2019-2021北京重点校高一(上)期中数学汇编：单调性与最大(小)值.docx

2019-2021北京重点校高一（上）期中数学汇编
单调性与最大（小）值
一、单选题
1．（2020·北京·首都师范大学附属中学高一期中）已知函数，，若对任意，总存在，使得，则实数a的取值范围是（       ）
A． B．
C． D．
2．（2020·北京·清华附中高一期中）下列函数中，在定义域内单调递增的是（       ）
A． B． C． D．
3．（2020·北京四中高一期中）下列函数中，在区间（0，+∞）上为减函数的是（　　）
A．y＝x2﹣2x B．y＝|x| C．y＝2x+1 D．
4．（2020·北京·101中学高一期中）下列函数中，在区间（1，+∞）上为增函数的是（       ）.
A． B． C． D．
5．（2019·北京市第十三中学高一期中）已知偶函数的定义域为R，当时，单调递增，则，，的大小关系是（       ）
A． B．
C． D．
6．（2019·北京·首都师范大学附属中学高一期中）已知函数，若对任意，且，不等式恒成立，则实数的取值范围是（       ）
A． B． C． D．
7．（2019·北京市第十一中学高一期中）函数的单调递减区间为（       ）
A． B．
C． D．
8．（2019·北京·101中学高一期中）设函数f（x）在（-∞，+∞）上有意义，且对于任意的x，y∈R，有|f（x）-f（y）|＜|x-y|并且函数f（x+1）的对称中心是（-1，0），若函数g（x）-f（x）=x，则不等式g（2x-x2）+g（x-2）＜0的解集是（       ）.
A． B．
C．, D．
9．（2019·北京·人大附中高一期中）下列函数中，在区间是增函数的是（       ）
A． B． C． D．
10．（2021·北京·人大附中高一期中）已知函数是定义在上的偶函数，，当时，，则不等式的解集是
A． B． C． D．
二、双空题
11．（2020·人大附中高一期中）设函数
①若且，使得成立，则实数的取值范围是______.
②若函数为上的单调函数，则实数的取值范围是______.
12．（2019·北京市第十三中学高一期中）函数y = f(x)是定义域为R的偶函数，当x≥0时，函数f(x)的图象是由一段抛物线和一条射线组成（如图所示）．

①当时，y的取值范围是______；
②如果对任意 (b <0)，都有，那么b的最大值是______．
13．（2019·北京·人大附中高一期中）对于区间，若函数同时满足：①在上是单调函数；②函数的值域是，则称区间为函数的“保值”区间.（1）写出函数的一个“保值”区间为_____________；（2）若函数存在“保值”区间，则实数的取值范围为_____________.
14．（2019·北京·人大附中高一期中）已知函数，则函数的最大值为_______；函数的最小值为________.
三、填空题
15．（2020·北京·清华附中高一期中）函数在上不单调，则实数a的取值范围为_______．
16．（2020·人大附中高一期中）自然下垂的铁链；空旷的田野上，两根电线杆之间的电线等这些现象中都有相似的曲线形态.事实上，这些曲线在数学上常常被称为悬链线.悬链线的相关理论在工程、航海、光学等方面有广泛的应用.在恰当的坐标系中，这类函数的表达式可以为（其中，是非零常数，无理数…）
（1）如果为单调函数.写出满足条件的一-组值：______，______.
（2）如果的最小值为2，则的最小值为______.

17．（2020·北京八中高一期中）已知函数，若在上的值域为，则________.
18．（2020·北京·101中学高一期中）函数，在区间上的增数，则实数t的取值范围是________.
19．（2019·北京市第十三中学高一期中）对于函数()的定义域中任意,()有如下结论:
①;②;③
上述结论中正确结论的序号是______．
20．（2019·北京·人大附中高一期中）若函数在区间上不是单调函数，那么实数的取值范围是__________.
四、解答题
21．（2020·北京·101中学高一期中）已知是定义在R上的单调递减函数，对任意实数m，n都有=．函数．定义在R上的单调递增函数的图象经过点A（0,0）和点B(2,2)．
（1）判断函数的奇偶性并证明；
（2）若，使得<0（m为常实数）成立，求m的取值范围；
（3）设，,，，（i=0，1，2…100）．若++…+（k=1，2，3），比较的大小并说明理由．
22．（2020·北京四中高一期中）二次函数满足，再从条件①和条件②两个条件中选择一个作为已知，求：
（1）求的解析式；
（2）在区间上，函数的图像总在一次函数图像的上方，试确定实数m的取值范围.
条件①：；
条件②：不等式的解集为.
注：如果选择条件①和条件②分别解答，按第一个解答计分.
23．（2020·北京交通大学附属中学高一期中）已知函数（a，b为实数）.
（1）若，且函数的值域为，求的解析式；
（2）在（1）的条件下，当时，是单调函数，求实数k的取值范围；
（3）若为偶函数，且，设，，，判断是否大于零，请说明理由.
24．（2019·北京市陈经纶中学高一期中）某家庭进行理财投资，根据长期收益率市场预测，投资债券等稳健型产品的年收益与投资额成正比，其关系如图1；投资股票等风险型产品的年收益与投资额的算术平方根成正比，其关系如图2.

(1)分别写出两种产品的年收益和的函数关系式；
(2)该家庭现有20万元资金，全部用于理财投资，问：怎么分配资金能使投资获得最大年收益，其最大年收益是多少万元？
25．（2019·北京·汇文中学高一期中）定义在上的函数同时满足下列两个条件：
①对任意，有；
②对任意，有．设．
（1）证明．
（2）若，求的值．
26．（2019·北京·汇文中学高一期中）（1）证明：函数在上是减函数；
（2）设常数，求函数在上的最大值和最小值．
27．（2019·北京·北师大实验中学高一期中）如果定义在[0，1]上的函数f（x）同时满足：
①f（x）≥0；
②f（1）=1
③若x1≥0，x2≥0且x1+x2≤1，则f（x1+x2）≥f（x1）+f（x2）成立．那么就称函数f（x）为“梦幻函数”．
（1）分别判断函数f（x）=x与g（x）=2x，x∈[0，1]是否为“梦幻函数”，并说明理由；
（2）若函数f（x）为“梦幻函数”，求函数f（x）的最小值和最大值；
28．（2019·北京·北师大实验中学高一期中）已知函数．
（1）求f[f（1）]的值；
（2）若f（x）＞1，求x的取值范围；
（3）判断函数在（-2，+∞）上的单调性，并用定义加以证明．

参考答案
1．D
【解析】
根据二次函数的性质求出在时的值域为，再根据一次为增函数，求出，由题意得值域是值域的子集，从而得到实数a的取值范围.
【详解】
解：∵函数的图象是开口向上的抛物线，且关于直线对称
∴时，的最小值为，最大值为，
可得值域为
又∵，，
∴为单调增函数，值域为
即
∵，，使得，
∴
故选：D.
【点睛】
本题着重考查了函数的值域，属于中档题.解题的关键是将问题转化为值域的包含关系问题.
2．B
【解析】
根据初等函数的性质逐一判断即可.
【详解】
对于A，的增区间为和，在定义域内不具备单调性，故A错误；
对于B，在定义域内单调递增，故B正确；
对于C，在内单调递减，在内单调递增，故C错误；
对于D，在内单调递减，在内单调递增，故D错误；
故选：B.
3．D
【解析】
求出每一个选项的函数的单调减区间即得解.
【详解】
A. y＝x2﹣2x,函数的减区间为，所以选项A不符；
B. y＝|x|，函数的减区间为，所以选项B不符；
C.y＝2x+1,函数是增函数，没有减区间，所以选项C不符；
D. ，函数的减区间为（0，+∞），所以选项D符合.
故选D
【点睛】
本题主要考查函数的单调区间的判定方法，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.
4．D
【解析】
结合一次函数，二次函数及反比例函数的图象及图象变换分别进行判断即可．
【详解】
由一次函数的性质可知，y=-3x-1在区间(1，+∞)上为减函数，故A错误；
由反比例函数的性质可知，y=在区间(1，+∞)上为减函数，
由二次函数的性质可知，y=x2-4x+5在(-∞，2)上单调递减，在(2，+∞)上单调递增，故C错误；
由一次函数的性质及图象的变换可知，y=|x-1|+2在(1，+∞)上单调递增．
故选D．
【点睛】
本题主要考查了基本初等函数的单调性的判断，属于基础试题．
5．B
【解析】
根据偶函数的性质，结合单调性即可选出答案.
【详解】
因为为偶函数，所以，．又当时，单调递增，且，所以，即．
故选：B．
6．C
【解析】
易知 在上是增函数，然后利用二次函数的性质求解.
【详解】
因为对任意，且，不等式恒成立，
所以 在上是增函数，
所以，解得，
所以实数的取值范围是，
故选：C
7．C
【解析】
先求定义域，再利用反比例函数图象求单调减区间.
【详解】
的定义域为，
图象如图所示：

所以的单调递减区间为，
故选：C
【点睛】
本题主要考查了利用函数的性质求函数的单调区间，注意单调区间不能并，属于基础题.
8．A
【解析】
由已知可知f(x)为奇函数，从而可得g(-x)也为奇函数，然后结合|f(x)-f(y)|＜|x-y|，得 ，从而可得g(x)单调递增，结合单调性及奇函数的定义可求．
【详解】
由函数f(x+1)的对称中心是(-1，0)，可得f(x)的图象关于(0，0)对称即f(x)为奇函数，
∴f(-x)=-f(x)，
∵g(x)-f(x)=x，
∴g(x)=f(x)+x，
∴g(-x)=f(-x)-x=-f(x)-x=-g(x)，
∵对于任意的x，y∈R，有|f(x)-f(y)|＜|x-y|，
∴|g(x)-g(y)-(x-y)|＜|x-y|，
∴，
即||＜1，
∴0＜＜2，
由对任意实数有得g(x)单调递增，
∵g(2x-x2)+g(x-2)＜0，
∴g(2x-x2)＜-g(x-2)=g(2-x)，
∴2x-x2＜2-x，
整理可得，x2-3x+2＞0，
解可得，x＞2或x＜1，
故选A．
【点睛】
本题主要考查了利用函数的奇偶性及单调性求解不等式，解题的关键是结合单调性定义判断出函数g(x)的单调性．
9．C
【解析】
直接判断一次函数、二次函数、反比例函数、幂函数在区间上的单调性即可得到结果.
【详解】
、、在区间是减函数，
在区间是增函数.
故选C.
【点睛】
一次函数的单调性判断：，当时在上递增，当时在上递减；
二次函数的单调性判断：，当时在上递减，在上递增；当时在上递增，在上递减.
10．C
【解析】
先根据偶函数的定义域关于原点对称求出，再根据偶函数的对称性和题设给的的增减性解题即可
【详解】
是定义在上的偶函数，，解得，的定义域为
又，当时，
在单调递减，
再由偶函数的对称性可知，解得
答案选C
【点睛】
本题考查偶函数的基本性质、利用偶函数的性质解不等式，易错点为解题过程中忽略所有括号中的取值都必须在定义域内
11．          或
【解析】
①由知，函数关于直线对称，结合图像可知的取值范围；
②在上单增，在R上单增，结合图像知，或者
【详解】
①由知，函数关于直线对称，
又二次函数，开口向下，对称轴为，结合图像：

由，使得，知
②在上单增，在R上单增，结合图像知，或
【点睛】
结论点睛：函数对称性常用结论：
（1）函数满足，则函数图像关于直线对称；
（2）函数满足，则函数图像关于点中心对称；
12．         
【解析】
①根据f（x）是偶函数，图象关于y轴对称，结合图象可得y的取值范围．
②当x≥0时，设抛物线的方程为y=ax2+bx+c，求解解析式，根据f（x）是定义域为R的偶函数，可得x＜0的解析式，令y=1，可得x对应的值，结合图象可得b的最大值．
【详解】
由图象可知，当时，函数在上的最小值，
当时，函数在上的最小值，
所以当，函数的值域为；
当时，函数，当时，函数，
当时，或，
又因为函数为偶函数，图象关于轴对称，
所以对于任意，要使得，则，或，
则实数的最大值是．
故答案为
【点睛】
本题主要考查函数的奇偶性和函数的图象的应用，意在考查考生对概念的理解能力与应用能力、数形结合能力，求解此类函数图象判断题的关键：一是从已知函数图象过特殊点，列出关于参数的方程，从而求出参数的值；二是利用特殊点法来判断图象．本题还可以利用函数的单调性来判断函数的图象．总之，有关函数的图象判断题，利用“特殊点”与“函数的性质”，即可轻松破解．
13．         
【解析】
（1）由条件可知在区间上是单调函数，根据的值域判断出，由此得到从而求解出的值；
（2）设存在的“保值”区间为，考虑两种情况：、，根据单调性得到关于等式，由此表示出并求解出的范围.
【详解】
（1）因为，所以的值域为，
所以，所以在上单调递增，
所以，所以，解得，所以一个“保值”区间为；
（2）若，则在上单调递减，所以，所以，
所以，所以，，
所以，
又因为，所以，所以，
所以；
当时，则在上单调递增，所以，所以，
所以，所以，，
所以，
又因为，所以，所以，
因为，所以.
综上可知：.
故答案为；.
【点睛】
本题考查新定义背景下的二次函数的定义域、值域与单调性的综合问题，难度较难. 处理这类问题的关键是：将定义内容与已学知识产生联系，运用已学知识解决问题.本例中的保值区间实际就是函数的定义域与值域以及函数的单调性的结合.
14．         
【解析】
根据的函数结构，考虑将平方（注意定义域），利用二次函数的最值分析方法求解出的最值，即可求解出的最值.
【详解】
因为[f(x)]2=(+)2=4+2()
当x=-1时，[f(x)]2取最大值8，所以f(x)max=2
当x=1时，[f(x)]2取最小值4，所以f(x)min=2.
故答案为；.
【点睛】
本题考查含根号函数的最值的求解，难度一般.常见的含根号函数的值域或最值的求解方法：若只有一处含有根号，可考虑使用换元法求解函数的值域或最值；若是多处含有根号，可考虑函数本身的特点，通过平方、配凑等方法处理函数，使其更容易计算出值域或最值.
15．
【解析】
由题可得对称轴满足，求出即可.
【详解】
可得的对称轴为，
在上不单调，则，解得.
故答案为：.
16．     1          2
【解析】
（1）取，结合函数是单调函数，利用复合函数的单调性求解的值即可；
（2）根据的最小值为2，分类讨论确定，，结合基本不等式进行求解即可．
【详解】
（1）令，则，
是增函数，是减函数，
要使是单调函数，
只需．
综上，当时，时，为增函数．
（2）当时，为单调函数，此时函数没有最小值，
当，，有最大值，无最小值，
所以，若有最小值为2，则必有，，
此时，
即，即，
则，当时等号成立，
即的最小值为2．
故答案为：
【点睛】
利用基本不等式求最值时，一定要正确理解和掌握“一正，二定，三相等”的内涵：一正是，首先要判断参数是否为正；二定是，其次要看和或积是否为定值（和定积最大，积定和最小）；三相等是，最后一定要验证等号能否成立（主要注意两点，一是相等时参数是否在定义域内，二是多次用或时等号能否同时成立）.
17．.
【解析】
根据函数在上单调递增，求出函数的最值，列方程组可解得结果.
【详解】
由题意知函数在上单调递增，
∴，即，解得.
故答案为：.
【点睛】
本题考查了由函数解析式得单调性，根据单调性求最值，属于基础题.
18．
【解析】
作出函数的图象，数形结合可得结果.
【详解】
解:函数的图像如图.

由图像可知要使函数是区间上的增函数，
则.
故答案为
【点睛】
本题考查函数的单调性，考查函数的图象的应用，考查数形结合思想，属于简单题目.
19．③
【解析】
根据函数的解析式易得①错误,通过举出反例证明②错误,利用作差法比较大小,得到故③正确.由此可得正确答案.
【详解】
解: 对于①,,,
显然,故①不正确;
对于②,取,则,
可得,故②不正确;
对于③,,
,
且,,
,
,故③正确.
故答案为: ③
【点睛】
本题以一个具体函数为例,要验证几个等式和不等式是否成立,着重考查了函数的解析式和简单性质等知识,属于基础题.
20．（2，5）
【解析】
根据二次函数的对称轴以及开口方向与单调性的关系，判断出二次函数的对称轴在区间内，由此计算出的取值范围.
【详解】
因为函数f(x)=x2-2(a-1)x+2在区间(1,4)上不是单调函数，
所以对称轴x=a-1位于区间(1,4)上，即1＜a-1＜4，所以2＜a＜5.
故答案为.
【点睛】
判断二次函数的单调性，可以通过二次函数的开口方向以及对称轴来进行分析：开口向上，在对称轴左侧单调递减，在对称轴右侧单调递增；开口向下，在对称轴左侧单调递增，在对称轴右侧单调递减.
21．（1）为奇函数；证明见解析；（2）；（3）；答案见解析．
【解析】
（1）根据奇函数的定义进行证明即可；（2）根据奇函数将不等式转化为<，再根据单调性将脱去，等价为，，最后转化为最值问题解题即可；（3）根据函数的单调性及特殊值分别计算，最后比较大小即可.
【详解】
（1）是R上的奇函数．证明如下：
因为任意实数m，n都有，
所以，所以=0，
从而对x∈R，恒有=，
所以，
所以，所以为奇函数．
（2）由（1）知，为R上单调递减的奇函数，
由<0得<=，
所以>-8t-m，>，．
令，则．
当时，．
所以，使得+<0成立，
等价于，使得成立，
所以，所以m的取值范围是．
（3）依题意，易证F1(x)=-x在R上单调递减，
所以++…+
++…+
．
因为=2=-2在单调递增，在单调递减，
所以++…+
++…++
++…+

．
由在R上单调递增，易证在R上单调递增，
所以++…+
++…+
，
所以．
【点睛】
函数的单调性是函数的重要性质之一，它的应用贯穿于整个高中数学的教学之中.某些数学问题从表面上看似乎与函数的单调性无关，但如果我们能挖掘其内在联系，抓住其本质，那么运用函数的单调性解题，能起到化难为易、化繁为简的作用.因此对函数的单调性进行全面、准确的认识，并掌握好使用的技巧和方法，这是非常必要的.根据题目的特点，构造一个适当的函数，利用它的单调性进行解题，是一种常用技巧.许多问题，如果运用这种思想去解决，往往能获得简洁明快的思路，有着非凡的功效.
22．条件选择见解析；（1）；（2）.
【解析】
（1）选择①：设出二次函数的解析式，根据条件①，结合待定系数法求出的解析式；
选择②：根据一元二次不等式与二次函数的关系求出的解析式；
（2）由题意可知，构造函数，由得出的范围.
【详解】
解（1）由f(0)=1，可设f(x)=ax2+bx+1(a≠0).
选择①，则有
由题意，得解得故
选择②，则可化为.
由题，方程的两实根分别为和3
所以即，及即，所以.
故
（2）由题意，得，即，对恒成立.
令，则问题可转化为
又因为g(x)在上递减，所以，故
【点睛】
对于问题（2），在解决不等式的恒成立问题时，可以构造函数，将不等式问题转化为最值问题进行处理.
23．（1）;（2）; （3）证明见解析
【解析】
（1）由题得①，②，解方程即得解；
（2）由题得或,解不等式得解；
（3）先求出的解析式，再求出即得证.
【详解】
解:(1),①
又函数的值域为,.由,知,
即②.解①②,得,.
.
(2)由(1)得.
∵当时,是单调函数,
或,即或,
故实数k的取值范围为.
(3)大于零.理由如下:为偶函数,
,
不妨设,则.由,得,.又,
,
大于零.
【点睛】
关键点睛：第（1）题，利用值域的性质列方程求解；第（2）题利用二次函数的性质进行求解；第（3）题的解题的关键在于利用函数的奇偶性进行转化，得出进而求解；本题难度属于中档题
24．(1)，
(2)投资债券类产品万元，股票类投资为万元，收益最大为万元
【解析】
（1）设函数解析式，，代入即可求出的值，即可得函数解析式；
（2）设投资债券类产品万元，则股票类投资为万元，年收益为万元，则，代入解析式，换元求最值即可.
(1)
依题意：可设，，
∵，，
∴，.
(2)
设投资债券类产品万元，
则股票类投资为万元，年收益为万元，
依题意得：，
即，令，
则，，
则，，
所以当，即万元时，
收益最大，万元.
25．（1）证明见解析；（2）．
【解析】
（1）由题意可得，，利用和，即可证明不等式；
（2）利用恒等式可得，再利用（1）中的不等式，可以得到，从而求出，即可得到．
【详解】
（1）证明：因为，
则，
因为，
则，即，
因为，
则，即，
综上所述，；
（2）解：因为，
则，
由（1）可知，，
则，
，
所以，
，
则，
故，
所以，
则，
所以．
26．（1）证明见解析；（2）答案不唯一，具体见解析．
【解析】
（1）利用函数单调性的定义证明即可；
（2）根据的取值范围，结合函数单调性的定义可证明函数在上是减函数，在上是增函数，从而求得函数的最小值，再利用分类讨论法求其最大值．
【详解】
（1）证明：任取，且，则，
因为，
所以，且，
所以，
所以，即，
所以函数在上是减函数.
（2）解：因为，所以．
任取，且，则，
因为，
所以，且，
所以，
所以，即，
所以函数在上是减函数；
同理可证函数在上是增函数．
所以时，函数有最小值；
又，，
最大值进行如下分类讨论：
①当，即时，时函数有最大值为；
②当，即时，时函数有最大值为．
27．（1）f（x）=x是“梦幻函数”，g（x）=2x不是“梦幻函数”；理由见解析；       （2）最小值是0，最大值是1
【解析】
（1）根据f（x）的解析式，依次判断对于三个条件是否成立，只要一个不满足就不是“梦幻函数”，进而求解；
（2）根据“梦幻函数”的定义，利用条件③可以证明f（x）的单调性，进而求解；
【详解】
（1）①显然，在[0，1]上满足f（x）=x≥0，g（x）=2x≥0；
②f（1）=1，g（1）=2；
③若x1≥0，x2≥0且x1+x2≤1，则f（x1+x2）-[f（x1）+f（x2）]=x1+x2-[x1+x2]=0，即f（x1+x2）≥f（x1）+f（x2）成立；
∴f（x）=x是“梦幻函数”，g（x）=2x不是“梦幻函数”；
（2）设x1，x2∈[0，1]，x1＜x2，则x2-x1∈（0，1]，∴f（x1）-f（x2）=f（x1）-f（x2-x1+x1）≤f（x1）-[f（x1）+f（x2-x1）]=-f（x2-x1）≤0，
∴f（x1）≤f（x2），∴f（x）在[0，1]单调递增，
令x1=x2=0，∵x1≥0，x2≥0且x1+x2≤1，则f（x1+x2）≥f（x1）+f（x2）成立，
∴0≥2f（0），又f（x）≥0，
∴f（0）=0，∴当x=0时，f（x）取最小值f（0）=0，当x=1时，f（x）取最大值f（1）=1．
【点睛】
属于信息题，考查接受新知识、理解新知识、运用新知识的能力，函数的单调性、最值，属于中档题；
28．（1）       （2）（-∞，-2）       （3）增函数，证明见解析
【解析】
（1）可以求出，然后代入x=即可求出f[f（1）]的值；
（2）根据f（x）＞1即可得出，化简然后解分式不等式即可；
（3）分离常数得出，从而可看出f（x）在（-2，+∞）上是增函数，根据增函数的定义证明：设任意的x1＞x2＞-2，然后作差，通分，得出，然后说明f（x1）＞f（x2）即可得出f（x）在（-2，+∞）上是增函数．
【详解】
（1）f[f（1）]=；
（2）由f（x）＞1得，，化简得，，
∴x＜-2，
∴x的取值范围为（-∞，-2）；
（3），f（x）在（-2，+∞）上是增函数，证明如下：
设x1＞x2＞-2，则：=，
∵x1＞x2＞-2，
∴x1-x2＞0，x1+2＞0，x2+2＞0，
∴，
∴f（x1）＞f（x2），
∴f（x）在（-2，+∞）上是增函数．
【点睛】
本题考查了已知函数求值的方法，分式不等式的解法，分离常数法的运用，增函数的定义，考查了计算能力和推理能力，属于基础题．

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