax=N(a>0,且a≠1),那么数x叫做以a为底N的　　　,记作x=logaN,其中a叫做对数的底数,N叫做真数 
性质
对数式与指数式的互化:ax=N⇔　　　　　　, 
loga1=0,logaa=1,alogaN=　　 
运算
法则
loga(MN)=　　　　　　　　 
a>0,且a≠1,
M>0,N>0
logaMN=　　　　　　　　 
logaMn=　　　　　　(n∈R) 
换底
公式
logab=logcblogca(a>0,且a≠1;b>0;c>0,且c≠1)
2.对数函数的图象与性质

a>1
0<a<1
图象

性质
定义域为　　　 
值域为R
过定点　　　,即x=1时,y=0 
当x>1时,　　　; 
当0<x<1时,　　 
当x>1时,　　　; 
当0<x<1时,　　 
在区间(0,+∞)上是
　　　函数 
在区间(0,+∞)上是　　　函数 
3.指数函数与对数函数的关系
一般地,指数函数y=ax(a>0,且a≠1)与对数函数y=logax(a>0,且a≠1)互为反函数,它们的定义域与值域正好　　　,图象关于直线　　　对称. 

1.换底公式及其推论
(1)logab·logba=1,即logab=1logba(a,b均大于0且不等于1);
(2)logambn=nmlogab;
(3)logab·logbc·logcd=logad.
2.对数函数的图象与底数大小的比较
如图,作直线y=1,则该直线与四个函数图象交点的横坐标为相应的
底数,

故0<c<d<1<a<b.由此我们可得到以下规律:在第一象限内从左到右底数逐渐增大.

1.log63·log96等于(　　)
A.13 B.3
C.2 D.12
2.(必修第一册P131练习T1改编)函数f(x)=ln(x-1)的定义域是(　　)
A.(1,+∞) B.(2,+∞)
C.[1,+∞) D.[2,+∞)
3.已知函数f(x)=2x的图象与函数y=g(x)的图象关于直线y=x对称,则g(12)的值为(　　)
A.-1 B.1 C.12 D.2
4.(必修第一册P127习题T3改编)化简2lg 5+lg 4-5log52的结果为(　　)
A.0 B.2 C.4 D.6
5.若函数y=f(x)是定义在(0,+∞)上的增函数,且满足f(xy)=f(x)+ f(y),请写出一个满足条件的函数解析式:　　　　. 

对数式的化简与求值
1.(2020·全国Ⅰ卷)设alog34=2,则4-a等于(　　)
A.116 B.19
C.18 D.16
2.若2a=3b=6,则1a+1b等于(　　)
A.2 B.3
C.12 D.1
3.设a=log36,b=log520,则log215等于(　　)
A.a+b-3(a-1)(b-1) B.a+b-2(a-1)(b-1)
C.a+2b-3(a-1)(b-1) D.2a+b-3(a-1)(b-1)
4.计算:(1-log63)2+log62·log618log64=　　　　. 

1.利用对数的运算性质化简对数式主要有以下两种方法:
一是“正向”利用对数的运算法则,把各对数分成更为基本的一系列对数的代数和;二是“逆向”运用对数运算法则,把同底的各对数合并成一个对数.
2.利用已知对数式表示不同底数的对数式时,可以将待求式中的底数利用换底公式化为已知对数式的底数表示.
对数函数的图象及应用
角度一　对数函数的图象
在同一平面直角坐标系中,函数y=1ax,y=loga(x+12)(a>0,且a≠1)的图象可能是(　　)

1.求解形如y=loga(x±b)型对数函数的图象问题,首先应明确基本的对数函数的图象(即明确当a>1时与0<a<1时两种对数函数y=logax的图象),在此基础上研究由其复合而成的函数的图象.
2.在识别函数图象时,要善于利用已知函数的性质、函数图象上的特殊点(与坐标轴的交点、最高点、最低点等)排除不符合要求的选项.
角度二　解析式中含绝对值的对数型函数图象
函数y=ln(2-|x|)的大致图象为(　　)

研究对数型函数图象的思路
研究对数型函数的图象时,一般从最基本的对数函数的图象入手,通过平移、伸缩、对称变换得到.特别地,要注意底数a>1或0<a<1这两种不同的情况.
角度三　对数函数图象的应用
已知函数f(x)=x2-logmx在(0,12)上恒有f(x)<0成立,则实数m的取值范围为　　　　. 

求解与对数型方程、不等式有关的恒成立问题,常转化为相应的函数图象问题,利用数形结合法求解.
[针对训练]
1.当0<a<1时,在同一平面直角坐标系中,函数y=a-x与y=logax的图象是(　　)

2.函数y=|log2x|的图象是(　　)

3.当0<x≤14时,若x<logax,则实数a的取值范围是　　　　. 
对数函数的性质及其应用
角度一　利用对数函数的单调性比较大小
(1)已知a=log36,b=log510,c=log714,则a,b,c的大小关系为(　　)
A.a<b<c B.c<b<a
C.c<a<b D.b<c<a
(2)已知a=log2e,b=ln 2,c=log1213,则a,b,c的大小关系为(　　)
A.a>b>c B.b>a>c
C.c>b>a D.c>a>b

比较对数式大小的类型及相应的方法
(1)若底数为同一常数,则可由对数函数的单调性直接进行判断;若底数为同一字母,则需对底数进行分类讨论.
(2)若底数不同,真数相同,则可以先用换底公式化为同底后,再进行比较,或利用图象数形结合求解.
(3)若底数与真数都不同,则常借助1,0等中间量进行比较.
(4)若不能够使用以上三种方法比较大小,则需要将已知的对数式变形或利用对数的运算性质确定对数值的取值范围,或利用作差(或作商)比较法以及利用结论logn+1(n+2)<logn(n+1)(n∈N*)比较大小等.
角度二　简单对数不等式的解法
已知函数f(x)=log2(2-x)-log2(2+x),则不等式f(x)>1的解集为　　　　. 

简单对数不等式问题的求解策略
(1)解决简单的对数不等式,应先利用对数的运算性质化为同底数的对数值,再利用对数函数的单调性转化为一般不等式求解.求解时不要忘记对数函数的定义域.
(2)对数函数的单调性和底数a的值有关,在研究对数函数的单调性时,要按0<a<1和a>1进行分类讨论.
角度三　对数型复合函数的定义域与值域
若函数f(x)=lg(ax2-2x+a)的值域为R,则实数a的取值范围为(　　)
A.(-1,0) B.(0,1) C.[0,1] D.(1,+∞)

对数型复合函数的定义域与值域的求解策略:
函数y=logaf(x)的值域是R,这说明函数y=f(x)可以取遍所有大于0的数,而函数y=logaf(x)的定义域是R,则说明f(x)>0在R上恒成立.
[针对训练]
1.已知x=lg 2,y=ln 3,z=log23,则(　　)
A.x<z<y B.z<y<x
C.x<y<z D.z<x<y
2.设函数f(x)=a·ex-1(a为常数),且f(-1)=2e2
且g(x)=f(x),x<2,log3(x-1),x≥2,则不等式g(x)<2的解集为　　　　　　.
3.已知函数f(x)=log2(x2-2ax+3).若函数f(x)的定义域为R,则实数a的取值范围是　　　　;若函数f(x)的值域为R,则实数a的取值范围是　　　　. 
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