2012-2021北京重点区高三(上)期末数学汇编：余弦定理.docx

2012-2021北京重点区高三（上）期末数学汇编
余弦定理
一、单选题
1．（2020·北京海淀·高三期末）已知等边ΔABC边长为3，点D在BC边上，且BD>CD，AD=7.下列结论中错误的是
A．BDCD=2 B．SΔABDSΔACD=2 C．cos∠BADcos∠CAD=2 D．sin∠BADsin∠CAD=2
2．（2014·北京西城·高三期末（理））在ΔABC中，a,b,c分别为角A,B,C的对边，若a=3,b=2,cos(A+B)=13,则c=
A．4 B．15 C．3 D．17
3．（2015·北京朝阳·高三期末（理））在ΔABC中，B=π4，则sinA⋅sinC的最大值是
A．1+24 B．34 C．22 D．2+24
二、填空题
4．（2018·北京海淀·高三期末（文））在△ABC中，a=1,b=7，且△ABC的面积为32，则c=________.
5．（2018·北京海淀·高三期末（文））ΔABC中， a=1,b=7,且ΔABC的面积为32，则c=________.
6．（2016·北京西城·高三期末（理））在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c．若A=B，a=3，c=2，则cosC=_______．
7．（2015·北京东城·高三期末（理））在△ABC中，a=3，b=13，B=60∘，则c=_______；△ABC的面积为_______．
三、双空题
8．（2016·北京东城·高三期末（文））在ΔABC中，角A,B,C所对边分别为a,b,c，且c=42，B=45∘，面积S=2，则a=_____；b=_____．
9．（2018·北京东城·高三期末（文））在△ABC中，a=5,c=7，cosC=15，则b=_____，△ABC的面积为____.
10．（2018·北京西城·高三期末（文））在△ABC中，a=3，∠C=2π3，△ABC的面积为334，则b=____；c=____．
11．（2012·北京西城·高三期末（理））在△中，三个内角，，的对边分别为，，．若，，，则____；____．
四、解答题
12．（2021·北京海淀·高三期末）若存在△ABC同时满足条件①、条件②、条件③、条件④中的三个，请选择一组这样的三个条件并解答下列问题：
（1）求∠A的大小；
（2）求cosB和a的值.
条件①：sinC=3314；
条件②：a=73c；
条件③：b−a=1；
条件④：bcosA=−52.
13．（2019·北京东城·高三期末（理））在ΔABC中，2csinAcosB=asinC.
（1）求∠B的大小；
（2）若ΔABC的面积为a2，求cosA的值．
14．（2019·北京朝阳·高三期末（理））在△ABC中，已知A=3π4,cosC=1213，BC=13.
（1）求AB的长；
（2）求BC边上的中线AD的长.
15．（2014·北京西城·高三期末（理））在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c．已知b2+c2=a2+bc．
（Ⅰ）求A的大小；
（Ⅱ）如果cosB=63,b=2，求a的值．
16．（2012·北京朝阳·高三期末（理））在锐角三角形ABC中，a,b,c分别为内角A,B,C所对的边，且满足3a−2bsinA=0.
（1）求角B的大小；
（2）若a+c=5，且a>c,b=7，求AB⋅AC的值.

参考答案
1．C
【解析】
利用余弦定理计算出BD，结合正弦定理等三角形知识可对各选项的正误进行判断.
【详解】
如下图所示：

∵点D在BC边上，且BD>CD，∴BD>12BC=32，
由余弦定理得AD2=AB2+BD2−2AB⋅BD⋅cosπ3，整理得BD2−3BD+2=0，
∵BD>32，解得BD=2，∴CD=1，则SΔABDSΔACD=BDCD=2，
由正弦定理得BDsin∠BAD=ADsinπ3=CDsin∠CAD，所以，sin∠BADsin∠CAD=BDCD=2.
由余弦定理得cos∠BAD=AB2+AD2−BD22AB⋅AD=277，同理可得cos∠CAD=5714，
则cos∠BADcos∠CAD=277⋅1457=45≠2.
故选：C.
【点睛】
本题考查三角形线段长、面积以及三角函数值比值的计算，涉及余弦定理以及正弦定理的应用，考查计算能力，属于中等题.
2．D
【详解】
分析：先化简cos(A+B)=13，再利用余弦定理求c的值.
详解：由题得−cosC=13,∴cosC=−13.
由余弦定理得c2=a2+b2−2abcosC=9+4−2×3×2×(−13)=17,
所以c=17.故答案为D.
点睛：本题主要考查三角诱导公式和余弦定理，意在考查学生对这些基础知识的掌握水平.
3．D
【详解】
试题分析：sinAsinC=sinAsin(π−A−B) =sinAsin(3π4−A) =sinA(22cosA+22sinA)
=24sin2A−24cos2A+24 =12sin(2A−π4)+24，∵0<A<3π4，∴−π4<2A−π4<5π4，
∴当2A−π4=π2时，sinAsinC取得最大值2+24.
考点：三角函数的最值.
4．2或23
【详解】
S∆ABC=12absinc=12×1×7×sinc=32
则sinc=217，cosc=±277
1当cosc=277时，c2=1+7−2×1×7×277=4，c=2
2当cosc=−277时，c2=1+7+2×1×7×277=12，c=23
5．2或23
【详解】
根据三角形面积公式得到S=12absinC=32,sinC=37,cosC=±27.
根据余弦定理得到c2=a2+b2−2abcosC，代入三角函数值得到c=2或23.
故答案为2或23．
6．79
【详解】
试题分析：∵A=B，a=3，c=2，可得：b=3，
∴cosC=a2+b2−c22ab=9+9−42×3×3=79．
故答案为79．
考点：余弦定理．
7．，
【详解】
由余弦定理，得，解得；由三角形的面积公式，得
.
考点：余弦定理、三角形的面积公式.
8．     1     5．
【分析】
利用三角形面积公式可构造方程求得a；利用余弦定理可求得b.
【详解】
由S=12acsinB=22asin45∘=2a=2得：a=1.
由余弦定理得：b2=a2+c2−2accosB=1+32−82cos45∘=33−8=25，
解得：b=5.
故答案为：1；5.
【点睛】
本题考查余弦定理解三角形和三角形面积公式的应用问题，考查公式的应用，属于基础题.
9．     6     66
【详解】
a=5,c=7，cosC=15，15=a2+b2−c22ab=25+b2−4910b∴b=6或b=−4（舍），由cosC=15可得sinC=265,S△ABC=12absinC=12×5×6×265=66.
故答案为b=6, △ABC的面积为66.
点睛：本题主要是熟练掌握余弦定理的应用，已知一角及两边求第三边；三角形面积公式是12乘以两边长及夹角的正弦值.
10．     1      13
【详解】
因为△ABC的面积为334，所以12absinC=12×3×bsin2π3=334⇒b=1 ，由余弦定理可得c2=a2+b2−2abcosC=9+1−2×3×1×12=13⇒c=13 ，故答案为1,13 .
【思路点睛】本题主要考查余弦定理、特殊角的三角函数以及三角形面积公式的应用，属于中档题. 对余弦定理一定要熟记两种形式：（1）a2=b2+c2−2bccosA；（2）cosA=b2+c2−a22bc，同时还要熟练掌握运用两种形式的条件.另外，在解与三角形、三角函数有关的问题时，还需要记住30o,45o,60o等特殊角的三角函数值，以便在解题中直接应用.
11．，；
【详解】
分析：由sinC=55⇒cosC,再由诱导公式和两角的和差公式的正弦公式打开，结合已知条件代入cosC即可得出sinA;由正弦定理代入数据即可得出c，a的值.
详解：由题可得：cosC=±255，sinA=sin（B+C）=sinBcosC+cosBsinC=1010+22cosC，当cosC=255时，sinA=31010,当cosC=-255时，sinA=−1010（舍），由正弦定理可得：a31010=25sinA=c55⇒c=22,a=6.
点睛：本题给出三角形的两个角和其中一边，求另一角的对边并由此求出第三边，着重考察了利用正余弦定理解三角形的知识.
12．选择①②③（1）∠A=π3；（2）cosB= −17；a=7；选择①②④（1）∠A=2π3；（2）cosB= 1114；a=7.
【解析】
选择①②③
（1）根据a=73c，sinC=3314，利用正弦定理得到sinA=32，再结合b−a=1，得到0<∠A<π2求解.
（2）结合（1）由a=73c，利用正弦定理得到sinC=3314，然后由cosB=cosπ−A+C=−cosA+C求解，再利用正弦定理得到7b=8a，然后结合b−a=1求解.
选择①②④
（1）根据a=73c，sinC=3314，利用正弦定理得到sinA=32，再由bcosA=−52，得到π2<∠A<π求解.
（2）由a=73c，利用正弦定理得到sinC=3314，由cosB=cosπ−A+C=−cosA+C求解；再结合bcosA=−52求得b，然后利用正弦定理求解.
【详解】
选择①②③
（1）因为a=73c，sinC=3314，
由正弦定理得sinA=acsinC=32.
因为b−a=1，所以a<b.
所以0<∠A<π2.所以∠A=π3.
（2）在△ABC中，a=73c，所以a>c.
所以0<∠C<π2.
因为sinC=3314，所以cosC=1−sin2C=1314.
所以cosB=cosπ−A+C=−cosA+C
=sinAsinC−cosAcosC
=32×3314−12×1314=−17.
所以sinB=1−cos2B=437.
由正弦定理得437b=32a，即7b=8a.
因为b−a=1，所以a=7.
选择①②④
（1）因为a=73c，sinC=3314，
由正弦定理得sinA=acsinC=32.
在△ABC中，bcosA=−52，
所以π2<∠A<π.
所以∠A=2π3.
（2）在△ABC中，a=73c，所以a>c.
所以0<∠C<π2.
因为sinC=3314，所以cosC=1−sin2C=1314.
所以cosB=cosπ−A+C=−cosA+C
=sinAsinC−cosAcosC
=32×3314+12×1314=1114.
所以sinB=1−cos2B=5314.
因为bcosA=−52，所以b=−52−12=5.
由正弦定理得a=sinAsinB⋅b=325314×5=7.
【点睛】
方法点睛：(1)在解有关三角形的题目时，要有意识地考虑用哪个定理更适合，或是两个定理都要用，要抓住能够利用某个定理的信息，一般地，如果式子中含有角的余弦或边的二次式，要考虑用余弦定理；如果遇到的式子中含有角的正弦或边的一次式时，则考虑用正弦定理；以上特征都不明显时，则要考虑两个定理都有可能用到．(2)解题中注意三角形内角和定理的应用及角的范围限制．
13．（1）π4；（2）31010．
【分析】
（1）在ΔABC中，由正弦定理可得csinA=asinC，则cosB=asinC2csinA=22，结合0<∠B<π ，可求B 的值；（2）利用三角形的面积公式可得c=22a，根据余弦定理可得b=5a，再由余弦定理可求cosA的值.
【详解】
（1）在ΔABC中，由正弦定理可得csinA=asinC，∴cosB=asinC2csinA=22，
又0<∠B<π，∴∠B=π4．
（2）∵ΔABC的面积为a2=12acsinπ4，∴c=22a，
由余弦定理得b2=a2+8a2−2⋅a⋅22a⋅22，∴b=5a.∴cosA=5a2+8a2−a22⋅5a⋅22a=31010.
【点睛】
本题主要考查了正弦定理、余弦定理的应用，三角形面积公式的应用，属于基础题. 对余弦定理一定要熟记两种形式：（1）a2=b2+c2−2bccosA；（2）cosA=b2+c2−a22bc，在解与三角形、三角函数有关的问题时，还需要记住30o,45o,60o等特殊角的三角函数值，以便在解题中直接应用.
14．（1）52（2）AD=292
【分析】
(1)利用同角关系得到sinC，结合正弦定理即可得到AB的长；
（2）在△ABD中求出cosB，结合余弦定理即可得到BC边上的中线AD的长.
【详解】
解：（1）由cosC=1213，0<C<π2，所以sinC=513.
由正弦定理得，ABsinC=BCsinA，即AB=BC⋅sinCsinA=13×51322=52.   
（2）在△ABD中，cosB=cos(π−3π4−C)=22cosC+22sinC=17226.
由余弦定理得，AD2=AB2+BD2−2AB⋅BDcosB,
所以AD2 =(52)2+1694−2×52×132×17226=294.
所以AD=292.
【点睛】
本题考查正余弦定理的应用，考查推理及运算能力，属于中档题.
15．（1）π3；（2）3.
【详解】
试题分析：（1）先根据条件b2+c2=a2+bc结合余弦定理求出cosA的值，从而求出A的大小；（2）先利用同角三角函数的基本关系结合角A的范围求出sinA的值，最后利用正弦定理求解a的值.
试题解析：（1）因为b2+c2=a2+bc，
所以cosA=b2+c2−a22bc=12，
又因为A∈(0,π)，
所以A=π3.
（2）解：因为cosB=63，B∈(0,π)，
所以sinB=1−cos2B=33，
由正弦定理asinA=bsinB，
得.
考点：1.正弦定理与余弦定理；2.同角三角函数的基本关系
16．解：（Ⅰ）因为3a−2bsinA=0，
所以3sinA−2sinBsinA=0， ……………………………………………… 2分
因为sinA≠0，所以. …………………………………………………3分
又B为锐角，则B=π3. …………………………………………… 5分
（Ⅱ）由（Ⅰ）可知，B=π3．因为b=7，
根据余弦定理，得7=a2+c2−2accosπ3，………………………………………7分
整理，得(a+c)2−3ac=7．
由已知a+c=5，则ac=6．
又a>c，可得a=3，c=2． ……………………………………… 9分
于是cosA=b2+c2−a22bc=7+4−947=714， ………………………… 11分
所以AB·AC=|AB|·|AC|cosA=cbcosA=2×7×714=1． …………… 13分
【详解】
试题分析：（1）由正弦定理可得3sinA−2sinBsinA=0，即sinB=32，则角B可求；
（2））由（1）知，B=π3，由余弦定理可得a=3,c=2，进而求得cosA则AB⋅AC的值可求
试题解析：（1）因为3a−2bsinA=0，所以3sinA−2sinBsinA=0，因为sinA≠0，
所以sinB=32，又B为锐角，则B=π3.
（2）由（1）知，B=π3，因为b=7，根据余弦定理得：7=a2+c2−2accosπ3，整理，得(a+c)2−3ac=7，由已知a+c=5，则ac=6，又a>c，可得a=3,c=2，于是cosA=b2+c2−a22bc=7+4−947=714，
所以AB⋅AC=ABACcosA=2×7×714=1.
考点：平面向量的数量积，正弦定理；余弦定理

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