上海市建平中学2020-2021学年高一上学期期中考试数学试卷.doc

2020-2021学年上海建平中学高一期中数学试卷
2020.11

一. 填空题
1. 方程的解为
2. 若代数式有意义，则其中实数的取值范围是
3. 已知集合，，则
4. 已知，当取到最大值时，
5. 幂函数的图像经过，则该函数的解析式是
6. 请写出陈述句“且”的否定形式
7. 已知“若，则”为真命题，则实数的取值范围是
8. 已知常数且，若无论取何值，函数（、为实数）的图像过
定点，则的值为
9. 若，，，则的最小值为
10. 若关于的不等式的解集为，则实数的取值
为
11. ，，，则的取值范围是
12. 某新款汽车在进行测试中，驾驶员在一次加满油后的连续行驶过程中从汽车仪表盘得
到如下信息：
时间
油耗（升/100公里）
可继续行驶距离（公里）
10：00
10
400
11：00
9.8
300
【注：油耗，可继续行驶得距离，
平均油耗】
从上述信息可推断在10：00-11：00这1小时内 （填上所有正确判断的序号）
① 行驶的里程为100公里 ② 行驶得里程超过100公里
③ 平均油耗超过9.8升/100公里 ④ 平均油耗低于9.8升/100公里
⑤ 平均车速超过100公里/小时 ⑥ 平均车速低于100公里/小时

二. 选择题
13. 设，已知命题且，命题，则是成立的
（ ）
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件
14. 已知实数、满足（），则下列关系式恒成立的是（ ）
A. B. C. D.
15. 关于函数，下列说法正确的是（ ）
A. 若，则函数只有最大值没有最小值
B. 若，则函数只有最小值没有最大值
C. 若，则函数有最大值没有最小值
D. 若，则函数有最小值也有最大值
16. 下列不等式判断正确的有（ ）
（1）； （2）；
（3）若，则； （4）若，则；
A.（1）（3） B.（2）（3） C.（2）（4） D.（2）（3）（4）

三. 解答题
17. 解不等式组：.

18. 已知、为实数，求证：，并指出等号成立条件.

19. 数据显示，在线直播带货可为卖家赚取更多的利润，双十一活动将至，某猫平台利用带
货直播优势邀请著名主播李某琪带货某农产品，助力脱贫攻坚，假设直播在线购买人数
（单位：人）与某产品销售单价（单位：元）满足的关系式：，其中
，为常数，当该产品销售单价为25元时，在线购买人数为2015人；
（1）求实数的值；
（2）假设该产品成本单价为20元，且每人限购1件，试确定销售单价，使该产品直播后助力脱贫所获得的利润最大，并求利润最大值.

20. 已知，设方程的根分别为、（），方程
的根分别为、（）.
（1）若，试求出以、为根，且二次项系数为1的实系数一元二次方程；
（2）若，求的取值范围.

21. 已知集合是集合的一个含有9个元素
的子集.
（1）当时，设，
① 写出方程的解；
② 若方程（）至少有三组不同的解，写出的所有可能值；
（2）证明：对于任意的集合，存在正整数，使得方程至少有三个不同的解.

参考答案
一. 填空题
1. 2. 3. 4.
5. 6. 或 7. 8. 3
9. 10. 3 11. 12. ②④⑤
10.【解析】由题意得：得两个解为、，则由韦达定理得
，由题意得.
11.【解析】，，
，
，，，

对称性可知：.
12.【解析】实际用油量：，
行驶的路程， ①错误，②正确；
设为已用由量，为一小时内的用油量，
为已行驶的路程，为一小时内的已行驶的路程，
，；

④正确；，⑤正确；所以选②、④、⑤
二. 选择题
13. A 14. A 15. D 16. B
15. 【解析】，大致图形如下：

第15题图 第16题图

16. 【解析】
（1）欲证，只要证，
结论明显不对；
（2），结合计算器可算出，或者利用函数单调性；
（3）用反证法，若，矛盾；
（4）画出大致图即可

三. 解答题
17. 原不等式组等价于：，则方程组的解为.

18. 证明：由三角不等式有：，
当且仅当取等号，同理
当且仅当取等号，两式相加，
当且仅当取等号，即：，当且仅当取等号.

19.（1）将，代入可得：，
（2）依题意所得利润

∴当，最大利润为10100元.

20.（1）；
（2），
，
则；
.

21. （1）①显然
②所有数依次与2001的差值为1,4,6,10,12,15,16,18；
所有数依次与2002的差值为3,5,9,11,14,15,17；
所有数依次与2005的差值为2,6,8,11,12,14；
所有数依次与2007的差值为4,6,9,10,12；
所有数依次与2011的差值为2,5,6,8；
所有数依次与2013的差值为3,4,6；
所有数依次与2016的差值为1,3；
所有数依次与2017的差值为2；
综上：数字2,3,4,6,12均至少出现三次；
（2）反证法：假设对于任意的正整数，方程至多有2组不同的解，
设，则，
另一方面，矛盾，即假设不成立
原命题得证！