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单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,本资料仅供参考，不能作为科学依据。谢谢。本资料仅供参考，不能作为科学依据。感谢,1.4 离散时间系统与差分方程,T,离散时间系统,x(n)y(n),一个离散时间系统在数学上定义是将输入序列x(n)映射成输出序列y(n)唯一性变换或运算。它输入是一个序列，输出也是一个序列，其,本质是将输入序列转变成输出序列一个运算。,y(n)=Tx(n),对T加以种种约束,可定义出各类离散时间系统。离散时间系统中最主要、最惯用是“线性、时不变系统”。,T.,1/35,1.线性系统（满足迭加原理系统）,若系统输入为x,1,（n）和x,2,（n）时，输出分别为y,1,（n）和y,2,（n），,即 y,1,（n）=Tx,1,（n），y,2,（n）=Tx,2,（n）,假如系统输入为ax,1,（n）+bx,2,（n）时，输出为ay,1,（n）+by,2,（n），,其中a，b为任意常数，则该系统为线性系统。所以，线性系统条件为,Tax,1,（n）+bx,2,（n）=aTx,1,（n）+bTx,2,（n）,=ay,1,（n）+by,2,（n）,线性系统对信号处理可应用迭加定理。,2/35,例:,设一系统输入输出关系为,y,n,=,x,2,n,试判断系统是否为线性？,解：输入信号,x,n,产生输出信号,T,x,n,为,T,x,n,=,x,2,n,输入信号,ax,n,产生输出信号,T,ax,n,为,T,ax,n,=,a,2,x,2,n,除了,a,=,0,1,情况，,T,ax,n,aT,x,n,。,故系统不满足线性系统定义，所以系统是非线性系统。,3/35,2.时不变系统,假如 Tx(n)=y(n)，,则 Tx(n-n,0,)=y(n-n,0,),（n,0,为任意整数）,即系统特征不随时间而改变。,线性时不变系统简称为：LTI,例：若系统输入输出关系为：y(n)=nx(n),试判断系统是否为时不变系统？,4/35,3.线性时不变系统,线性时不变系统既满足迭加原理又含有时不变性系统。线性时不变系统能够用单位脉冲响应来表示。,我们知道，任一序列都可表示成各延时单位脉冲序列加权和,如令h（n）为系统对单位脉冲序列响应，,h（n）=T（n）,则系统对任一输入序列x（n）响应为,因为系统是线性，满足迭加定理,5/35,又因为系统是时不变，对移位单位脉冲响应等于单位脉冲响应移位。,注：只有线性时不变系统才能由单位脉冲响应来表示,所以,该式表明：对任何线性时不变系统，可完全经过其单位脉冲响应,h,（,n,）来表示。这个公式和模拟系统卷积是类似，称为离散卷积，或线性卷积。,卷积过程,：,对,h,（,m,）绕纵轴折叠，得,h,（-,m,）；,对,h,（-,m,）移位得,h,（,n-m,）；,将,x,(,m,)和,h,(,n-m,)全部对应项相乘之后相加，得离散卷积结果,y,（,n,）。,6/35,7/35,令m=n-m，做变量代换，则卷积公式变为,所以，x(m)与h(n-m)位置可对调。（即输入为x(n)、单位脉冲响应为h(n)线性时不变系统与输入为h(n)、单位脉冲响应为x(n)线性时不变系统含有一样输出）,离散卷积也称为“线性卷积”或“直接卷积”，以区分其它种类卷积。,(试验演示！),8/35,4,、系统稳定性与因果性,线性和时不变两个约束条件定义了一类可用卷积和表示系统。稳定性和因果性也是很主要限制。,稳定系统：对于每一个有界输入产生一个有界输出系统为稳定系统。,当且仅当,(充要条件),时，该线性时不变系统是稳定。,9/35,因果系统：系统输出,y,(n)只取决于当前以及过去输入,即,x,(,n,),x,(,n,-1)，,x,(,n-,2),。,非因果系统：假如系统输出y(n)取决于x(n+1)，x(n+2)，即系统输出取决于未来输入，则是非因果系统，也即不现实系统，（不可实现）,因果系统充要条件：h(n)0，n0（可从y(n)=x(n)*h(n)导出）,10/35,例：分析单位脉冲响应为h（n）=,a,n,u,（,n,）线性时不变系统因果性和稳定性。,既然，n0时，h（n）=0，系统是因果,假如|,a,|1,则,如|,a,|1,则s ，级数发散。,故系统仅在|,a,|1时才是稳定。,11/35,稳定因果系统：既满足稳定性又满足因果性系统。这种系统单位脉冲响应既是单边，又是绝对可积，即,这种稳定因果系统既是可实现又是稳定工作，这种系统是最主要系统。,12/35,5,差分方程描述系统,输入输出之间运算关系,一个线性连续时间系统总能够用线性微分方程来表示。而对于离散时间系统，因为其变量,n,是离散整型变量，故只能用差分方程来反应其输入输出序列之间运算关系。,其N阶线性常系数差分方程普通形式：,其中,a,i,、,b,i,都是常数。,离散系统差分方程表示法有两个主要用途：,由差分方程得到系统结构；,求解系统瞬态响应；,13/35,例：用途一，由一阶差分方程画网络结构,y,(,n,)=,ay,(,n,-1)+,x,(,n,),由此得到它网络结构如图,T,a,网络结构,14/35,用途二,在给定输入和给定初始条件下，用递推方法求系统瞬态解,例，一阶差分方程系统：,其输入为,解：初始条件为 y（n）=0，n0，y（n）=0,将上述差分方程,改写成 y（n-1）=2 y（n）-1.5x（n）,此时 y（0）=2 y（1）-1.5x(1)=0,依这类推，得到,非因果、不稳定系统,、两式所表示两个不一样单位脉冲响应，虽满足同一差分方程，但因为初始条件不一样，它们代表不一样系统，也即用差分方程描述系统时，只有附加必要制约条件，才能唯一地确定一个系统输入和输出关系。,16/35,17/35,18/35,0,5,10,15,20,25,30,35,40,-1,-0.5,0,0.5,1,1.5,n,幅度,用MATLAB计算差分方程输出,19/35,1.5 系统频率响应与系统函数,一、,定义,在上一节中曾讨论过用单位脉冲响应,h,(,n,)来表示一个线性时不变离散系统，,y,（,n,）=,x,（,n,）*,h,（,n,）,两边取z变换,Y,(,z,)=,X,(,z,),H,(,z,),20/35,则,定义为系统函数,1）它 是单位脉冲响应z变换。所以能够用单位脉冲响应z变换来描述线性时不变离散系统。,2）单 位圆上系统函数就是系统频率响应,能够证实，它是单位脉冲响应,h,(,n,)DTFT,。,21/35,因果系统：,单位脉冲响应 h（n）是因果序列系统，其系统函数H(z)收敛域包含点，即,Rx-|Z|,稳定系统：,单位脉冲响应,h,（,n,）满足绝对可和系统即,稳定系统H（z）必在单位圆上收敛，即 存在。,二、,几个惯用系统,22/35,因果稳定系统：,最普遍最主要一个系统，其系统函数 H（z）在从单位圆到整个区域收敛。,即 1Z|,H（z）,全部极点必在单位圆以内。,23/35,三、,差分方程与系统函数,线性时不变离散系统也可用差分方程表示，考虑N阶差分方程,两两边取z变换：,24/35,于是,上式也可用因子形式来表示,式中,c,i,、,d,i,是H（z）在z平面上零点和极点，A为百分比常数。,整个系统函数能够由它全部零、极点来唯一确定。,25/35,用极点和零点表示系统函数优点是，它提供了一个有效求系统频率响应几何方法。,一个 N 阶系统函数可用它零极点表示为,系统频响为,:,26/35,在z平面上,e,j,-c,i,可用一根由零点c,i,指向单位圆上e,j,点向量 来表示，而e,j,-d,i,可用极点d,i,指向e,j,向量 表示,于是,令,分析上式表明，频响模函数由从各零、极点指向e,j,点向量幅度来确定，而频响相位函数则由这些向量幅角来确定，当频率由02时，这些向量终点沿单位圆反时针方向旋转一圈，由此可估算出整个系统频响。,27/35,其基本原理是，当单位圆上 e,j,点在极点 d,i,附近时，分母向量最短，出现极小值，频响在这附近可能出现峰值，且极点 d,i,越靠近单位圆，极小值越小，频响出现峰值越尖锐，当 d,i,处于单位圆上时，极小值为零，对应频响将出现，这相当于在该频率处出现无耗（Q=）谐振，当极点超出单位圆时系统就处于不稳定状态。对于现实系统，这是不希望。,对于零点位置，频响将恰好相反，e,j,点越靠近某零点 c,i,，频响越低，所以在零点附近，频响出现谷点，零点越靠近单位圆，谷点越靠近零，零点处于单位圆上时，谷点为零，即在零点所在频率上出现传输零点，零点能够位于单位圆以外，不受稳定性约束。,这种几何方法为我们认识零、极点分布对系统性能影响提供了一个直观概念，这一概念对系统分析和设计都十分主要。,28/35,例4：,Imz,0,*,x,Rez,a,29/35,0,30/35,零点在单位圆上0,处；极点在 ,处。,0,。,。,31/35,例,有限长单位脉冲响应,0a0）上收敛，所以对于FIR系统，H（z）在有限z平面上不能有极点。如分子、分母无公共可约因子，则H（z）分母中全部系数b,i,（i=1，2，N）必须为零，故,只要b,i,中有一个系数不为零，在有限z平面上就会有极点，这就属于IIR系统。,b,i,不为零就说明需要将延时输出序列y(n-i)反馈回来，所以，IIR系统结构中都带有反馈回路。这种带有反馈回路结构称为“递归型”结构，IIR系统只能采取“递归型”结构，而FIR系统普通采取非“递归型”结构。不过，采取极、零点抵消方法，FIR系统也可采取“递归型”结构。,IIR、FIR组成数字滤波器两大类。,34/35,小 结：,理想采样信号及其频谱特点、采样定理,Z变换定义、Z变换收敛域、Z变换性质,逆Z变换、惯用序列Z变换,因果稳定系统,线性时不变系统输入、输出关系,系统函数、系统频响及其几何确定方法,35/35,
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