北京101中学2018-2019学年高一上学期期末考试数学试卷-Word版含解析.doc

北京101中学2018－2019学年上学期高一年级期末考试数学试卷

一、选择题共8小题。在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。
1.若sin=，0<<，则cos=（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】
由已知利用同角三角函数平方关系即可计算得解．
【详解】解：∵sinα，0＜α，
∴cosα．
故选：D．
【点睛】本题主要考查了同角三角函数基本关系式在三角函数化简求值中的应用，考查恒等变换能力，属于基础题．
2.集合M={Z}，N={Z}，则（ ）
A. MN B. NM C. MN= D. MN=R
【答案】A
【解析】
【分析】
对k分类讨论，明确集合M，N的范围，即可得到结果．
【详解】解：∵k∈Z；
∴k＝2n或2n+1，n∈Z；
∴；
又；
∴M⊆N．
故选：A．
【点睛】本题考查描述法表示集合的方法，集合间的关系及交并运算，属于基础题．
3.下列命题中正确的是（ ）
A. 共线向量都相等 B. 单位向量都相等
C. 平行向量不一定是共线向量 D. 模为0的向量与任意一个向量平行
【答案】D
【解析】
【分析】
根据平面向量的基本概念，对选项中的命题逐一进行判断即可．
【详解】解：对于A，共线向量大小不一定相等，方向不一定相同，A错误；
对于B，单位向量的模长相等，但方向不一定相同，B错误；
对于C，平行向量一定是共线向量，C错误；
对于D，模为0的向量是零向量，它与任意一个向量是平行向量，D正确．
故选：D．
【点睛】本题考查了平面向量的基本概念与应用问题，是基础题．
4.下列函数为奇函数，且在（－，0）上单调递减的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】
根据函数奇偶性和单调性的性质逐一进行判断即可．
【详解】解：A．f（x）＝是偶函数，不满足条件．
B．是奇函数，则（﹣∞，0）上是减函数，满足条件．
C．f（x）是非奇非偶函数，不满足条件．
D．f（x）是非奇非偶函数，不满足条件．
故选：B．
【点睛】本题主要考查常见函数奇偶性和单调性的判断，考查基本概念的理解，属于基础题．
5.已知函数（R，>0）的最小正周期为，为了得到函数的图象，只要将的图象（ ）
A. 向左平移个单位长度 B. 向右平移个单位长度
C. 向左平移个单位长度 D. 向右平移个单位长度
【答案】A
【解析】
试题分析：由的最小正周期是，得，即 ，因此它的图象可由的图象向左平移个单位得到．故选A．
考点：函数的图象与性质．
【名师点睛】三角函数图象变换方法：

【此处有视频，请去附件查看】

6.如图所示，函数（且）的图象是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
当 时，y=cosxtanx⩾0，排除B，D.
当 时，y=−cosxtanx<0，排除A.
本题选择C选项.

7.函数（>0）在区间[0，1]上至少出现10次最大值，则的最小值是（ ）
A. 10 B. 20 C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】
由题意利用正弦函数的图象和性质可得 9T1＜10T，即 9•1＜10•，由此求得ω的最小值．
【详解】解：函数y＝sinωx（ω＞0）在区间[0，1]上至少出现10次最大值，
∴9T1＜10T，即 9•1＜10•，求得ω＜20π，
故ω的最小值为，
故选：C．
【点睛】本题主要考查正弦函数的图象和性质，考查函数的周期性与最值，不等式的解法，属于中档题．
8.设偶函数在（－，0）上是增函数，则与的大小关系是（ ）
A. B. C. D. 不确定
【答案】C
【解析】
本题考查的是函数的单调性与奇偶性。因为为偶函数，所以，即，解得，。又递增，递减，所以。且在递减，所以应选C。
二、填空题共6小题。
9.求值：2 +=____________。
【答案】-3
【解析】
【分析】
利用对数、指数的性质和运算法则求解．
【详解】解：（）lg（1）lg1
[（）3]2+（）0
2+1
＝﹣3．
故答案为：﹣3．
【点睛】本题考查对数式、指数式的化简求值，是基础题，解题时要认真审题，注意对数、指数的性质、运算法则的合理运用．
10.已知向量a=（1，1），b=（sinx，），∈（0，），若a∥b，则x的值是_______。
【答案】
【解析】
【分析】
根据即可得出sinx+cosx＝0，解三角方程即可．
【详解】解：∵；
﹣cosx﹣sinx＝0；
∴tanx＝；
∵x∈（0，π）；
∴．
故答案为：．
【点睛】本题考查平行向量的坐标关系，同角基本关系式可，已知三角函数值求角．
11.若tan=3，则2 sin2－sincos－cos2=________。
【答案】
【解析】
【分析】
根据题意，巧用平方关系，利用商数关系将式子转化为关于tanθ式子，代入求值即可．
【详解】解：∵tanθ＝3，
∴2sin2θ﹣sinθcosθ﹣cos2θ

．
故答案为：．
【点睛】本题考查了同角三角函数的基本关系的灵活应用，即“齐次化切”在求值中的应用，是常考的题型，注意总结．
12.若函数=cos（x+）（∈N*）图象的一个对称中心是（，0），则的最小值为_________。
【答案】2
【解析】
试题分析：由题意得，，所以的最小值是.
考点：三角函数及其性质.
13.函数的值域是__________。
【答案】[0，]
【解析】
【分析】
根据根式的意义结合三角函数的图像与性质进行求解即可．
【详解】解：∵﹣1≤cosx≤1，要使函数有意义则sin（cosx）≥0，则0≤cosx≤1，
此时0≤sin（cosx）≤sin1，
则0，
即函数的值域为[0，]，
故答案为：[0，]．
【点睛】本题主要考查复合函数的值域的问题，利用三角函数的有界性是解决本题的关键．
14.已知点O为△ABC内一点，+2+3=0，则=_________。
【答案】3
【解析】
【分析】
可作出图形，取BC的中点D，AC的中点E，并连接OA，OB，OC，OD，OE，根据条件可以得到，从而得出DE为△ABC的中位线，这样即可得到AB＝3OE，从而便有．
【详解】解：如图，取BC中点D，AC中点E，连接OA，OB，OC，OD，OE；

∴；
∴D，O，E三点共线，即DE为△ABC的中位线；
∴DEOE，AB＝2DE；
∴AB＝3OE；
∴．
故答案为：3．
【点睛】本题考查向量加法的平行四边形法则，共线向量基本定理，以及向量的数乘运算，向量数乘的几何意义，三角形中位线的定义及性质，三角形的面积公式．
三、解答题共5小题。解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程。
15.计算：。
【答案】
【解析】
【分析】
由条件利用诱导公式与特殊角的三角函数值，可得要求式子的值．
【详解】解：由诱导公式可得：，，
，，
，
∴原式．
【点睛】本题主要考查诱导公式的应用，特殊角的三角函数值，属于基础题．
16.已知函数=+，其中a>0且a≠1。
（1）求函数的定义域；
（2）若函数有最小值而无最大值，求的单调增区间。
【答案】（1）；（2）[﹣1，1）.
【解析】
【分析】
（1）根据对数函数的成立的条件建立不等式关系即可求出函数的定义域；
（2）根据复合函数单调性的性质确定0＜a＜1，结合复合函数单调性的关系进行求解即可．
【详解】解：（1）要使函数有意义，则，得，得﹣3＜x＜1，
即函数的定义域为（﹣3，1），
（2）f（x）＝loga（1﹣x）+loga（x+3）＝loga（1﹣x）（x+3）＝loga（﹣x2﹣2x+3）
＝loga（﹣（x+1）2+4），
设t＝﹣（x+1）2+4，当﹣3＜x＜1时，0＜t≤4，
若函数f（x）有最小值而无最大值，则函数ylogat为减函数，则0＜a＜1，
要求f（x）的单调增区间，则等价于求t＝﹣（x+1）2+4，在﹣3＜x＜1时的减区间，
∵t＝﹣（x+1）2+4的单调递减区间为[﹣1，1），
∴f（x）的单调递减区间为[﹣1，1）．
【点睛】本题主要考查对数函数的性质，结合复合函数单调性的关系求出a的范围是解决本题的关键．
17.已知=，，函数是奇函数。
（1）求a，c的值；
（2）当x∈[－l，2]时，的最小值是1，求的解析式。
【答案】（1）；（2）或
【解析】
【分析】
（1）法一：化简h（x）＝g（x）+f（x）＝（a﹣1）x2+bx+c﹣3，由（a﹣1）x2﹣bx+c﹣3＝﹣（a﹣1）x2﹣bx﹣c+3对x∈R恒成立得到，从而求解，
法二：化简h（x）＝g（x）+f（x）＝（a﹣1）x2+bx+c﹣3，由奇函数可得a﹣1＝0，c﹣3＝0，从而求解；
（2）根据二次函数的性质，讨论对称轴所在的位置，从而确定f（x）的最小值在何时取得，从而求f（x）的解析式．
【详解】解：（1）（法一）：f（x）+g（x）＝（a﹣1）x2+bx+c﹣3，
又f（x）+g（x）为奇函数，
∴h（x）＝﹣h（﹣x），
∴（a﹣1）x2﹣bx+c﹣3＝﹣（a﹣1）x2﹣bx﹣c+3对x∈R恒成立，
∴，
解得；
（法二）：h（x）＝f（x）+g（x）＝（a﹣1）x2+bx+c﹣3，
∵h（x）为奇函数，
∴a﹣1＝0，c﹣3＝0，
∴a＝1，c＝3．
（2）f（x）＝x2+bx+3，其图象对称轴为，
当，即b≥2时，
f（x）min＝f（﹣1）＝4﹣b＝1，∴b＝3；
当，即﹣4≤b＜2时，
，
解得或（舍）；
当，即b＜﹣4时，
f（x）min＝f（2）＝7+2b＝1，∴b＝﹣3（舍），
∴f（x）＝x2+3x+3或∴．
【点睛】本题考查了函数的奇偶性的应用与及二次函数的最值的求法，属于基础题．
18.设函数=Asin（A>0，>0，<≤）在处取得最大值2，其图象与x轴的相邻两个交点的距离为。
（1）求的解析式；
（2）求函数 的值域。
【答案】（1）=2 sin（2x+）；（2） （，]
【解析】
【分析】
（1）先确定函数的周期，可得ω的值，利用函数f（x）＝Asin（ωx+φ）（其中A＞0，ω＞0，﹣π＜φ＜π）在x处取得最大值2，即可求得f（x）的解析式；
（2）由三角函数恒等变换的应用化简可得g（x），，由，即可求得函数g（x）的值域．
【详解】解：（1）由题意可得：f（x）max＝A＝2，，
于是，
故f（x）＝2sin（2x+φ），
由f（x）在处取得最大值2可得：（k∈Z），
又﹣π＜φ＜π，故，
因此f（x）的解析式为．
（2）由（1）可得：，
故

，，
令t＝cos2x，可知0≤t≤1且，
即，
从而，
因此，函数g（x）的值域为．
【点睛】本题主要考查了由y＝Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式，考查三角函数恒等变换的应用，函数的单调性，考查了转化思想和计算能力，正确求函数的解析式是关键，属于中档题．
19.已知函数的定义域为（0，+），若在（0，+）上为增函数，则称为“一阶比增函数”；若在（0，+）上为增函数，则称为”二阶比增函数”。我们把所有“一阶比增函数”组成的集合记为1，所有“二阶比增函数”组成的集合记为2。
（1）已知函数，若∈1，求实数的取值范围，并证明你的结论；
（2）已知0<a<b<c，∈1且的部分函数值由下表给出：

t
4

求证：；
（3）定义集合，且存在常数k，使得任取x∈（0，+），<k}，请问：是否存在常数M，使得任意的∈，任意的x∈（0，+），有<M成立?若存在，求出M的最小值；若不存在，说明理由。
【答案】（1）≤0；（2）见解析；（3）0
【解析】
【分析】
（1）根据：f（x）∈Ω1且f（x）∉Ω2，可得yx2﹣2hx﹣h，利用二次函数的单调性可得h≤0；由，y′＝x，对h分类讨论可得：当h≥0，此时f（x）∈Ω2；当h＜0时，，函数在x∈（0，+∞）有极值点，可得f（x）∉Ω2．即可得出．
（2）由f（x）∈Ω1，取0＜x1＜x2＜x1+x2，可得．由表格可知：f（a）＝d，f（b）＝d，f（c）＝t，f（a+b+c）＝4，0＜a＜b＜c＜a+b+c，利用“一阶比增函数”可得，再利用不等式的性质即可得出．
（3）根据“二阶比增函数”先证明f（x）≤0对x∈（0，+∞）成立．再证明f（x）＝0在（0，+∞）上无解．即可得出．
【详解】（1）解：yx2﹣2hx﹣h，若f（x）∈Ω1，则h≤0；
，y′＝x，当h≥0，x＞0时，y′＞0，此时f（x）∈Ω2，不符合题意，舍去；
当h＜0时，，此时函数在x∈（0，+∞）有极值点，因此f（x）∉Ω2．
综上可得：当h＜0时，f（x）∈Ω1且f（x）∉Ω2．
因此h的取值范围是（﹣∞，0）．
（2）因为∈，且0<a<b<c<a+b+c，
所以，所以，
同理可证，，
三式相加得，所以。
因为，所以，而0<a<b，所以d<0，所以。
（3）因为集合，且存在常数k，使得任取x∈（0，+），<k}，
所以 ∈，存在常数k，使得<k对x∈（0，+）成立。
我们先证明≤0对x∈（0，+）成立：假设 ∈（0，+），使得>0，记>0，
因为是二阶比增函数，即是增函数。所以当x>时，>，所以 ，
所以一定可以找到一个>，使得>>k，这与<k对∈（0，+）成立矛盾，
≤0对x∈（0，+）成立，所以 ∈，≤0对x∈（0，+）成立。
下面我们证明在（0，+）上无解：
假设存在>0，使得=0，则因为是二阶增函数，即是增函数，
一定存在>>0，>，这与上面证明的结果矛盾。所以在（0，+）上无解。
综上，我们得到 ∈，<0对∈（0，+）成立，
所以存在常数M≥0，使得 ∈，x∈（0，+），有M成立，
又令=（>0），则<0对x∈（0，+）成立，
又有在（0，+）上是增函数，所以，
而任取常数k<0，总可以找到一个>0，使得>时，有>k，所以M的最小值为0。
【点睛】本题考查了函数的单调性、导数的几何意义，掌握导数法在确定函数单调性和最值时的答题步骤是解答的关键，考查了推理能力与计算能力，属于难题．