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专题跟踪检测（七） 空间几何体的表面积、体积
1．设某圆锥的母线长和高分别为l，h，侧面积和底面积分别为S1，S2，若S1＝3S2，则＝(　　)
A．　　　　　　　　 B．
C． D．
解析：选A　设圆锥的底面圆半径为r，则S2＝πr2＝π(l2－h2)，S1＝·2πr·l＝πl，∵S1＝3S2，
∴3π(l2－h2)＝πl，∴8l2＝9h2，
∴＝.故选A．

2．(多选)(2021·黄冈中学高三三模)若α，β是两个相交平面，则在下列命题中，正确的是(　　)
A．若直线m⊥α，则在平面β内，一定不存在与直线m平行的直线
B．若直线m⊥α，则在平面β内，一定存在无数条直线与直线m垂直
C．若直线m⊂α，则在平面β内，一定存在与直线m异面的直线
D．若直线m⊂α，则在平面β内，一定存在与直线m垂直的直线
解析：选BD　令平面α∩平面β＝直线l，
对于A选项：当平面α⊥平面β时，在平面β内作直线n⊥l，则n⊥α，而m⊥α，则n∥m，A错误；
对于B选项：m⊥α，则m⊥l，则平面β内与l平行的所有直线都与直线m垂直，B正确；
对于C选项：直线m⊂α，则m与l重合时，即m⊂β，β内的所有直线都与m共面，C错误；
对于D选项：当m⊥β时，结论成立；当直线m与β不垂直时，作与直线m垂直的平面γ，则γ必与β相交，所得交线与m垂直，D正确．故选B、D．
3.如图，战国商鞅铜方升是公元前344年商鞅督造的标准量器．秦始皇统一中国后，仍以商鞅所规定的制度和标准统一全国的度量衡．经测量，该铜方升内口(长方体)深1寸，内口长是宽的1.8倍，内口的表面积(不含上底面)为33平方寸，则该铜方升内口的容积为(　　)
A．5.4立方寸 B．8立方寸
C．16立方寸 D．16.2立方寸
解析：选D　设内口宽为a寸，则长为1.8a寸，由2(a＋1.8a)＋1.8a2＝33，
整理得9a2＋28a－165＝0，解得a＝3，
故所求的容积为3×(1.8×3)×1＝16.2(立方寸)．
4.如图所示，直三棱柱ABC-A1B1C1中，∠BCA＝60°，M，N分别是A1C1，CC1的中点，BC＝CA＝CC1，则BN与AM所成角的余弦值为(　　)
A． B．
C． D．

解析：选A　如图，取BB1的中点为Q，AC的中点为P，连接C1Q，PQ，C1P，PB．
因为BN∥C1Q，AM∥C1P，所以∠QC1P或其补角即为BN与AM所成角．
设BC＝2，则AM＝C1P＝BN＝C1Q＝，PQ＝2，
在△PQC1中，cos∠QC1P＝＝.
5．过圆柱的上、下底面圆圆心的平面截圆柱所得的截面是面积为8的正方形，则圆柱的侧面积是(　　)
A．12π B．12π
C．8π D．10π
解析：选C　如图所示，过圆柱的上、下底面圆圆心的平面截圆柱所得的截面是正方形ABCD，面积为8，故边长AB＝AD＝2，即底面半径R＝AB＝，侧棱长为AD＝2.
则圆柱的侧面积是S＝2πR·AD＝2π××2＝8π.
6．(多选)(2021·新高考Ⅱ卷)如图，在正方体中，O为底面的中心，P为所在棱的中点，M，N为正方体的顶点．则满足MN⊥OP的是(　　)

解析：选BC　对于选项A，建立如图所示的空间直角坐标系，设棱长为2，则O(1,1,0)，P(0，2,1)，M(2,0,2)，N(0,2,2)，＝(－2,2,0)， ＝(－1,1,1)．
因为·＝4≠0，故选项A中不满足MN⊥OP.
同理可得出选项B和选项C中，·＝0，即MN⊥OP，选项D中·＝4，不满足条件．故选B、C．
7．(2021·北京高考)对24小时内降水在平地上的积水厚度(mm)进行如下定义：
0～10
10～25
25～50
50～100
小雨
中雨
大雨
暴雨
小明用一个圆锥形容器接了24小时的雨水，则这一天的雨水属于哪个等级(　　)

A．小雨 B．中雨
C．大雨 D．暴雨
解析：选B　由相似关系可得，小圆锥的底面半径r＝＝50，故V小锥＝×π×502×150＝503·π，从而可得积水厚度h＝＝＝12.5，属于中雨．
8．正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为1，若F是DD1的中点，则B1到平面ABF的距离为(　　)
A． B．
C． D．
解析：选D　如图，设CC1的中点为E，连接FE，BE，可得FE∥DC，
则FE⊥平面BB1C1C，而FE⊂平面ABEF，所以平面ABEF⊥平面BB1C1C，且平面ABEF∩平面BB1C1C＝BE，
在平面BB1C1C中，过B1作B1G⊥BE，垂足为G，则B1G⊥平面ABEF，
则B1到平面ABF的距离为B1G.
由正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为1，得S△BB1E＝×1×1＝，又BE＝ ＝，由等面积法可得，S△BB1E＝××B1G＝，得B1G＝，即B1到平面ABF的距离为.
9．(2021·天津河西区高三一模)将长、宽分别为4和3的长方形ABCD沿对角线AC折成直二面角，得到四面体A-BCD，则四面体A-BCD的外接球的表面积为(　　)
A．25π B．50π
C．5π D．10π

解析：选A　取AC的中点O，连接OB，OD，如图所示．
由题意AC＝＝5，因为∠ABC＝∠ADC＝90°，O为AC的中点，所以OB＝OD＝AC＝OA＝OC＝，所以，O为四面体A-BCD的外接球的球心，且球O的半径R＝，因此，四面体A-BCD的外接球的表面积为4πR2＝25π.
10.(多选)如图，正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为1，P是线段BC1上的动点，则下列结论中正确的是(　　)
A．AC⊥平面BDD1B1
B．A1P的最小值为
C．平面AD1C∥平面A1C1B
D．异面直线A1P与AD1所成角的最大值是
解析：选ABC　∵正方体中，BB1⊥平面ABCD，AC⊂平面ABCD，∴BB1⊥AC，∵正方形ABCD中，BD⊥AC，又BD∩BB1＝B，∴AC⊥平面BDD1B1，故A正确；∵△A1BC1是正三角形，且边长为，当P为BC1中点时，A1P取得最小值为×＝，故B正确；∵正方体中，AA1∥BB1∥CC1且AA1＝CC1，故四边形A1ACC1是平行四边形，∴A1C1∥AC，∵A1C1⊄平面AD1C，AC⊂平面AD1C，∴A1C1∥平面AD1C，同理可得A1B∥平面AD1C，∵A1C1∩A1B＝A1，∴平面AD1C∥平面A1C1B，故C正确；易得AD1∥BC1，则异面直线A1P与AD1所成角即为A1P与BC1所成角，且当P为BC1中点时，A1P与AD1所成角的最大值为，故D错误．
11.(多选)如图，AB为圆O的直径，点C在圆周上(异于点A，B)，直线PA垂直于圆O所在的平面，点M是线段PB的中点，下列命题正确的是(　　)
A．MO∥平面PAC
B．PA∥平面MOB
C．OC⊥平面PAC
D．平面PAC⊥平面PBC
解析：选AD　因为AB为圆O的直径，M是线段PB的中点，所以OM∥PA，又OM⊄平面PAC，PA⊂平面PAC，所以MO∥平面PAC，即A正确；又PA⊂平面PAB，即PA⊂平面MOB，故B错误；因为点C在圆O的圆周上，所以AC⊥CB，故OC不与AC垂直，所以OC不可能与平面PAC垂直，即C错误；由直线PA垂直于圆O所在的平面，所以PA⊥BC．又AC⊥CB，AC∩PA＝A，AC⊂平面PAC，PA⊂平面PAC，所以BC⊥平面PAC，又BC⊂平面PBC，所以平面PAC⊥平面PBC，即D正确．故选A、D．
12．(多选)如图，直角梯形ABCD中，AB∥CD，∠ABC＝90°，CD＝2，AB＝BC＝1，E是边CD中点，将△ADE沿AE翻折，得到四棱锥D1-ABCE，在翻折的过程中，下列说法正确的是(　　)

A．BC∥面AD1E
B．AE⊥CD1
C．三棱锥D1-ABC体积的最大值是
D．点C到面ABD1距离的最大值是
解析：选ABD　由题意，CE＝CD＝AB＝1，且AB∥CE，∴四边形ABCE是平行四边形，
又∵∠ABC＝90°，∴四边形ABCE是正方形．
∵BC∥AE，且BC⊄平面AD1E，AE⊂平面AD1E，
∴BC∥面AD1E，即A正确；
在梯形ABCD中，AE⊥CD，翻折过程中AE⊥CE，AE⊥ED1，∵CE∩ED1＝E，∴AE⊥平面CED1，
∵CD1⊂平面CED1，∴AE⊥CD1，即B正确；
在翻折过程中，当D1E⊥平面ABCE时，
三棱锥D1-ABC体积最大，
∴该三棱锥体积的最大值为V＝S△ABC·D1E＝××1＝，故C错误；
作D1M⊥CE于M，作MN⊥AB于N，连接D1N，由AE⊥平面CED1，可得AE⊥D1M，∵AE∩EC＝E，且AE⊂平面ABCE，EC⊂平面ABCE，∴D1M⊥平面ABCE，∵AB⊂平面ABCE，∴D1M⊥AB，又∵AB⊥MN，且MN⊂平面MND1，D1M⊂平面MND1，MN∩D1M＝M，
∴AB⊥平面MND1，∵AB⊂平面D1AB，
∴平面D1MN⊥平面D1AB．
在△MND1中，作MH⊥D1N于H，
∵平面D1MN∩平面D1AB＝D1N，
∴MH⊥平面D1AB，由题易知CE∥平面D1AB，可知MH即为点C到面ABD1的距离．
设D1M＝x，则0＜x≤D1E，即0＜x≤1，
在△D1MN中，∠D1MN＝90°，MN＝1，D1N＝，
∴MH＝＝＝，
易知函数y＝在(0,1]上单调递增，
∴≤＝，当x＝1时，取得最大值．
∴点C到面ABD1距离的最大值是，即D正确．故选A、B、D．
13.(2021·南开中学高一期末)如图为一个盛满水的圆锥形玻璃杯，现将一个球状物体放入其中，使其完全浸没于杯中，球面与圆锥侧面相切，且与玻璃杯口所在平面相切，则溢出水的体积为________．
解析：作出圆锥的轴截面如图所示，
球心为截面三角形的中心，

∵截面为正三角形，且边长为2，则球的半径为r＝×＝.
∴溢出溶液的体积等于球的体积，即π×3＝.
答案：
14.如图所示，在长方体ABCD-A1B1C1D1中，AD＝AA1＝1，AB＝3，点E是棱AB的中点，则点E到平面ACD1的距离为________．
解析：以D为原点，DA为x轴，DC为y轴，DD1为z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，
则E，A(1,0,0)，C(0,3，0)，D1(0,0,1)，
＝(－1,3,0)，＝(－1,0,1)，＝.
设平面ACD1的法向量n＝(x，y，z)，
则取y＝1，得n＝(3,1,3)，
∴点E到面ACD1的距离d＝＝.
答案：
15．(2021·酒泉三模)已知三棱锥A-BCD，AB＝3，AD＝1，BC＝4，BD＝2，当三棱锥A-BCD的体积最大时，则外接球的表面积为________．
解析：如图，在△ABD中，由AB＝3，AD＝1，BD＝2，可得：AD2＋BD2＝AB2，
所以△ABD为直角三角形，
易知BC⊥平面ABD时三棱锥A-BCD的体积最大．
由△ABD为直角三角形，所以△ABD外接圆直径为AB，
所以外接球直径2R＝＝5，R＝，
所以外接球的表面积S＝4πR2＝25π.
答案：25π
16．(2021·渭南二模)所谓正多面体，是指多面体的各个面都是全等的正多边形，并且各个多面角都是全等的多面角．例如：正四面体(即正棱锥体)的四个面都是全等的三角形，每个顶点有一个三面角，共有四个三面角，可以完全重合，也就是说它们是全等的．毕达哥拉斯学派将正多面体称为宇宙体，并指出只有五种宇宙体，即正四面体、正六面体、正八面体、正十二面体、正二十面体．由棱长为1的正方体的六个表面的中心可构成一个正八面体，则该正八面体的内切球的表面积为________．
解析：如图所示，O1，O2，O3，O4，O5分别为所在正方形的中心，O为正八面体内切球的球心．由正方体和正八面体的对称性可得O为正方形O2O3O4O5的中心，
且O1O⊥平面O2O3O4O5，取O2O3的中点为E，连接O1E，过O作OK⊥O1E，
垂足为K，则OK为内切球的半径．
因为正方体的棱长为1，故正方形O2O3O4O5的边长为，所以OE＝，而OO1＝，故OK＝＝，
故内切球的表面积为4π×＝.
答案：