课时作业-第2节-常用逻辑用语.docx

第2节　常用逻辑用语

知识点、方法
基础巩固练
综合运用练
应用创
新练
全称量词命题与存在量词命题
1,6,7,9
14,15

充分、必要条件的判断
2,3,4,5
12

充分、必要条件的探求与应用
8,10
11,13
16

1.全称量词命题“对于任意正奇数n,所有不大于n的正奇数的和都是(n+12)2”的否定为(　C　)
A.对于任意正奇数n,所有不大于n的正奇数的和都不是(n+12)2
B.对于任意正奇数n,所有不大于n的正奇数的和都大于(n+12)2
C.存在正奇数n,使得所有不大于n的正奇数的和不是(n+12)2
D.存在正奇数n,使得所有不大于n的正奇数的和是(n+12)2
解析:由于全称量词命题的否定是存在量词命题,故该命题的否定为:存在正奇数n,使得所有不大于n的正奇数的和不是(n+12)2.故选C.
2.(2021·湖南长沙长郡中学高三模拟)在△ABC中,“sin A=12”是“A=π6”的(　C　)
A.充要条件
B.充分不必要条件
C.必要不充分条件
D.既不充分也不必要条件
解析:在△ABC中,若sin A=12,则A=π6或5π6,因为{π6,5π6}{π6},因此,“sin A=12”是“A=π6”的必要不充分条件.故选C.
3.(2021·江苏南通高三三模)1943年年仅19岁的曹火星在晋察冀边区创作了歌曲《没有共产党就没有中国》,毛主席得知后感觉歌名的逻辑上有点问题,遂提出修改意见,将歌名改成《没有共产党就没有新中国》,2021年恰好是建党100周年,请问“没有共产党”是“没有新中国”的　　　　条件.(　A　) 
A.充分 B.必要
C.充要 D.既不充分也不必要
解析:记条件p:“没有共产党”,条件q:“没有新中国”,由歌词知,p可推出q,故“没有共产党”是“没有新中国”的充分条件.故选A.
4.(2021·浙江台州高三二模)若x,y∈R,则“x<|y|”是“x2<y2”的(　B　)
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件
解析:当x<0,且|x|>|y|时,x2<y2不成立,所以是不充分条件;
当x2<y2时,即|x|<|y|,则必有x<|y|,所以是必要条件.故选B.
5.(2021·陕西咸阳高三三模)已知p:a,b,c成等比数列,q:b2=ac,则p是q的(　A　)
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件
解析:当a,b,c成等比数列时,能推出b2=ac,而b2=ac不能推出a,b,c成等比数列,如a=b=c=0,满足b2=ac,但a,b,c不成等比数列,所以p是q的充分不必要条件.故选A.
6.(多选题)下列说法正确的是(　BCD　)
A.命题“所有的四边形都是矩形”是存在量词命题
B.命题“∀x∈R,x2+2<0”是全称量词命题
C.命题“∃x∈R,x2+4x+4≤0”是存在量词命题
D.命题“实数的平方都是正数”的否定是存在量词命题,且是真命题
解析:A中命题“所有的四边形都是矩形”是全称量词命题,故A错误;
B中命题“∀x∈R,x2+2<0”是全称量词命题,故B正确;
C中命题“∃x∈R,x2+4x+4≤0”是存在量词命题,故C正确;
D中命题“实数的平方都是正数”就是“所有实数的平方都是正数”是一个全称量词命题,这是一个假命题,因此其否定是存在量词命题且是真命题,因此选项D正确.故选BCD.
7.(多选题)下列命题中的真命题是(　ABD　)
A.∃x∈R,lg x=0 B.∃x∈R,tan x=1
C.∀x∈R,x2>0 D.∀x∈R,3x>0
解析:当x=1时,lg 1=0,故A选项为真命题;当x=π4时,tan π4=1.故B选项为真命题.当x=0时,x2=0,不满足x2>0,故C选项为假命题.根据指数函数的性质知D选项为真命题.故选ABD.
8.(2021·安徽合肥高三二模)a2>b2的一个充要条件是(　C　)
A.a>b B.a>|b|
C.|a|>|b| D.1a>1b
解析:当a=2,b=-4时,a>b成立,但a2>b2不成立,所以A错误.
当a=-6,b=-4时,a2>b2成立,但a>|b|不成立,所以B错误.
a2>b2⇔|a|>|b|,所以C正确.
当a=2,b=-4时,1a>1b成立,但a2>b2不成立,所以D错误.故选C.
9.对每一个x1∈R,x2∈R,且x1<x2,都有x12<x22是　　　　(填“全称”或“存在”)量词命题,是　　　　(填“真”或“假”)命题. 
解析:由于含有全称量词“每一个”,因此是全称量词命题.令x1=-1,x2=0,则x12>x22,故此命题是假命题.
答案:全称　假
10.(2021·山东日照高三二模)若不等式(x-a)2<1成立的充分不必要条件是1<x<2,则实数a的取值范围是　　　　. 
解析:由(x-a)2<1得a-1<x<a+1,
因为1<x<2是不等式(x-a)2<1成立的充分不必要条件,
所以满足a-1≤1,a+1≥2,且等号不能同时取得,即a≤2,a≥1,解得1≤a≤2.
答案:[1,2]

11.(2021·辽宁名校高三交流卷)已知p:a∈D,q:∃x∈R,x2-ax-a≤-3,若p是q成立的必要不充分条件,则区间D可以为(　B　)
A.(-∞,-6]∪[2,+∞)
B.(-∞,-4)∪(0,+∞)
C.(-6,2)
D.[-4,0]
解析:命题q:∃x∈R,x2-ax-a≤-3,
则x2-ax-a+3≤0,
所以Δ=a2-4(-a+3)≥0,
解得a≤-6或a≥2,
又p是q成立的必要不充分条件,
所以(-∞,-6]∪[2,+∞)⫋D,
所以区间D可以为(-∞,-4)∪(0,+∞).故选B.
12.(2021·湖北武汉华中师大一附中高三联考)“m>0”是“∃x∈R, (m-1)x2+2(1-m)x+3≤0是假命题”的(　B　)
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
解析:由题意命题“∃x∈R,(m-1)x2+2(1-m)x+3≤0是假命题”,
可得命题“∀x∈R,(m-1)x2+2(1-m)x+3>0是真命题”.
当m-1=0,即m=1时,不等式3>0恒成立;
当m-1≠0,即m≠1时,
则满足 m-1>0,[2(1-m)]2-4(m-1)×3<0,
解得1<m<4.
综上可得1≤m<4.
即命题“∃x∈R,(m-1)x2+2(1-m)x+3≤0是假命题”时,实数m的取值范围是[1,4),又由“m>0”是“1≤m<4”的必要不充分条件,所以“m>0”是“∃x∈R,(m-1)x2+2(1-m)x+3≤0是假命题”的必要不充分条件.故选B.
13.(2021·河南开封高三一模)使得a>b>0成立的一个充分不必要条件是(　D　)
A.1b>1a B.ea>eb
C.ab>ba D.ln a>ln b>0
解析:若a<0,b>0,则满足1b>1a,但由1b>1a不能得出a>b>0,所以1b>1a不是a>b>0的充分不必要条件,故A错误;若ea>eb,则a>b,但不能得出a>b>0,所以ea>eb不是a>b>0的充分不必要条件,故B错误;若a=1,b=-1,则满足ab>ba,但不能由ab>ba得出a>b>0,所以ab>ba不是a>b>0的充分不必要条件,故C错误;由ln a>ln b>0可得ln a>ln b>ln 1,则a>b>1,能推出a>b>0,反之不能推出,所以ln a>ln b>0是a>b>0的充分不必要条件,故D正确.故选D.
14.(2021·云贵川桂四省高三联考)△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知a=3,b=5,设命题p:∃c∈N*,C为钝角,关于命题p有以下四个判断:
①p为真命题;
②﹁p为“∀c∈N*,C不是钝角”;
③p为假命题;
④﹁p为“∃c∈N*,C不是钝角”.
其中判断正确的序号是(　A　)
A.①② B.②③ C.③④ D.①④
解析:在△ABC中由C为钝角结合a=3,b=5,及余弦定理可知当c=6或7时cos C=a2+b2-c22ab<0,则p为真命题,故①正确,③错误;因为存在量词命题的否定是全称量词命题,所以﹁p为“∀c∈N*,C不是钝角”,故②正确,④错误.故选A.
15.已知命题p:∃x∈R,mx2+1≤0,命题q:∀x∈R,x2+mx+1>0.若命题p,q均为假命题,则实数m的取值范围为　　　　. 
解析:命题p:∃x∈R,mx2+1≤0为假命题,
所以m≥0,
命题q:∀x∈R,x2+mx+1>0,
所以Δ=m2-4<0,解得-2<m<2,
由于该命题为假命题,所以m≥2或m≤-2.
当p,q均为假命题时,故m≥0,m≥2或m≥0,m≤-2,整理得m≥2.
答案:[2,+∞)

16.若集合A={x|x>2},B={x|bx>1},其中b为实数.
(1)若A是B的充要条件,则b=　　　　; 
(2)若A是B的充分不必要条件,则b的取值范围是　　　　.(答案不唯一,写出一个即可) 
解析:(1)由已知可得A=B,则x=2是方程bx=1的解,且有b>0,解得b=12.
(2)若不等式bx>1对任意的x>2恒成立,则b>1x对任意的x>2恒成立,
当x>2时,1x∈(0,12),则b≥12.
因为A是B的充分不必要条件,故b的取值范围可以是(12,+∞)(答案不唯一).
答案:(1)12　(2)(12,+∞)(答案不唯一)