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沪科版八年级下册数学期末试卷
一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，满分40分）
1．（4分）下列根式为最简二次根式的是（　　）
A．2 B． C． D．
2．（4分）下列四组数据中不能作为直角三角形的三边长是（　　）
A．3，4，5 B．13，14，15 C．1，，2 D．8，15，17
3．（4分）用配方法解一元二次方程x2+2x﹣2＝0时，原方程可变形为（　　）
A．（x+1）2＝2 B．（x﹣1）2＝2 C．（x+1）2＝3 D．（x﹣1）2＝3
4．（4分）下列二次根式中，与是同类二次根式的是（　　）
A． B． C． D．
5．（4分）一个多边形的内角和是外角和的4倍，这个多边形的边数是（　　）
A．8 B．9 C．10 D．11
6．（4分）某班篮球爱好小组10名队员进行定点投篮练习，每人投篮20次，将他们投中的次数进行统计，制成如表：
投中次数
12
13
15
16
17
18
人数
1
2
3
2
1
1
则关于这10名队员投中次数组成的数据，下列说法错误的是（　　）
A．平均数为15 B．中位数为15 C．众数为15 D．方差为5
7．（4分）在▱ABCD中，下列说法不正确的是（　　）
A．若点M是BC的中点，∠MAD＝∠MDA，则▱ABCD是矩形
B．若∠BAC＝∠DAC，则▱ABCD是菱形
C．若点E、F分别是AB、CD的中点，且AF＝DE，则▱ABCD是矩形
D．若边AB、BC、CD、DA的中点分别为P、Q、H、I且PQ＝QH＝HI＝IP，则▱ABCD是菱形
8．（4分）元旦来临前，某商场将一件原价为a元的衬衫以一个给定的百分比提升价格，元旦那天商场又按照新的价格以相同的百分比降低了这件衬衫的价格，最终，衬衫的价格比原价降低了0.16a元，则这个给定的百分比为（　　）
A．16% B．36% C．40% D．50%
9．（4分）如图，点E在▱ABCD边AB上，点F、G两点在边CD上，若AF与DE相交于M点，AG与DE相交于N点，则下列三角形面积的大小关系正确的是（　　）

A．S△AEF＞S△AEG，S△AMD＞S△NEG
B．S△AEF＜S△AEG，S△AMD＜S△NEG
C．S△AEF＝S△AEG，S△AMD＞S△NEG
D．S△AEF＝S△AEG，S△AMD＜S△NEG
10．（4分）如图，l1∥l2∥l3，且相邻两条直线间的距离都是2，A，B，C分别为l1，l2，l3上的动点，连接AB、AC、BC，AC与l2交于点D，∠ABC＝90°，则BD的最小值为（　　）

A．2 B．3 C．4 D．5
二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，满分20分）
11．（5分）若在实数范围内有意义，则x的取值范围是　 　．
12．（5分）若关于x的一元二次方程2x2﹣3x+m＝0的一个实数根是x＝3，则m的值为 　 　．
13．（5分）如图，△ABC与△ADE均是等腰直角三角形，点B，C，D在同一直线上，AB＝AC＝2，AD＝AE＝3，∠BAC＝∠DAE＝90°，则CD＝　 　．

14．（5分）如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，AB＞BC，点D为边AC上一点，连接BD，将△ABD沿BD翻折得△BDE，连接CE，
（1）若DE⊥AC，则∠BDC的度数为 　 　°；
（2）若四边形BDEC是平行四边形，AC＝4，则AB＝　 　．

三、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分）
15．（8分）计算：（+1）2﹣+（﹣2）2
16．（8分）解方程：2x2﹣4x＝15．
四、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分）
17．（8分）先化简，再求值：，其中．
18．（8分）如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，对角线AC⊥BD于点O，过点D作DE∥AC交BC的延长线于点E，且BC＝CE．
（1）求证：四边形ABCD是菱形；
（2）若OD＝DE，OC＝1，求菱形ABCD的周长．

五、（本大题共2小题，每小题10分，满分20分）
19．（10分）已知：关于x的方程2x2+kx+k﹣3＝0．
（1）试说明无论k取何值时，方程总有两个不相等的实数根；
（2）若k＝5，请解此方程．
20．（10分）观察下列等式：
第1个等式：；
第2个等式：；
第3个等式：；
…
按照以上规律，解决下列问题：
（1）写出第4个等式：　 　；
（2）写出你猜想的第n个等式：　 　（用含n的式子表示），并证明．
六、（本题满分12分）
21．（12分）春季是传染病的高发期，某校为了调查学生对传染病预防知识的了解情况，从全校学生中随机抽取了部分学生进行相关知识的测试，并将测试成绩（x）分为五个等级：A（90≤x≤100），B（80≤x＜90），C（70≤x＜80），D（60≤x＜70），E（50≤x＜60），整理后分别绘制成如图所示的频数分布直方图和扇形统计图（部分信息不完整）．
（1）求测试等级为C的学生人数，并补全频数分布直方图；
（2）求扇形统计图中等级为B所对应的扇形圆心角的度数；
（3）若全校1200名学生都参加测试，请根据抽样测试的结果，估计该校测试不低于80分的学生有多少人？

七、（本题满分12分）
22．（12分）合肥百货大楼以进价120元/件购进某种新商品，在5月份试销阶段发现，在售价不低于130元的情况下每件售价（元）与商品的日销量（件）始终存在如表中的数量关系：
每件销售价格/元
130
135
140
…
180
…
日销售量/件
70
65
60
…
a
…
（1）请你观察表格中数据的变化规律，填写表中的a值为 　 　．
（2）若百货大楼该商品柜组想日盈利达到1600元，应将售价定为多少元？
（3）柜组售货员小李发现销售该种商品m件与n件的利润相同，且m≠n，请直接写出m与n所满足的关系式．
八、（本题满分14分）
23．（14分）在▱ABCD中，点M为AB的中点．
（1）如图1，若∠A＝90°，连接DM且∠BMD＝3∠ADM，试探究AB与BC的数量关系；
（2）如图2，若∠A为锐角，过点C作CE⊥AD于点E，连接EM，∠BME＝3∠AEM，
①求证：AB＝2BC；
②若EA＝EC，求的值．

参考答案与试题解析
一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，满分40分）
1．【分析】根据最简二次根式的定义判断即可．
【解答】解：A选项，2是最简二次根式，符合题意；
B选项，原式＝，不是最简二次根式；
C选项，原式＝，不是最简二次根式；
D选项，原式＝2，不是最简二次根式；
故选：A．
2．【分析】利用勾股定理逆定理进行分析即可．
【解答】解：A、32+42＝52，能构成直角三角形，故此选项不合题意；
B、132+142≠152，不能构成直角三角形，故此选项符合题意；
C、12+（）2＝22，能构成直角三角形，故此选项不符合题意；
D、82+152＝172，能构成直角三角形，故此选项不合题意．
故选：B．
3．【分析】将常数项移到方程的右边，两边都加上一次项系数一半的平方配成完全平方式后即可．
【解答】解：∵x2+2x＝2，
∴x2+2x+1＝2+1，即（x+1）2＝3，
故选：C．
4．【分析】根据同类二次根式的定义，先化简，再判断．
【解答】解：A.与的被开方数不相同，故不是同类二次根式；
B.，与不是同类二次根式；
C.，与被开方数相同，故是同类二次根式；
D.，与被开方数不同，故不是同类二次根式．
故选：C．
5．【分析】设这个多边形的边数为n，根据内角和公式以及多边形的外角和为360°即可列出关于n的一元一次方程，解方程即可得出结论．
【解答】解：设这个多边形的边数为n，则该多边形的内角和为（n﹣2）×180°，
依题意得：（n﹣2）×180°＝360°×4，
解得：n＝10，
∴这个多边形的边数是10．
故选：C．
6．【分析】依次根据加权平均数、中位数、众数及方差的定义求解即可．
【解答】解：这组数据的平均数为＝15，故A选项正确，不符合题意；
将数据从小到大排列，第5第6个数都是15，中位数为＝15，故B选项正确，不符合题意；
15出现的次数最多，众数为15，故C选项正确，不符合题意；
方差为×[（12﹣15）2+2×（13﹣15）2+3×（15﹣15）2+2×（16﹣15）2+（17﹣15）2+（18﹣15）2]＝3.2，故D选项错误，符合题意；
故选：D．
7．【分析】依据平行四边形的性质，矩形的判定，菱形的判定以及中点四边形，对四个选项进行判断，即可得出结论．
【解答】解：A．如图所示，∵点M是BC的中点，
∴BM＝CM，
又∵平行四边形ABCD中，AB＝DC，∠MAD＝∠MDA，
∴△ABM与△DCM全等，
∴∠B＝∠C，
又∵∠B+∠C＝180°，
∴∠B＝∠C＝90°，
∴平行四边形ABCD是矩形，故本选项正确；

B．如图所示，∵平行四边形ABCD中，AD∥BC，AB∥DC，
∴∠DAC＝∠ACB，
又∵∠BAC＝∠DAC，
∴∠BAC＝∠ACB，
∴AB＝BC，
∴平行四边形ABCD是菱形，故本选项正确；

C．如图所示，∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB＝DC，
∵点E、F分别是AB、CD的中点，
∴AE＝DF，
又∵DE＝AF，AD＝DA，
∴△ADE与△DAF全等，
∴∠DAE＝∠ADF，
又∵∠DAB+∠ADF＝180°，
∴∠DAE＝∠ADF＝90°，
∴平行四边形ABCD是矩形，故本选项正确；

D．如图所示，∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD＝BC，AB＝DC，
又∵边AB、BC、CD、DA的中点分别为P、Q、H、I，
∴AI＝DI＝BQ＝CQ，AP＝DH＝PB＝HC，
又∵PQ＝QH＝HI＝IP，
∴△API≌△DHI≌△BPQ≌△CHQ，
∴∠A＝∠D＝∠B＝∠C，
又∵∠A+∠B+∠C+∠D＝360°，
∴∠A＝∠D＝∠B＝∠C＝90°，
∴四边形ABCD是矩形，故本选项错误；

故选：D．
8．【分析】设这个给定的百分比为x，根据“衬衫的价格比原价降低了0.16a元”列出方程求解即可．
【解答】解：设这个给定的百分比为x，根据题意得，
a（1+x）（1﹣x）＝a﹣0.16a，
解得x1＝0.4，x2＝﹣0.4（舍去），
即这个给定的百分比为40%．
故选：C．
9．【分析】根据平行四边形性质和平行线间距离相等的性质，可得S△AEF＝S△AED＝S△AEG，再结合S△AED＝S△AEM+S△AMD，S△AEG＝S△AEN+S△NEG，S△AEM＞S△AEN，即可得出答案．
【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD，
∴△AEF、△AEG、△AED的边AE上的高相等，
∴S△AEF＝S△AED＝S△AEG，
∴S△AEM+S△AMD＝S△AEN+S△NEG，
∵S△AEM＞S△AEN，
∴S△AMD＜S△NEG，
故选：D．
10．【分析】求BD的最小值可以转化为求点B到直线AC的距离，当BD⊥AC时，BD有最小值，根据题意求解即可．
【解答】解：由题意可知当BD⊥AC时，BD有最小值，
此时，AD＝CD，∠ABC＝90°，
∴BD＝AD＝BD＝AC＝2，
∴BD的最小值为2．
故选：A．
二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，满分20分）
11．【分析】先根据二次根式有意义的条件得出关于x的不等式，求出x的取值范围即可．
【解答】解：∵使在实数范围内有意义，
∴2x﹣6≥0，
解得x≥3．
故答案为：x≥3．
12．【分析】将方程的解代入原方程求解．
【解答】解：∵关于x的一元二次方程2x2﹣3x+m＝0的一个实数根是x＝3，
∴2×32﹣3×3+m＝0，
解得：m＝﹣9，
故答案为：﹣9．
13．【分析】由“SAS”可证△BAD≌△CAE，可得EC＝BD，∠ABD＝∠ACE＝45°，在Rt△ECD中，由勾股定理可求CD的长．
【解答】解：∵AB＝AC＝2，AD＝AE＝3，∠BAC＝∠DAE＝90°，
∴BC＝AB＝2，DE＝AE＝3，∠BAD＝∠CAE，∠ABC＝45°＝∠ACB，
在△BAD和△CAE中，
，
∴△BAD≌△CAE（SAS），
∴EC＝BD，∠ABD＝∠ACE＝45°，
∴∠ECB＝∠ECD＝90°，
∴DE2＝EC2+CD2，
∴18＝（2+CD）2+CD2，
解得：CD＝﹣，CD＝﹣﹣（不合题意舍去），
故答案为：﹣．
14．【分析】（1）由翻折的性质可得△ABC≌△BDE，由此可证得90°+∠CDB＝∠ADB＝180°﹣∠CDB，即可求∠CDB；
（2）由已知可得∠CDB＝∠CBD，则CD＝BC，进一步得到ED＝AD＝BD＝CB＝CD，所以AC＝2BC，在Rt△ABC中，AC＝4，BC＝2，勾股定理可求AB＝2．
【解答】解：（1）∵△ABD沿BD翻折得△BDE，
∴△ABC≌△BDE，
∴∠EDB＝∠ADB，
∵DE⊥AC，
∴∠EDC＝90°，
∴90°+∠CDB＝∠ADB＝180°﹣∠CDB，
∴2∠CDB＝90°，
∴∠CDB＝45°，
故答案为45°；
（2）∵四边形BDEC是平行四边形，
∴ED∥BC，
∴∠EDB+∠DBC＝180°，
∵∠ADB+∠CDB＝180°，
∵∠EDB＝∠ADB，
∴∠CDB＝∠CBD，
∴CD＝BC，
∵ED＝BC，
∴ED＝AD＝CB＝CD，
∵∠A+∠ACB＝90°，∠A＝∠DEB，∠ACB＝∠EDC，
∴∠EOD＝90°，
∵EO＝BO，
∴△EBD是等腰三角形，
∴ED＝BD，
∴AC＝2BC，
在Rt△ABC中，AC＝4，
∴BC＝2，
∴AB＝2，
故答案为2．

三、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分）
15．【分析】先根据完全平方公式、二次根式的性质、乘方的运算法则计算，再计算加减可得．
【解答】解：原式＝2+2+1﹣2+4＝7．
16．【分析】利用配方法解一元二次方程．
【解答】解：2x2﹣4x＝15，
二次项系数化1，得：x2﹣2x＝，
配方，得：x2﹣2x+1＝+1，
（x﹣1）2＝，
∴x﹣1＝±，
∴x1＝，x2＝．
四、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分）
17．【分析】本题的关键是对整式化简，然后把给定的值代入求值．
【解答】解：原式＝a2﹣3﹣a2+6a＝6a﹣3，
当a＝时，
原式＝6+3﹣3＝6．
18．【分析】（1）先证明四边形ACED是平行四边形，进而可证明四边形ABCD是平行四边形，再由AC⊥BD，即可证得结论；
（2）根据四边形ACED是平行四边形，可得出AC＝DE，进而可推出OD＝AC，再利用菱形性质和勾股定理即可求得答案．
【解答】解：（1）∵AD∥BC，DE∥AC，
∴四边形ACED是平行四边形，
∴AD＝CE，
∵BC＝CE，
∴AD＝BC，
∵AD∥BC，
∴四边形ABCD是平行四边形，
∵AC⊥BD，
∴▱ABCD是菱形；
（2）由（1）知，四边形ACED是平行四边形，
∴AC＝DE，
∵OD＝DE，
∴OD＝AC，
∵四边形ABCD是菱形，
∴OA＝OC＝1，
∴OD＝AC＝2，
∵∠COD＝90°，
∴CD＝＝＝，
∴菱形ABCD的周长＝4CD＝4．
五、（本大题共2小题，每小题10分，满分20分）
19．【分析】（1）由Δ＝k2﹣4×2（k﹣3）＝k2﹣8k+24＝（k﹣4）2+8＞0可得结论；
（2）将k＝5代入方程得2x2+5x+2＝0，利用配方法解方程即可．
【解答】解：（1）∵Δ＝k2﹣4×2（k﹣3）＝k2﹣8k+24＝（k﹣4）2+8＞0，
∴无论k取何值时，方程总有两个不相等的实数根；
（2）当k＝5时，原方程为：2x2+5x+2＝0，
∴（2x+1）（x+2）＝0，
∴，x2＝﹣2．
20．【分析】（1）根据数字规律求解；
（2）根据数字规律及二次根式的性质计算．
【解答】解：（1）由题意：
第1个等式：，
第2个等式：，
第3个等式：，
第4个等式：，
∴第4个等式为：，
故答案为：；
（2）由（1）可得：
第n个等式为：，
证明：左边＝，
左边＝右边，
∴等式成立．
故答案为：．
六、（本题满分12分）
21．【分析】（1）根据D等级的人数和所占的百分比求出总人数，再用总人数减去其它成绩的人数，求出C等级的人数，从而补全统计图；
（2）用360°乘以等级B所占的百分比即可；
（3）用总人数乘以不低于80分人数所占的百分比即可．
【解答】解：（1）调查的总人数有：25÷12.5%＝200（人），
测试等级为C的学生人数有：200﹣15﹣25﹣80﹣32＝48（人），补全统计图如下：

（2）扇形统计图中等级为B所对应的扇形圆心角的度数是：360°×＝144°；

（3）1200×＝672（人），
答：估计该校测试不低于80分的学生有672人．
七、（本题满分12分）
22．【分析】（1）由130+70＝200，135+65＝200，140+60＝200 可知每件的售价与产品的日销量之和为200，然后求出a；
（2）设每件产品定价为x元（x＞120），则产品的日销量为（200﹣x）元，根据该商品柜组想日盈利达到1600元列出方程求解；
（3）当销售该种商品m件时，定价为：（200﹣m）元，销售该种商品n件时，定价为：（200﹣n）元，然后由利润相等列出关系式，得出m、n的关系．
【解答】解：（1）∵130+70＝200，135+65＝200，140+60＝200，
∴每件的售价与产品的日销量之和为200，
∴a＝200﹣180＝20，
故答案为：20；
.（2）由（1）知：当每件产品每涨价1元时，日销售量减少1件，
设每件产品定价为x元（x＞120），则产品的日销量为（200﹣x）件，
依题意得：（x﹣120）（200﹣x ）＝1600，
整理得：x2﹣320x+25600＝0，
解得：x1＝x2＝160．
答：每件产品定价为160元时，每日盈利可达到1600元；
（3）由（1）知：当每件产品每涨价1元时，日销售量减少1件，
∴当销售该种商品m件时，定价为：（200﹣m）元，
销售该种商品n件时，定价为：（200﹣n）元，
由题意得：（200﹣m﹣120）m＝（200﹣n﹣120）n，
整理得：（m﹣n）（m+n﹣80）＝0，
∵m≠n，
∴m+n﹣80＝0，
即m+n＝80．
八、（本题满分14分）
23．【分析】（1）由∠BMD＝3∠ADM，可得∠A＝2∠ADM，∠ADM＝45°，从而△ADM是等腰直角三角形，AD＝AM，根据四边形ABCD是平行四边形，M是AB中点，即得BC＝AB；
（2）①取CD的中点N，连接MN并延长交CE于F，先证明四边形AMND、四边形BCNM是平行四边形，可得EF＝CF，根据CE⊥AD于点E，可得MF是CE的垂直平分线，从而∠EMF＝∠CMF，设∠AEM＝α，则∠EMF＝∠CMF＝∠MCB＝α，∠EMC＝2α，由∠BME＝3∠AEM，即可得∠BMC＝∠MCB＝α，AB＝2BC；
②设ED＝x，EC＝y，则EA＝y，AD＝y﹣x，CD＝2（y﹣x），Rt△CDE中，ED2+EC2＝CD2，有x2+y2＝4（y﹣x）2，解得x＝y或x＝y，即可得＝．
【解答】解：（1）BC＝AB，理由如下：
∵∠BMD＝3∠ADM，
∴∠A+∠ADM＝3∠ADM，
∴∠A＝2∠ADM，
∵∠A＝90°，
∴∠ADM＝45°，
∴△ADM是等腰直角三角形，
∴AD＝AM，
∵四边形ABCD是平行四边形，M是AB中点，
∴AD＝BC，AM＝AB，
∴BC＝AB；
（2）①取CD的中点N，连接MN并延长交CE于F，如图：

∵四边形ABCD是平行四边形，M是AB中点，N是CD的中点，
∴DN＝CN＝CD＝AB＝AM＝BM，CD∥AB，
∴四边形AMND、四边形BCNM是平行四边形，
∴MN∥AD∥BC，
∴＝，∠AEM＝∠EMF，∠CMF＝∠MCB，
∴EF＝CF，
∵CE⊥AD于点E，
∴MN⊥CE，
∴MF是CE的垂直平分线，
∴ME＝MC，
∴∠EMF＝∠CMF，
设∠AEM＝α，则∠EMF＝∠CMF＝∠MCB＝α，∠EMC＝2α，
∵∠BME＝3∠AEM，
∴∠BME＝3α，
∴∠BMC＝∠BME﹣∠EMC＝α，
∴∠BMC＝∠MCB＝α，
∴BC＝BM＝AB，
∴AB＝2BC；
②如图：

由①知：AB＝2BC，
∴CD＝2AD
设ED＝x，EC＝y，则EA＝y，AD＝y﹣x，CD＝2（y﹣x），
Rt△CDE中，ED2+EC2＝CD2，
∴x2+y2＝4（y﹣x）2，
化简整理得：3x2﹣8xy+3y2＝0，
解得x＝y或x＝y，
∵DE＜AE，
∴x＝y，
∴＝，即＝．
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