2020北京重点校初二(上)期中数学汇编：三角形全等的判定.docx

2020北京重点校初二（上）期中数学汇编
三角形全等的判定
一、单选题
1．（2020·北京一七一中八年级期中）下列说法正确的是(　　)
A．两个等腰直角三角形全等 B．面积相等的两个三角形全等
C．完全重合的两个三角形全等 D．所有的等边三角形全等
2．（2020·北京四中八年级期中）△BDE和△FGH是两个全等的等边三角形，将它们按如图的方式放置在等边三角形ABC内．若求五边形DECHF的周长，则只需知道（　　）

A．△ABC的周长 B．△AFH的周长
C．四边形FBGH的周长 D．四边形ADEC的周长
3．（2020·北京四中八年级期中）我们利用尺规作图可以作一个角等于已知角，如下所示：

（1）作射线；
（2）以为圆心，任意长为半径作弧，交于，交于；
（3）以为圆心，为半径作弧，交于；
（4）以为圆心，为半径作弧，交前面的弧于D'；
（5）连接作射线则就是所求作的角．
以上作法中，错误的一步是（ ）
A． B． C． D．
4．（2020·北京一七一中八年级期中）如图，已知AE=CF，∠AFD=∠CEB，那么添加下列一个条件后，仍无法判定△ADF≌△CBE的是

A．∠A=∠C B．AD=CB C．BE=DF D．AD∥BC
二、填空题
5．（2020·北京·北师大实验中学八年级期中）如图，过边长为1的等边三角形ABC的边AB上一点P，作PE⊥AC于点E，Q为BC延长线上一点，当AP＝CQ时，PQ交AC于D，则DE的长为______．

6．（2020·北京四中八年级期中）在正方形网格中，的位置如图所示，则点中在的平分线上是______________点．

7．（2020·北京师大附中八年级期中）如图，，，是内过顶点的一条射线，作 ，，垂足分别为，，将和分别沿直线，翻折得到和，已知，，则的长度是__________．

三、解答题
8．（2020·北京·汇文中学八年级期中）已知线段AB，如果将线段AB绕点A逆时针旋转90°得到线段AC，则称点C为线段AB关于点A的逆转点，点C为线段AB关于点A的逆转点的示意图如下：

（1）如图，在正方形ABCD中，点_______为线段BC关于点B的逆转点；
（2）如图，在平面直角坐标系xOy中，点P的坐标为(x，0)，且x＞0，点E是y轴上一点，点F是线段EO关于点E的逆转点，点G是线段EP关于点E的逆转点，过逆转点G，F的直线与x轴交于点H．
①补全图形；

②判断过逆转点G，F的直线与x轴的位置关系并证明．
③若点E的坐标为（0，5），连接PF、PG，设△PFG的面积为y，用含x的代数式表示y=________．
9．（2020·北京·北师大实验中学八年级期中）我们知道：有两条边相等的三角形叫做等腰三角形．类似地，我们定义：至少有一组对边相等的四边形叫做等对边四边形．
（1）如图，在中，点，分别在，上，设，相交于点，若，．请你写出图中一个与相等的角，并猜想图中哪个四边形是等对边四边形？

（2）在中，如果是不等于的锐角，点，分别在，上，且．探究：满足上述条件的图形中是否存在等对边四边形，并证明你的结论．
10．（2020·北京·北师大实验中学八年级期中）（1）如图1，点A为线段BC外一动点，且BC=a，AB=b，填空：当点A位于　　　　时，线段AC的长取到最大值，且最大值为　　　　；（用含a、b的式子表示）．
（2）如图2，若点A为线段BC外一动点，且BC=6，AB=3，分别以AB，AC为边，作等边△ABD和等边△ACE，连接CD，BE．
①图中与线段BE相等的线段是线段　　　　，并说明理由；
②直接写出线段BE长的最大值为　　　　．
（3）如图3，在平面直角坐标系中，点A的坐标为（4，0），点B的坐标为（10，0），点P为线段AB外一动点，且PA=4，PM=PB，∠BPM=90°，请直接写出线段AM长的最大值为　　　　，及此时点P的坐标为　　　　．
（提示：等腰直角三角形的三边长a、b、c满足a：b：c=1：1：）

11．（2020·北京一七一中八年级期中）已知：如图，点B、F、C、E在一条直线上，∠B＝∠E，∠ACB＝∠DFE，且BF=EC．求证：△ABC≌△DEF．

12．（2020·北京四中八年级期中）如图，，和相交于点，．求证：．

13．（2020·北京师大附中八年级期中）如图，已知等边三角形ABC，延长BA至点D，延长AC至点E，使AD=CE，连接CD，BE．求证：△ACD≌△CBE．

14．（2020·北京四中八年级期中）如图1，点是等腰三角形外一点，过点作于点．

（1）依据题意，补全图形．
（2）求证：．
（3）如图2，与交于点，当是的中点时，翻折得到，连接求证：两点到直线的距离相等．
15．（2020·北京·汇文中学八年级期中）如图，在△ABC中，∠B=∠ACB,D是边AB上一点，E是边AC的中点，作CF∥AB交DE的延长线于点F，DB=3,CF=7,求AE.

16．（2020·北京一七一中八年级期中）已知如图，在中，是它的角平分线，且，，，垂足分别是、．求证：．

参考答案
1．C
【分析】
根据选项的条件举出反例，再根据全等三角形的判定进行判断即可．
【详解】
A．如图：

图中的两个等腰直角三角形不全等，故本选项错误；
B．当一个三角形的底是2，对应的高是1，而另一个三角形的底是1，对应的高是2，两三角形的面积相等，但是两三角形不全等，故本选项错误．
C．能够完全重合的两个三角形全等，故本选项正确；
D．两个等边三角形的边不一定相等，故不一定全等，故本选项错误．
故选C．
【点睛】
本题考查了全等三角形的判定定理，注意：全等三角形的判定定理有SAS，ASA，AAS，SSS，能够完全重合的两个三角形全等．
2．A
【分析】
由等边三角形的性质和三角形的内角和定理可得：FH＝GH，∠ACB＝∠A＝60°，∠AHF＝∠HGC，进而可根据AAS证明△AFH≌△CHG，可得AF＝CH，然后根据等量代换和线段间的和差关系即可推出五边形DECHF的周长＝AB+BC，从而可得结论．
【详解】
解：∵△GFH为等边三角形，
∴FH＝GH，∠FHG＝60°，
∴∠AHF+∠GHC＝120°，
∵△ABC为等边三角形，
∴AB＝BC＝AC，∠ACB＝∠A＝60°，
∴∠GHC+∠HGC＝120°，
∴∠AHF＝∠HGC，
∴△AFH≌△CHG（AAS），
∴AF＝CH．
∵△BDE和△FGH是两个全等的等边三角形，
∴BE＝FH，
∴五边形DECHF的周长＝DE+CE+CH+FH+DF
＝BD+CE+AF+BE+DF
＝（BD+DF+AF）+（CE+BE），
＝AB+BC．
∴只需知道△ABC的周长即可．
故选：A．

【点睛】
本题考查了等边三角形的性质、全等三角形的判定和性质以及多边形的周长问题，熟练掌握等边三角形的性质以及全等三角形的判定和性质是解题的关键．
3．C
【分析】
根据作一个角等于已知角的方法解决问题即可．
【详解】
解：（4）错误．应该是以C'为圆心，CD为半径作弧，交前面的弧于D'；
故选：C．
【点睛】
本题考查作图-复杂作图，作一个角等于已知角，解题的关键是熟练掌握五种基本作图，属于中考常考题型．
4．B
【详解】
试题分析：∵AE=CF，∴AE+EF=CF+EF．∴AF=CE．
A．∵在△ADF和△CBE中，，∴△ADF≌△CBE（ASA），正确，故本选项错误．
B．根据AD=CB，AF=CE，∠AFD=∠CEB不能推出△ADF≌△CBE，错误，故本选项正确．
C．∵在△ADF和△CBE中，，∴△ADF≌△CBE（SAS），正确，故本选项错误．
D．∵AD∥BC，∴∠A=∠C．由A选项可知，△ADF≌△CBE（ASA），正确，故本选项错误．
故选B．
5．
【详解】
过点Q作AD的延长线的垂线于点F.
因为△ABC是等边三角形，所以∠A=∠ACB=60°.
因为∠ACB=∠QCF，所以∠QCF=60°.
因为PE⊥AC，QF⊥AC，所以∠AEP=∠CFQ=90°，
又因为AP=CQ，所以△AEP≌△CFQ，所以AE=CF，PE=QC.
同理可证，△DEP≌△DFQ，所以DE=DF.
所以AC=AE+DE+CD=DE+CD+CF=DE+DF=2DE，所以DE=AC=.
故答案为.

6．Q
【分析】
先找到OA、OB上的格点E、F，连接EQ、FQ，证明，即可进行判断．
【详解】
解：如图,连接EQ、FQ，

由图可知OE=OF，EQ=FQ，OQ=OQ，
∴
∴
∴OQ平分，
∴点Q在∠AOB的平分线上．
故答案为：Q．
【点睛】
本题考查了全等三角形的判定和性质，熟悉SSS判定是解题关键．
7．
【分析】
由折叠的性质得出AM=AD，BM=BD，AN=AE，∠BDA=∠BMA=90°，∠AEC=∠ANC=90°，求出AM=3，证明△AMB≌△CNA（AAS），由全等三角形的性质得出BM=AN=7．
【详解】
解：∵BD⊥l，CE⊥l，
∴∠BDA=90°，∠CEA=90°，
∵将△ADB和△AEC分别沿直线AB，AC翻折得到△AMB和△ANC，
∴△AMB≌△ADB，△ANC≌△AEC，
∴AM=AD，BM=BD，AN=AE，∠BDA=∠BMA=90°，∠AEC=∠ANC=90°，
∵MN=AM+AN=AM+AD+DE，
∴2AM=MN-DE=10-4=6，
∴AM=3，
∴AN=MN-AM=10-3=7，
∵∠BAC=90°，
∴∠BAM+∠CAN=90°，
∵∠AMB=90°，
∴∠BAM+∠ABM=90°，
∴∠ABM=∠CAN，
在△AMB和△CNA中，

∴△AMB≌△CNA（AAS），
∴BM=AN=7．
故答案为：7．
【点睛】
本题考查了全等三角形的判定与性质，折叠的性质，熟练掌握折叠的性质是解题的关键．
8．（1）A；（2）①如下图；②GF⊥x轴，证明见解析；③
【分析】
（1）将线段BC绕点B逆时针旋转90°得到线段BA，即可求解；
（2）①按题干定义补图即可；
②首先根据SAS证明△GEF≌△PEO，根据全等三角形的性质得到∠GFE＝∠EOP＝90°，进而得到四边形EFHO是矩形，然后即可得结论；
③分两种情形：如图4中，当0＜x＜5时，如图5中，当x＞5时，分别利用三角形的面积公式求解即可．
【详解】
（1）由题意，将线段BC绕点B逆时针旋转90°得到线段BA
∴点A为线段BC关于点B的逆转点；
故答案为A；
（2）①图形如图3所示．

②结论：GF⊥x轴．
理由：∵点F是线段EF关于点E的逆转点，点G是线段EP关于点E的逆转点，
∴∠OEF＝∠PEG＝90°，EG＝EP，EF＝EO，
∴∠GEF＝∠PEO，
∴△GEF≌△PEO（SAS），
∴∠GFE＝∠EOP，
∵OE⊥OP，
∴∠POE＝90°，
∴∠GFE＝90°，
∵∠OEF＝∠EFH＝∠EOH＝90°，
∴四边形EFHO是矩形，
∴∠FHO＝90°，
∴FG⊥x轴．
③如图4，当0＜x＜5时，

∵E（0，5），
∴OE＝5，
∵四边形EFHO是矩形，EF＝EO，
∴四边形EFHO是正方形，
∴OH＝OE＝5，
∴；
如图5中，当x＞5时，

；
综上所述，．
【点睛】
此题主要考查旋转，结合题干中新定义，按照旋转法则解题，涉及到求三角形面积问题．
9．（1）与∠A相等的角是∠BOD、∠COE，四边形DBCE是等对边四边形；（2）存在等对边四边形DBCE，证明见解析；
【分析】
（1）根据三角形外角的性质可得∠BOD＝60°，根据对顶角的性质可得∠COE＝60°；作CG⊥BE于G点，作BF⊥C，D交CD延长线于F点通过证明△BCF≌△CBG，可得BF＝CG，,再证明△BDF≌△CEG，即可证明四边形DBCE是等对边四边形；
（2）作CG⊥BE于G点，作BF⊥CD交CD延长线于F点．易证△BCF≌△CBG，进而证明△BDF≌△CEG，所以BD＝CE，所以四边形DBCE是等对边四边形．
【详解】
（1）∵∠A=60°，
∴∠OBC=∠OCB=30°
∴∠BOD＝∠COE=∠OBC＋∠OCB＝30°＋30°＝60°，
∴与∠A相等的角是∠BOD、∠COE，
四边形DBCE是等对边四边形，证明如下：
如图，作CG⊥BE于G点，作BF⊥CD交CD延长线于F点．

∴∠BFC=∠CGB=∠CGE=90°
∵∠DCB＝∠EBC＝∠A，BC=BC，
∴△BCF≌△CBG，
∴BF＝CG，
∵∠BDF＝∠ABE＋∠DOB，∠BEC＝∠ABE＋∠A，∠A=∠BOD
∴∠BDF＝∠BEC，
又∵∠BFD=∠CGE=90°，BF＝CG，
∴△BDF≌△CEG，
∴BD＝CE，
∴四边形DBCE是等对边四边形．
（2）存在等对边四边形DBCE，理由如下：
如图，作CG⊥BE于G点，作BF⊥CD交CD延长线于F点．

∴∠BFC=∠CGB=∠CGE=90°
∵∠DCB＝∠EBC＝∠A，BC=BC，
∴△BCF≌△CBG，
∴BF＝CG，
∵
∴∠BOD =∠OBC＋∠OCB＝ ，
∴∠A=∠BOD，
∵∠BDF＝∠ABE＋∠DOB，∠BEC＝∠ABE＋∠A，
∴∠BDF＝∠BEC，
又∵∠BDF=∠CGE=90°，BF＝CG，
∴△BDF≌△CEG，
∴BD＝CE，
∴四边形DBCE是等对边四边形．
【点睛】
解决本题的关键是理解等对边四边形的定义，把证明BD=CE的问题转化为证明三角形全等的问题．
10．（1）CB的延长线上，a+b；（2）①CD，理由见解析；②9；（3）46，（4﹣2，2）或（4﹣2，﹣2）．
【分析】
（1）当点A位于CB的延长线上时，线段AC的长取得最大值，此时最大值为BC+AB可得；
（2）①根据已知条件可得AD=AB，AC=AE，∠BAD=∠CAE=60°，易知∠CAD=∠EAB．由SAS可判断△CAD≌△EAB可证得结论；②线段BE长的最大值即为线段CD的最大值，由（1）可知，当线段CD的长取得最大值时，点D在CB的延长线上，故可得BE的最大值；
（3）如图1，将△APM绕着点P顺时针旋转90°得到△PBN，连接AN，可得△APN是等腰直角三角形，故PN=PA=2，BN=AM.由条件可知OA=4，OB=10，故AB=6，由线段AM长的最大值为线段BN长的最大值，故当N在线段BA的延长线时，线段BN取得最大值，最大值=AB+AN，由等腰直角三角形三边关系可求得最大值；
如图2，过P作PE⊥x轴于E．由△APN是等腰直角三角形，可得PE=AE=2，结合已知条件可计算OE=BO﹣AB﹣AE，可得P点坐标；
如图3，根据对称性可知当点P在第四象限时，P（4﹣2，﹣2）时，也满足条件．
【详解】
（1）∵点A为线段BC外一动点，且BC=a，AB=b，
∴当点A位于CB的延长线上时，线段AC的长取得最大值，且最大值为BC+AB=a+b．
故答案为：CB的延长线上，a+b；
（2）①CD=BE，
理由：∵△ABD与△ACE是等边三角形，
∴AD=AB，AC=AE，∠BAD=∠CAE=60°，
∴∠BAD+∠BAC=∠CAE+∠BAC，
即∠CAD=∠EAB．
在△CAD与△EAB中，
，
∴△CAD≌△EAB（SAS），
∴CD=BE．
故答案是：CD；
②∵线段BE长的最大值=线段CD的最大值，
由（1）知，当线段CD的长取得最大值时，点D在CB的延长线上，
∴最大值为BD+BC=AB+BC=9．
故答案为：CD=BE=9．
（3）如图1，

∵将△APM绕着点P顺时针旋转90°得到△PBN，连接AN，
则△APN是等腰直角三角形，
∴PN=PA=2，BN=AM．
∵A的坐标为（4，0），点B的坐标为（10，0），
∴OA=4，OB=10，∴AB=6，
∴线段AM长的最大值=线段BN长的最大值，
∴当N在线段BA的延长线时，线段BN取得最大值，
最大值=AB+AN．
∵ANAP=4，
∴最大值为46．
如图2，

过P作PE⊥x轴于E．
∵△APN是等腰直角三角形，
∴PE=AE=2，
∴OE=BO﹣AB﹣AE=10﹣6﹣24﹣2，
∴P（4﹣2，2）．
如图3中，

根据对称性可知当点P在第四象限时，P（4﹣2，﹣2）时，也满足条件．
综上所述：满足条件的点P坐标（4﹣2，2）或（4﹣2，﹣2），AM的最大值为46．
故答案为：46，（4﹣2，2）或（4﹣2，﹣2）．
【点睛】
本题考查了三角形的三边关系，全等三角形的判定和性质，以及平面直角坐标系中几何图形的动点问题，较为综合，根据已知条件确定图形作出正确的辅助线是解题的关键.
11．证明见解析．
【分析】
首先根据平行线的性质可得∠ACB=∠DFE，再根据ASA定理证明△ABC≌△DEF即可．
【详解】
解：∵AC∥DF，
∴∠ACB=∠DFE，
在△ABC和△DEF中，
，
∴△ABC≌△DEF（ASA）．
12．证明见解析.
【分析】
由平行线的性质先得到， ，继而利用AAS证明，根据全等三角形的性质即可证得结论.
【详解】
，
， ，
在和中， ，
，
．
【点睛】
本题考查了全等三角形的判定与性质，熟练掌握全等三角形的判定方法是解题的关键.
13．见解析
【分析】
根据等边三角形的性质求得AC=BC，∠DAC=∠BCE，再根据SAS证明△ACD≌△CBE．
【详解】
证明：∵△ABC是等边三角形，
∴AC=BC，∠CAB=∠ACB=60°，
∴∠DAC=∠BCE=120°，
在△ACD和△CBE中
，
∵AD=CE，
∴△ACD≌△CBE（SAS）．
【点睛】
考查了全等三角形的判定定理、等边三角形的性质，解题关键是熟练掌握全等三角形的判定定理．
14．（1）见解析；（2）见解析；（3）见解析．
【分析】
（1）依据题意画出图形即可；
（2）过点A作AH⊥CD，交DC的延长线于H，由“AAS”可证△ABE≌△ACH，可得AE＝AH，BE＝CH，由“HL”可证Rt△AED≌Rt△AHD，可得结论；
（3）过点A作AG⊥BC于G，连接GD交BC延长线于N，由“AAS”可证△AGF≌△DNF，可得AG＝DN＝GN，可得结论．
【详解】
（1）解：如图3所示即为所求：

证明：（2）如图4，过点A作AH⊥CD，交DC的延长线于H，

∵AE⊥BD，AH⊥DH，
∴∠AED＝∠H＝90°．
∴∠EDH＋∠EAH＝180°．
∵AB＝AC，
∴∠ABC＝∠ACB．
∵∠BAC＋∠ABC＋∠ACB＝180°，
∴∠BAC＋2∠ABC＝180°．
又∵∠BDC＝2∠ABC，
∴∠BDC＋∠BAC＝180°．
∴∠BAC＝∠EAH．
∴∠BAC-∠CAE＝∠EAH-∠CAE．
即∠BAE＝∠CAH．
在△ABE和△ACH中，
∠AEB＝∠H，∠BAE＝∠CAH，AB＝AC，
∴△ABE≌△ACH（AAS）．
∴AE＝AH，BE＝CH．
在Rt△AED和Rt△AHD中，
AE＝AH，AD＝AD，
∴Rt△AED≌Rt△AHD（HL）．
∴DE＝DH．
∴DE＝BE＋CD；
证明：（3）如图5，过点A作AG⊥BC于点G，连接GD交BC的延长线于点N，

∵翻折△BCD得到△BCG，
∴BN⊥GD，GN＝DN，
∵F是AD的中点，
∴AF＝DF，
在△AGF和△DNF中，
∠AFG＝∠DFN，∠AGF＝∠DNF，AF＝DF，
∴△AGF≌△DNF（AAS）．
∴AG＝DN．
∴AG＝GN．
∴A，G两点到直线BC的距离相等．
【点睛】
本题几何变换综合题，考查了等腰三角形的性质、全等三角形的判定和性质、翻折的性质等知识，添加恰当辅助线构造全等三角形是本题的关键．
15．5
【分析】
先证△ADE≌△CFE，得到AD=CF=7，从而求出AB的长，再根据等角对等边即可得：AC=AB，最后根据AE=AC，即可求出AE.
【详解】
解：∵E是边AC的中点
∴AE=EC=AC
∵CF∥AB
∴∠A=∠FCE
在△ADE和△CFE中

∴△ADE≌△CFE
∴AD=CF=7
∴AB=AD+DB=10
∵∠B=∠ACB
∴AC=AB=10
∴AE=AC=5
【点睛】
此题考查的是全等三角形的判定及性质、等腰三角形的判定，掌握全等三角形的判定定理和等角对等边是解决此题的关键.
16．见解析
【分析】
首先由角平分线的性质可得DE＝DF，又有BD＝CD，可证Rt△BED≌Rt△DFC（HL），即可得出EB＝FC．
【详解】
证明：∵AD是△ABC的角平分线，DE⊥AB、DF⊥AC，
∴DE＝DF，∠BED＝∠CFD＝90°，
在Rt△BED和Rt△DFC中，
，
∴Rt△BED≌Rt△CFD（HL），
∴EB＝FC．
【点睛】
此题主要考查角平分线的性质和全等三角形的判定和性质，难度不大．

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