2020北京初二(上)期中数学汇编：实数和二次根式.docx

2020北京初二（上）期中数学汇编
实数和二次根式1
一、单选题
1．（2020·北京市延庆区教育科学研究中心八年级期中）若二次根式有意义，则实数的取值范围是（    ）
A． B． C． D．
2．（2020·北京市京源学校八年级期中）16的平方根是（    ）
A．±8 B．±4 C．4 D．－4
3．（2020·北京·大峪中学八年级期中）实数，在数轴上的位置如图所示，化简的结果是（   ）

A． B． C． D．
4．（2020·北京·大峪中学八年级期中）已知：，，，，若符合上面规律，则的值为（   ）
A．179 B．109 C．210 D．104
5．（2020·北京·大峪中学八年级期中）若表示二次根式，则的取值范围是（   ）
A． B． C． D．
6．（2020·北京·大峪中学八年级期中）下列二次根式中，最简二次根式（   ）
A． B． C． D．
7．（2020·北京市延庆区教育科学研究中心八年级期中）如图，从一个大正方形中裁去面积为30cm2和48 cm2的两个小正方形，则余下部分的面积为（    ）

A．78 cm2 B．cm2 C． cm2 D． cm2
8．（2020·北京市昌平区亭自庄学校八年级期中）下列二次根式中，最简二次根式是（    ）
A． B． C． D．
9．（2020·北京·大峪中学八年级期中）在实数-9、-0.1、、中，是无理数的是（    ）
A．-9 B．-0.1 C． D．
10．（2020·北京·大峪中学八年级期中）36的算术平方根是（    ）
A．6 B．-6 C．4或9 D．
二、填空题
11．（2020·北京市延庆区教育科学研究中心八年级期中）观察规律： ；
；
同理可得：；
依照上述规律，则__________；
______．
12．（2020·北京·大峪中学八年级期中）请你写出一个二次根式，要求被开方数只含有字母，且无论取任何数值时，这个二次根式都有意义，这个二次根式可以是___．
13．（2020·北京·大峪中学八年级期中）的相反数是___，绝对值是___．
14．（2020·北京·大峪中学八年级期中）比较大小：3_____5．（填“＞”、“＝”或“＜”）
15．（2020·北京市延庆区教育科学研究中心八年级期中）比较大小：
（1）__；
（2）__．
16．（2020·北京·临川学校八年级期中）计算：＝_______．
17．（2020·北京市昌平区亭自庄学校八年级期中）如果，则的值是______
18．（2020·北京市昌平区亭自庄学校八年级期中）如图，在数轴上点和点之间表示整数的点共有_____个

三、解答题
19．（2020·北京市延庆区教育科学研究中心八年级期中）一般情况下，不成立，但有些数可以使得它成立，例如：＝，＝．我们称使得成立的一对数，b为“有效数对”，记为(，)．
(1)判断数对①(，)，②(，)中是“有效数对”的是____；（只填序号）
(2)若(，)是“有效数对”，求的值；
(3)若(，)是“有效数对”，求代数式的值．
20．（2020·北京市延庆区教育科学研究中心八年级期中）阅读理解：对于任意正实数．
∵，
∴，
∴，
∴当时，有最小值．
根据上述内容，回答下列问题：
(1)若>0，只有当=______时，有最小值；
(2)若>0，求为何值时，有最小值，并求出这个最小值．
21．（2020·北京市延庆区教育科学研究中心八年级期中）计算：．
22．（2020·北京市延庆区教育科学研究中心八年级期中）计算：．
23．（2020·北京市延庆区教育科学研究中心八年级期中）计算：
24．（2020·北京·大峪中学八年级期中）计算：．
25．（2020·北京·大峪中学八年级期中）先阅读下列的解答过程，然后作答：
形如的化简，只要我们找到两个数、使，，这样，那么便有．例如：化简解：首先把化为，这里，；由于，，即
．
由上述例题的方法化简：
（1）；
（2）．
26．（2020·北京·大峪中学八年级期中）．
27．（2020·北京·大峪中学八年级期中）计算：．
28．（2020·北京·大峪中学八年级期中）化简求值：，其中．
29．（2020·北京市昌平区亭自庄学校八年级期中）计算：
30．（2020·北京市昌平区亭自庄学校八年级期中）计算：

参考答案
1．C
【分析】根据二次根式有意义的条件，可得：x-3≥0，据此求出实数x的取值范围即可．
【详解】解：∵二次根式有意义，
∴x-3≥0，
解得：x≥3．
故选：C．
【点睛】此题主要考查了二次根式有意义的条件，解答此题的关键是要明确：二次根式中的被开方数是非负数．
2．B
【分析】根据平方根的定义求解即可．
【详解】解：
16的平方根是±4
故选B
【点睛】本题考查了平方根的定义，掌握平方根的定义是解题的关键，如果一个数的平方等于，那么这个数就叫的平方根．
3．C
【分析】先根据，两点在数轴上的位置判断出，的符号，再把各二次根式进行化简即可．
【详解】解：由图可知，，，
，
原式．
故选：C．
【点睛】本题考查了二次根式的性质与化简，关键是根据二次根式的性质化简解答．
4．B
【分析】分析数据可得：，有；，有；若，必有；且，则；则．
【详解】解：，可得；
，可得；
，则，，
则，
．
故选：B．
【点睛】本题考查了根据算术平方根的性质化简，根据题意找到规律是解题的关键．
5．B
【分析】根据二次根式中的被开方数必须是非负数列出不等式，解不等式即可．
【详解】解：由题意得，，
解得，，
故选：B．
【点睛】本题考查的是二次根式有意义的条件，掌握二次根式中的被开方数必须是非负数是解题的关键．
6．D
【分析】根据最简二次根式的定义逐个判断即可．
【详解】解：．被开方数中的因数不是整数，不是最简二次根式，故本选项不符合题意；
．被开方数中的因数不是整数，不是最简二次根式，故本选项不符合题意；
．被开方数中含有能开得尽方的因数，不是最简二次根式，故本选项不符合题意；
．是最简二次根式，故本选项符合题意；
故选：D．
【点睛】本题考查了最简二次根式，掌握最简二次根式是解题的关键．最简二次根式必须满足两个条件：被开方数中不含能开得尽方的因数或因式；被开方数的因数是整数，因式是整式．
7．D
【分析】根据两小正方形的面积求出大正方形的边长及面积，然后减去两个小正方形的面积，即可求出阴影部分的面积进而得出答案．
【详解】解：从一个大正方形中裁去面积为30cm2和48cm2的两个小正方形，
大正方形的边长是，
留下部分（即阴影部分）的面积是：

故选：D．
【点睛】此题主要考查了二次根式的应用，正确求出大正方形的面积是关键．
8．B
【分析】根据最简二次根式的定义对各选项分析判断后利用排除法求解．
【详解】A、被开方数中含有分母，不是最简二次根式，故本选项错误；
B、是最简二次根式，故本选项正确；
C、被开方数中含有能开得尽方的因数，不是最简二次根式，故本选项错误；
D、被开方数中含有能开得尽方的因式，不是最简二次根式，故本选项错误；
故选：B．
【点睛】本题考查最简二次根式的定义．根据最简二次根式的定义，最简二次根式必须满足两个条件：（1）被开方数不含分母；（2）被开方数不含能开得尽方的因数或因式．
9．C
【分析】无理数就是无限不循环小数．理解无理数的概念，一定要同时理解有理数的概念，有理数是整数与分数的统称．即有限小数和无限循环小数是有理数，而无限不循环小数是无理数．由此即可判定选择项．
【详解】A、是整数，是有理数，选项错误；
B、是有限小数，是有理数，选项错误；
C、是无理数，选项正确；
D、是分数，是有理数，选项错误，．
故选：C．
【点睛】此题主要考查了无理数的定义，其中初中范围内学习的无理数有：π，2π等；开方开不尽的数；以及像0.1010010001…，等有这样规律的数．
10．A
【分析】根据算术平方根的定义即可求出结果．
【详解】∵62=36
∴36的算术平方根是6．
故选A．
【点睛】此题主要考查了算术平方根的概念，解题时需要注意它与平方根的联系和区别．
11．          2019
【分析】利用分母有理化计算； 对于，先分母有理化，然后合并后利用平方差公式计算．
【详解】解：；

．
故答案为； 2019．
【点睛】本题考查了二次根式的混合运算：先把二次根式化为最简二次根式，然后进行二次根式的乘除运算，再合并即可．在二次根式的混合运算中，如能结合题目特点，灵活运用二次根式的性质，选择恰当的解题途径，往往能事半功倍．
12．（答案不唯一）
【分析】直接利用二次根式有意义的条件得出符合题意的答案．
【详解】解：例如：（答案不唯一），
故答案为：（答案不唯一）．
【点睛】本题考查了二次根式的定义及性质，二次根式有意义的条件，理解二次根式的性质是解题的关键．
13．         
【分析】根据相反数的定义：只有符号不同的两个数互为相反数以及正数的绝对值是它本身进行解答即可．
【详解】解：的相反数是，绝对值是．
故答案为：，．
【点睛】本题主要考查了相反数的定义，绝对值的性质，熟记定义与性质是解题的关键，是基础题，比较简单．
14．＜．
【分析】先把根号外的因式移入根号内，再比较即可．
【详解】解：3=，5=，
∵45＜50，
∴
∴，
故答案为：＜．
【点睛】本题考查了算术平方根和二次根式的大小比较，能选择适当的方法比较两个数的大小是解此题的关键．
15．     ＜     ＞
【分析】（1）根据正数与负数的大小关系即得结果；
（2）借助中间数3.15来进行比较，3.15的平方小于10，而3.15又大于，从而可得结果．
【详解】解：（1）根据正数大于一切负数可得：．
故答案为：
（2）
∴
∵

故答案为：
【点睛】本题主要考查了实数大小的比较．对于无理数的比较，一个是直接估算其近似值比较；另一个则借助于中间数，利用中间数大于其中一个数而小于另一个数，则可得这两个数的大小．
16．
【分析】先将分母有理化，分子计算二次根式的乘法，化为最简二次根式，最后约分即可．
【详解】
故答案为：．
【点睛】本题考查二次根式的混合运算，其中涉及分母有理化、最简二次根式等知识，是重要考点，难度较易掌握相关知识是解题关键．
17．3
【分析】根据算术平方根与平方的和为0 可得算术平方根与平方同时为0，可得答案；
【详解】∵
∴，
∴x=，y=2，
∴
故答案为3.
【点睛】本题考查算术平方根的非负性，熟记几个非负数的和为0则这几个非负数都是0是解题的关键.
18．4
【分析】先确定以及的范围，再求出与之间的整数即可．
【详解】，，
与之间的整数为：－1、0、1、2，共4个．
故答案为：4．
【点睛】本题主要考查无理数的估算能力以及数轴的意义，数形结合思想的运用是解题关键．
19．(1)②
(2)
(3)
【分析】（1）把和代入中求值，再代入中求值，若所求值相等，即为有效数对，若不相等则不是有效数对；
（2）把代入中，解方程即可得出答案；
（3）把代入中，化简可得，再化简代数式可得，再把代入即可得出答案．
（1）
①把代入中，
原式，
又因为，，
所以不是“有效数对”；
②把代入中，
原式，
又因为，，
所以是“有效数对”．
故答案为：②；
（2）
把代入中，
得，
解得：，
经检验符合题意；
（3）
把代入中，
得
化简整理得，
．
【点睛】本题主要考查了新定义，分式的加减，以及分式方程的解法，正确理解题目应用分式的加减法则进行计算是解决本题的关键．
20．(1)
(2)当时，有最小值，最小值为．
【分析】（1）根据材料可知当时，有最小值，结合>0可求m的值；
（2）根据材料可知当时，有最小值，结合>0可求m的值．
（1）
解：由题意知：当时，有最小值，
∴当时，有最小值，
∴，
∵，
∴，
故答案为：；
（2）
解：由题意知：当时，有最小值，
∴当时，有最小值，
∴，
∵>0，
∴，
即当时，有最小值，最小值为．
【点睛】本题考查了二次根式的性质，分式的乘法，正确理解材料中的内容并能够灵活运用是解题的关键．
21．
【分析】直接利用算术平方根的性质、立方根的性质、绝对值的性质分别化简，进而计算得出答案；
【详解】解：原式=
=
【点睛】此题主要考查了实数的运算，正确化简各数是解题关键．
22．
【分析】根据二次根式的加减运算法则即可求出答案．
【详解】解：原式=
=
【点睛】本题考查二次根式的加减运算、二次根式的性质及化简，解题的关键是熟练运用二次根式的加减运算，本题属于基础题型．
23．
【分析】根据二次根式的乘法运算法则求解即可．
【详解】解：原式=
=
【点睛】此题考查了二次根式的乘法运算，平方差公式和完全平方公式，解题的关键是熟练掌握二次根式的乘法运算法则．
24．
【分析】先根据二次根式的性质、负整数指数幂的性质、零指数幂的性质以及绝对值的性质进行计算，然后再算加减即可．
【详解】解：

．
【点睛】本题考查实数的混合运算，根据二次根式的性质、负整数指数幂的性质、零指数幂的性质以及绝对值的性质求解是解题关键．
25．（1）；（2）
【分析】先把各题中的无理式变成的形式，再根据范例分别求出各题中的、，即可求解．
【详解】解：（1）；
（2）．
【点睛】本题考查了二次根式的化简，完全平方公式的应用，掌握二次根式的性质以及完全平方公式是解题的关键．
26．
【分析】直接利用二次根式乘除运算法则求出答案．
【详解】解：原式，
，
．
【点睛】此题主要考查二次根式的运算，解题的关键是熟知二次根式的乘除运算法则．
27．
【分析】先把各根式化为最简二次根式，再合并同类项即可．
【详解】解：原式

．
【点睛】本题考查了二次根式的混合运算，熟练掌握二次根式的性质是解决问题的关键．
28．，
【分析】原式括号中两项通分并利用同分母分式的减法法则计算，同时利用除法法则变形，约分得到最简结果，把已知代入计算即可求出值．
【详解】解：原式

，
，
原式．
【点睛】此题考查了分式的化简求值，熟练掌握运算法则是解本题的关键，也考查了二次根式的基本性质．
29．5
【分析】直接利用乘法公式以及二次根式的混合运算法则计算得出答案．
【详解】解：原式=2+3-2+2=5．
【点睛】本题考查了二次根式的混合运算，正确化简二次根式是解题的关键．
30．
【分析】依次进行化简二次根式、开立方、去绝对值以及0指数幂的运算，最后合并同类二次根式即可．
【详解】

．
【点睛】本题主要考查二次根式的化简、同类二次根式的合并、绝对值以及0指数幂的运算，掌握二次根式的性质以及0指数幂的运算法则是解题关键．

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