2023版大一轮数学人教A版-第2节-两直线的位置关系.docx

第2节　两直线的位置关系

知识梳理

1．两条直线平行与垂直的判定
(1)两条直线平行
对于两条不重合的直线l1，l2，其斜率分别为k1，k2，则有l1∥l2⇔k1＝k2．特别地，当直线l1，l2的斜率都不存在时，l1与l2平行．
(2)两条直线垂直
如果两条直线l1，l2斜率都存在，设为k1，k2，则l1⊥l2⇔k1·k2＝－1，当一条直线斜率为零，另一条直线斜率不存在时，两条直线垂直．
2.直线的交点与直线的方程组成的方程组的解的关系
(1)两直线的交点
点P的坐标既满足直线l1的方程A1x＋B1y＋C1＝0，也满足直线l2的方程A2x＋B2y＋C2＝0，即点P的坐标是方程组的解，解这个方程组就可以得到这两条直线的交点坐标.
(2)两直线的位置关系
方程组的解
一组
无数组
无解
直线l1与l2的公共点的个数
一个
无数个
零个
直线l1与l2的位置关系
相交
重合
平行
3.距离公式
(1)两点间的距离公式
平面上任意两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)间的距离公式为|P1P2|＝.
特别地，原点O(0，0)与任一点P(x，y)的距离|OP|＝.
(2)点到直线的距离公式
平面上任意一点P0(x0，y0)到直线l：Ax＋By＋C＝0的距离d＝.
(3)两条平行线间的距离公式
一般地，两条平行直线l1：Ax＋By＋C1＝0，l2：Ax＋By＋C2＝0间的距离d＝.
4．对称问题
(1)点P(x0，y0)关于点A(a，b)的对称点为P′(2a－x0，2b－y0)．
(2)设点P(x0，y0)关于直线y＝kx＋b的对称点为P′(x′，y′)，则有可求出x′，y′.

1．两直线平行的充要条件
直线l1：A1x＋B1y＋C1＝0与直线l2：A2x＋B2y＋C2＝0平行的充要条件是A1B2－A2B1＝0且B1C2－B2C1≠0(或A1C2－A2C1≠0)．
2．两直线垂直的充要条件
直线l1：A1x＋B1y＋C1＝0与直线l2：A2x＋B2y＋C2＝0垂直的充要条件是A1A2＋B1B2＝0.
3．点到直线、两平行线间的距离公式的使用条件
(1)求点到直线的距离时，应先化直线方程为一般式．
(2)求两平行线之间的距离时，应先将方程化为一般式且x，y的系数对应相等．

诊断自测

1．判断下列结论正误(在括号内打“√”或“×”)
(1)当直线l1和l2的斜率都存在时，一定有k1＝k2⇒l1∥l2.(　　)
(2)如果两条直线l1与l2垂直，则它们的斜率之积一定等于－1.(　　)
(3)若两直线的方程组成的方程组有唯一解，则两直线相交．(　　)
(4)直线外一点与直线上一点的距离的最小值就是点到直线的距离．(　　)
答案　(1)×　(2)×　(3)√　(4)√
解析　(1)两直线l1，l2有可能重合．
(2)如果l1⊥l2，若l1的斜率k1＝0，则l2的斜率不存在．

2．两条平行直线3x＋4y－12＝0与ax＋8y＋11＝0之间的距离为(　　)

A. B. C．7 D.
答案　D
解析　由题意知a＝6，直线3x＋4y－12＝0可化为6x＋8y－24＝0，所以两平行直线之间的距离为＝.
3．若三条直线y＝2x，x＋y＝3，mx＋2y＋5＝0相交于同一点，则m的值为________．
答案　－9
解析　由得
∴点(1，2)满足方程mx＋2y＋5＝0，
即m×1＋2×2＋5＝0，∴m＝－9.

4．(2021·武汉联考)若直线ax＋4y－2＝0与直线2x－5y＋b＝0垂直，垂足为(1，c)，则a＋b＋c＝(　　)
A．－2 B．－4 C．－6 D．－8
答案　B
解析　∵直线ax＋4y－2＝0与直线2x－5y＋b＝0垂直，∴－×＝－1，
∴a＝10，∴直线ax＋4y－2＝0的方程即为5x＋2y－1＝0.
将点(1，c)的坐标代入上式可得5＋2c－1＝0，
解得c＝－2.
将点(1，－2)的坐标代入方程2x－5y＋b＝0得2－5×(－2)＋b＝0，解得b＝
－12.
∴a＋b＋c＝10－12－2＝－4.故选B.
5．(2020·淮南二模)设λ∈R，则“λ＝－3”是“直线2λx＋(λ－1)y＝1与直线6x＋(1－λ)y＝4平行”的(　　)
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分又不必要条件
答案　A
解析　当λ＝－3时，两条直线的方程分别为6x＋4y＋1＝0，3x＋2y－2＝0，此时两条直线平行；若两条直线平行，则2λ×(1－λ)＝－6(1－λ)，所以λ＝－3或λ＝1，经检验，两者均符合，综上，“λ＝－3”是“直线2λx＋(λ－1)y＝1与直线6x＋(1－λ)y＝4平行”的充分不必要条件，故选A.
6．(2019·江苏卷)在平面直角坐标系xOy中，P是曲线y＝x＋(x>0)上的一个动点，则点P到直线x＋y＝0的距离的最小值是________．
答案　4
解析　法一　由题意可设P(x0>0)，
则点P到直线x＋y＝0的距离d＝＝≥＝4，当且仅当2x0＝，即x0＝时取等号．
故所求最小值是4.
法二　设P(x0>0)，则曲线在点P处的切线的斜率为k＝1－.令1－＝－1，结合x0>0得x0＝，∴P(，3)，曲线y＝x＋(x>0)上的点P到直线x＋y＝0的最短距离即为此时点P到直线x＋y＝0的距离，故dmin＝＝4.
考点一　两直线的平行与垂直

【例1】已知直线l1：ax＋2y＋6＝0和直线l2：x＋(a－1)y＋a2－1＝0.
(1)试判断l1与l2是否平行；
(2)当l1⊥l2时，求a的值．
解　(1)法一　当a＝1时，l1：x＋2y＋6＝0，l2：x＝0，l1不平行于l2；
当a＝0时，l1：y＝－3，l2：x－y－1＝0，l1不平行于l2；
当a≠1且a≠0时，两直线方程可化为l1：y＝－x－3，
l2：y＝x－(a＋1)，
l1∥l2⇔
解得a＝－1，综上可知，当a＝－1时，l1∥l2.
法二　由A1B2－A2B1＝0，得a(a－1)－1×2＝0，
由A1C2－A2C1≠0，得a(a2－1)－1×6≠0，∴l1∥l2⇔⇔可得a＝－1，
故当a＝－1时，l1∥l2.
(2)法一　当a＝1时，l1：x＋2y＋6＝0，l2：x＝0，
l1与l2不垂直，故a＝1不成立；
当a＝0时，l1：y＝－3，l2：x－y－1＝0，l1不垂直于l2，故a＝0不成立；
当a≠1且a≠0时，
l1：y＝－x－3，l2：y＝x－(a＋1)，
由·＝－1，得a＝.
法二　由A1A2＋B1B2＝0，得a＋2(a－1)＝0，可得a＝.
感悟升华　1.当含参数的直线方程为一般式时，若要表示出直线的斜率，不仅要考虑到斜率存在的一般情况，也要考虑到斜率不存在的特殊情况，同时还要注意x，y的系数不能同时为零这一隐含条件．
2．在判断两直线的平行、垂直时，也可直接利用直线方程的系数间的关系得出结论．
【训练1】 (1)经过抛物线y2＝2x的焦点且平行于直线3x－2y＋5＝0的直线l的方程是(　　)
A．6x－4y－3＝0 B．3x－2y－3＝0
C．2x＋3y－2＝0 D．2x＋3y－1＝0
(2)(多选题)(2021·重庆调研)已知直线l1：x＋my－1＝0，l2：(m－2)x＋3y＋3＝0，则下列说法正确的是(　　)
A．若l1∥l2，则m＝－1或m＝3
B．若l1∥l2，则m＝3
C．若l1⊥l2，则m＝－
D．若l1⊥l2，则m＝
答案　(1)A　(2)BD
解析　(1)因为抛物线y2＝2x的焦点坐标为，直线3x－2y＋5＝0的斜率为，所以所求直线l的方程为y＝，化为一般式，得6x－4y－3＝0.
(2)若直线l1∥l2，则3－m(m－2)＝0，解得m＝3或m＝－1，但m＝－1时，两直线方程分别为x－y－1＝0，－3x＋3y＋3＝0即x－y－1＝0，两直线重合，只有m＝3时两直线平行，A错误，B正确；
若l1⊥l2，则m－2＋3m＝0，m＝，C错误，D正确．

考点二　两直线的交点与距离问题

【例2】 (1)(2021·淮南模拟)已知直线kx－y＋2k＋1＝0与直线2x＋y－2＝0的交点在第一象限，则实数k的取值范围为(　　)
A.
B.∪(－1，＋∞)
C.∪
D.
(2)(2021·广州模拟)已知点P(4，a)到直线4x－3y－1＝0的距离不大于3，则a的取值范围是________．
答案　(1)D　(2)[0，10]
解析　(1)联立解得x＝，y＝(k≠－2)．
∵直线kx－y＋2k＋1＝0与直线2x＋y－2＝0的交点在第一象限，
∴>0，且>0.
解得－<k<.故选D.
(2)由题意得，点P到直线的距离为＝.
又≤3，即|15－3a|≤15，解之得0≤a≤10，
所以a的取值范围是[0，10]．
感悟升华　1.求过两直线交点的直线方程的方法
求过两直线交点的直线方程，先解方程组求出两直线的交点坐标，再结合其他条件写出直线方程．
2．利用距离公式应注意：(1)点P(x0，y0)到直线x＝a的距离d＝|x0－a|，到直线y＝b的距离d＝|y0－b|；(2)应用两平行线间的距离公式要把两直线方程中x，y的系数分别化为对应相等．
【训练2】 (1)(多选题)(2020·济宁调研)已知直线l1：2x＋3y－1＝0和l2：4x＋6y－9＝0，若直线l到直线l1的距离与到直线l2的距离之比为1∶2，则直线l的方程为(　　)
A．2x＋3y－8＝0 B．4x＋6y＋5＝0
C．6x＋9y－10＝0 D．12x＋18y－13＝0
(2)求经过直线l1：3x＋2y－1＝0和l2：5x＋2y＋1＝0的交点，且垂直于直线l3：3x－5y＋6＝0的直线l的方程为________________．
答案　(1)BD　(2)5x＋3y－1＝0
解析　(1)设直线l：4x＋6y＋m＝0，m≠－2且m≠－9，直线l到直线l1和l2的距离分别为d1，d2，由题知：d1＝，d2＝，因为＝，所以＝，即2|m＋2|＝|m＋9|，解得m＝5或m＝－，即直线l为4x＋6y＋5＝0或12x＋18y－13＝0.
(2)先解方程组
得l1，l2的交点坐标为(－1，2)，
再由l3的斜率求出l的斜率为－，
于是由直线的点斜式方程求出l：
y－2＝－(x＋1)，即5x＋3y－1＝0.
考点三　对称问题
角度1　点关于点对称

【例3】过点P(0，1)作直线l，使它被直线l1：2x＋y－8＝0和l2：x－3y＋10＝0截得的线段被点P平分，则直线l的方程为________．
答案　x＋4y－4＝0
解析　设l1与l的交点为A(a，8－2a)，则由题意知，点A关于点P的对称点B(－a，2a－6)在l2上，代入l2的方程得－a－3(2a－6)＋10＝0，解得a＝4，即点A(4，0)在直线l上，所以直线l的方程为x＋4y－4＝0.
感悟升华　1.点关于点的对称：点P(x，y)关于M(a，b)对称的点P′(x′，y′)满足
2．直线关于点的对称：直线关于点的对称可转化为点关于点的对称问题来解决，也可考虑利用两条对称直线是相互平行的，并利用对称中心到两条直线的距离相等求解．
角度2　点关于线对称

【例4】一束光线经过点P(2，3)射在直线l：x＋y＋1＝0上，反射后经过点Q(1，1)，则入射光线所在直线的方程为________．
答案　5x－4y＋2＝0
解析　设点Q(1，1)关于直线l的对称点为Q′(x′，y′)，由已知得解得
即Q′(－2，－2)，由光学知识可知，点Q′在入射光线所在的直线上，又kPQ′＝＝，
∴入射光线所在直线的方程为y－3＝(x－2)，即5x－4y＋2＝0.
感悟升华　1.若点A(a，b)与点B(m，n)关于直线Ax＋By＋C＝0(A≠0，B≠0)对称，则直线Ax＋By＋C＝0垂直平分线段AB，即有
2．几个常用结论
(1)点(x，y)关于x轴的对称点为(x，－y)，关于y轴的对称点为(－x，y)．
(2)点(x，y)关于直线y＝x的对称点为(y，x)，关于直线y＝－x的对称点为(－y，－x)．
(3)点(x，y)关于直线x＝a的对称点为(2a－x，y)，关于直线y＝b的对称点为(x，2b－y)．
角度3　线关于线对称
【例5】 (1)(2021·成都诊断)与直线3x－4y＋5＝0关于x轴对称的直线的方程是(　　)
A．3x－4y＋5＝0 B．3x－4y－5＝0
C．3x＋4y－5＝0 D．3x＋4y＋5＝0
(2)直线2x－y＋3＝0关于直线x－y＋2＝0对称的直线方程是________________．
答案　(1)D　(2)x－2y＋3＝0
解析　(1)设所求直线上点的坐标(x，y)，则关于x轴的对称点(x，－y)在已知的直线3x－4y＋5＝0上，所以所求对称直线方程为3x＋4y＋5＝0，故选D.
(2)设所求直线上任意一点P(x，y)，
则P关于x－y＋2＝0的对称点为P′(x0，y0)，
由得
由点P′(x0，y0)在直线2x－y＋3＝0上，
∴2(y－2)－(x＋2)＋3＝0，即x－2y＋3＝0.
感悟升华　求直线l1关于直线l对称的直线l2有两种处理方法：
(1)在直线l1上取两点(一般取特殊点)，利用点关于直线的对称的方法求出这两点关于直线l的对称点，再用两点式写出直线l2的方程．
(2)设点P(x，y)是直线l2上任意一点，其关于直线l的对称点为P1(x1，y1)(P1在直线l1上)，根据点关于直线对称建立方程组，用x，y表示出x1，y1，再代入直线l1的方程，即得直线l2的方程．
【训练3】已知直线l：2x－3y＋1＝0，点A(－1，－2)．求：
(1)点A关于直线l的对称点A′的坐标；
(2)直线m：3x－2y－6＝0关于直线l的对称直线m′的方程；
(3)直线l关于点A对称的直线l′的方程．
解　(1)设A′(x，y)，则
解得即A′.
(2)在直线m上取一点，如M(2，0)，则M(2，0)关于直线l的对称点必在m′上．设对称点为M′(a，b)，
则
解得即M′.
设m与l的交点为N，则由
得N(4，3)．又m′经过点N(4，3)，
∴由两点式得直线m′的方程为9x－46y＋102＝0.
(3)法一　在l：2x－3y＋1＝0上任取两点，
如P(1，1)，N(4，3)，
则P，N关于点A的对称点P′，N′均在直线l′上．
易知P′(－3，－5)，N′(－6，－7)，由两点式可得l′的方程为2x－3y－9＝0.
法二　设Q(x，y)为l′上任意一点，则Q(x，y)关于点A(－1，－2)的对称点为
Q′(－2－x，－4－y)，
∵Q′在直线l上，∴2(－2－x)－3(－4－y)＋1＝0，
即2x－3y－9＝0.
活用直线系方程
具有某些共同特点的所有直线的全体称为直线系，直线系方程问题是高中数学中的一类重要问题，在解题中有着重要的应用．在直线方程求解中，可以由特定条件设出直线系方程，再结合题目中其他条件求出具体直线，这个解题思路在解决许多问题时，往往能起到化繁为简，化难为易的作用．
一、相交直线系方程

【例1】已知两条直线l1：x－2y＋4＝0和l2：x＋y－2＝0的交点为P，求过点P且与直线l3：3x－4y＋5＝0垂直的直线l的方程．
解　法一　解l1与l2组成的方程组得到交点P(0，2)，因为k3＝，所以直线l的斜率k＝－，方程为y－2＝－x，即4x＋3y－6＝0.
法二　设所求直线l的方程为4x＋3y＋c＝0，由法一可知P(0，2)，将其代入方程，得c＝－6，所以直线l的方程为4x＋3y－6＝0.
法三　设所求直线l的方程为x－2y＋4＋λ(x＋y－2)＝0，即(1＋λ)x＋(λ－2)y＋4－2λ＝0，因为直线l与l3垂直，所以3(1＋λ)－4(λ－2)＝0，所以λ＝11，所以直线l的方程为4x＋3y－6＝0.
二、平行直线系方程
【例2】已知直线l1与直线l2：x－3y＋6＝0平行，l1与x轴、y轴围成面积为8的三角形，请求出直线l1的方程．
解　设直线l1的方程为x－3y＋c＝0(c≠6)，令y＝0，得x＝－c；令x＝0，得y＝，依照题意有×|－c|×＝8，c＝±4.所以l1的方程是x－3y±4＝0.
【例3】已知直线方程3x－4y＋7＝0，求与之平行且在x轴、y轴上的截距和是1的直线l的方程．
解　法一　设存在直线l：＋＝1，则a＋b＝1和－＝组成的方程组的解为a＝4，b＝－3.
故l的方程为－＝1，即3x－4y－12＝0.
法二　根据平行直线系方程可设直线l为3x－4y＋c＝0(c≠7)，则直线l在两坐标轴上截距分别对应的是－，，由－＋＝1，知c＝－12.故直线l的方程为3x－4y－12＝0.
三、垂直直线系方程
【例4】求经过A(2，1)，且与直线2x＋y－10＝0垂直的直线l的方程．
解　因为所求直线与直线2x＋y－10＝0垂直，所以设直线方程为x－2y＋c＝0，又直线过点A(2，1)，
所以有2－2×1＋c＝0，解得c＝0，
即所求直线方程为x－2y＝0.
思维升华　直线系方程的常见类型
1．过定点P(x0，y0)的直线系方程是y－y0＝k(x－x0)(k是参数，直线系中未包括直线x＝x0)；
2．平行于已知直线Ax＋By＋C＝0的直线系方程是Ax＋By＋λ＝0(λ是参数且λ≠C)；
3．垂直于已知直线Ax＋By＋C＝0的直线系方程是Bx－Ay＋λ＝0(λ是参数)；
4．过两条已知直线l1：A1x＋B1y＋C1＝0和l2：A2x＋B2y＋C2＝0的交点的直线系方程是A1x＋B1y＋C1＋λ(A2x＋B2y＋C2)＝0(λ∈R，但不包括l2)．

A级　基础巩固

一、选择题

1．已知点(a，2)(a>0)到直线l：x－y＋3＝0的距离为1，则a＝(　　)
A. B．2－ C.－1 D.＋1
答案　C
解析　由题意得＝1.
解得a＝－1＋或a＝－1－.
∵a>0，∴a＝－1＋.
2．已知直线l过点(0，7)，且与直线y＝－4x＋2平行，则直线l的方程为(　　)
A．y＝－4x－7 B．y＝4x－7
C．y＝4x＋7 D．y＝－4x＋7
答案　D
解析　过点(0，7)且与直线y＝－4x＋2平行的直线方程为y－7＝－4x，即直线l的方程为y＝－4x＋7，故选D.
3．已知b>0，直线(b2＋1)x＋ay＋2＝0与直线x－b2y－1＝0垂直，则ab的最小值为(　　)
A．1 B．2 C．2 D．2
答案　B
解析　由已知两直线垂直可得(b2＋1)－ab2＝0，即ab2＝b2＋1，又b>0，所以ab＝b＋.
由基本不等式得b＋≥2＝2，当且仅当b＝1时等号成立，所以(ab)min＝2.故选B.
4．坐标原点(0，0)关于直线x－2y＋2＝0对称的点的坐标是(　　)
A. B.
C. D.
答案　A
解析　设对称点的坐标为(x0，y0)，
则解得
即所求点的坐标是.
5．(2020·豫西五校联考)过点P(1，2)作直线l，若点A(2，3)，B(4，－5)到它的距离相等，则直线l的方程为(　　)
A．4x＋y－6＝0或x＝1
B．3x＋2y－7＝0
C．4x＋y－6＝0或3x＋2y－7＝0
D．3x＋2y－7＝0或x＝1
答案　C
解析　若A，B位于直线l的同侧，则直线l∥AB.
kAB＝＝－4，∴直线l的方程为y－2＝－4(x－1)，即4x＋y－6＝0；若A，B位于直线l的两侧，则直线l必经过线段AB的中点(3，－1)，∴kl＝＝－，
∴直线l的方程为y－2＝－(x－1)，即3x＋2y－7＝0.
综上，直线l的方程为4x＋y－6＝0或3x＋2y－7＝0，故选C.
6．(多选题)(2021·泰安调研)已知直线l：(a2＋a＋1)x－y＋1＝0，其中a∈R，则下列说法正确的是(　　)
A．当a＝－1时，直线l与直线x＋y＝0垂直
B．若直线l与直线x－y＝0平行，则a＝0
C．直线l过定点(0，1)
D．当a＝0时，直线l在两坐标轴上的截距相等
答案　AC
解析　对于A项，当a＝－1时，直线l的方程为x－y＋1＝0，显然与x＋y＝0垂直，所以正确；
对于B项，若直线l与直线x－y＝0平行，可知(a2＋a＋1)·(－1)＝1·(－1)，解得a＝0或a＝－1，所以不正确；
对于C项，当x＝0时，有y＝1，所以直线过定点(0，1)，所以正确；
对于D项，当a＝0时，直线l的方程为x－y＋1＝0，在两轴上的截距分别是－1，1，所以不正确．
7．(2021·宝鸡模拟)光线沿着直线y＝－3x＋b射到直线x＋y＝0上，经反射后沿着直线y＝ax＋2射出，则有(　　)
A．a＝，b＝6 B．a＝－3，b＝
C．a＝3，b＝－ D．a＝－，b＝－6
答案　D
解析　由题意，直线y＝－3x＋b与直线y＝ax＋2关于直线y＝－x对称，
所以直线y＝ax＋2上的点(0，2)关于直线y＝－x的对称点(－2，0)在直线y＝
－3x＋b上，
所以(－3)×(－2)＋b＝0，所以b＝－6，
所以直线y＝－3x－6上的点(0，－6)关于直线y＝－x的对称点(6，0)在直线y＝ax＋2上，所以6a＋2＝0，
所以a＝－.
8．(多选题)(2021·长沙模拟)已知直线l：x－y＋1＝0，则下列结论正确的是(　　)
A．直线l的倾斜角是
B．若直线m：x－y＋1＝0，则l⊥m
C．点(，0)到直线l的距离是2
D．过(2，2)与直线l平行的直线方程是x－y－4＝0
答案　CD
解析　对于A，直线l：x－y＋1＝0的斜率k＝tan θ＝，故直线l的倾斜角是，故A错误；
对于B，因为直线m：x－y＋1＝0的斜率k′＝，kk′＝1≠－1，故直线l与直线m不垂直，故B错误；
对于C，点(，0)到直线l的距离d＝＝2，故C正确；
对于D，过(2，2)与直线l平行的直线方程是y－2＝(x－2)，整理得：
x－y－4＝0，故D正确．
二、填空题
9．(2020·南昌重点中学联考)已知直线l1：y＝2x，则过圆x2＋y2＋2x－4y＋1＝0的圆心且与直线l1垂直的直线l2的方程为________．
答案　x＋2y－3＝0
解析　由题意可知圆的标准方程为(x＋1)2＋(y－2)2＝4，所以圆的圆心坐标为
(－1，2)，由已知得直线l2的斜率k＝－，所以直线l2的方程为y－2＝－(x＋1)，即x＋2y－3＝0.
10．直线x－2y－3＝0关于定点M(－2，1)对称的直线方程是________．
答案　x－2y＋11＝0
解析　设所求直线上任一点(x，y)，则关于M(－2，1)的对称点(－4－x，2－y)在已知直线上，∴所求直线方程为(－4－x)－2(2－y)－3＝0，即x－2y＋11＝0.
11．若P，Q分别为直线3x＋4y－12＝0与6x＋8y＋5＝0上任意一点，则PQ的最小值为________．
答案　
解析　因为＝≠，所以两直线平行，
将直线3x＋4y－12＝0化为6x＋8y－24＝0，
由题意可知|PQ|的最小值为这两条平行直线间的距离，
即＝，所以|PQ|的最小值为.
12．以点A(4，1)，B(1，5)，C(－3，2)，D(0，－2)为顶点的四边形ABCD的面积为________．
答案　25
解析　因为kAB＝＝－，kDC＝＝－.
kAD＝＝，kBC＝＝.
则kAB＝kDC，kAD＝kBC，所以四边形ABCD为平行四边形．
又kAD·kAB＝－1，即AD⊥AB，故四边形ABCD为矩形．
故S四边形ABCD＝|AB|·|AD|＝×＝25.

B级　能力提升

13．设△ABC的一个顶点是A(3，－1)，∠B，∠C的平分线的方程分别是x＝0，y＝x，则直线BC的方程是(　　)
A．y＝3x＋5 B．y＝2x＋3
C．y＝2x＋5 D．y＝－＋
答案　C
解析　A关于直线x＝0的对称点是A′(－3，－1)，关于直线y＝x的对称点是
A″(－1，3)，由角平分线的性质可知，点A′，A″均在直线BC上，所以直线BC的方程为y＝2x＋5.故选C.
14．(多选题)(2021·南京调研)已知直线l1：ax－y＋1＝0，l2：x＋ay＋1＝0，a∈R，以下结论正确的是(　　)
A．不论a为何值，l1与l2都互相垂直
B．当a变化时，l1与l2分别经过定点A(0，1)和B(－1，0)
C．不论a为何值，l1与l2都关于直线x＋y＝0对称
D．如果l1与l2交于点M，则|MO|的最大值是
答案　ABD
解析　对于A，a×1＋(－1)×a＝0恒成立，l1与l2都互相垂直恒成立，故A正确；
对于B，直线l1：ax－y＋1＝0，当a变化时，x＝0，y＝1恒成立，所以l1恒过定点A(0，1)；l2：x＋ay＋1＝0，当a变化时，x＝－1，y＝0恒成立，所以l2恒过定点B(－1，0)，故B正确；
对于C，在l1上任取点(x，ax＋1)，关于直线x＋y＝0对称的点的坐标为(－ax－1，－x)，代入l2：x＋ay＋1＝0，则等式左边不恒等于0，故C不正确；
对于D，联立解得
即M，
所以|MO|＝＝≤，所以|MO|的最大值是，故D正确．
15．已知直线l经过直线2x＋y－5＝0与x－2y＝0的交点，若点A(5，0)到直线l的距离为3，则l的方程为________．
答案　x＝2或4x－3y－5＝0
解析　法一　两直线交点为(2，1)，当斜率不存在时，所求直线方程为x－2＝0，此时A到直线l的距离为3，符合题意；
当斜率存在时，设其为k，则所求直线方程为y－1＝k(x－2)，即kx－y＋(1－2k)＝0.
由点到线的距离公式得d＝＝3，解得k＝，故所求直线方程为4x－3y－5＝0.
综上知，所求直线方程为x－2＝0或4x－3y－5＝0.
法二　经过两已知直线交点的直线系方程为(2x＋y－5)＋λ(x－2y)＝0，即(2＋λ)x＋(1－2λ)y－5＝0，
所以＝3，解得λ＝2或λ＝.
所以l的方程为x＝2或4x－3y－5＝0.
16．已知点A(4，－1)，B(8，2)和直线l：x－y－1＝0，动点P(x，y)在直线l上，则|PA|＋|PB|的最小值为________．
答案　
解析　设点A1与A关于直线l对称，P0为A1B与直线l的交点，∴|P0A1|＝|P0A|，|PA1|＝|PA|.

在△A1PB中，|PA1|＋|PB|>|A1B|＝|A1P0|＋|P0B|＝|P0A|＋|P0B|，
∴|PA|＋|PB|≥|P0A|＋|P0B|＝|A1B|.
当P点运动到P0时，|PA|＋|PB|取得最小值|A1B|.
设点A关于直线l的对称点为A(x1，y1)，则由对称的充要条件知解得∴A1(0，3)．
∴(|PA|＋|PB|)min＝|A1B|＝＝.