2020北京东城初二(下)期末数学(教师版).docx

2020北京东城初二（下）期末
数 学
一、选择题（本题共20分，每小题2分）第1-10题均有四个选项，符合题意的选项只有一个.
1．下列二次根式中，最简二次根式是　　
A． B． C． D．
2．下列各式中，从左向右变形正确的是　　
A． B． C． D．
3．下列四组线段中，可以构成直角三角形的是　　
A．1，1，1 B．2，3，4 C．1，2，3 D．5，12，13
4．下列函数中，是的正比例函数的是　　
A． B． C． D．
5．在矩形中，对角线，交于点，且．若，则的长为　　
A． B．3 C． D．6
6．如图，在平面直角坐标系中，菱形的顶点在轴的正半轴上．若点的坐标是，则点的坐标为　　

A． B． C． D．
7．一次函数中，若，且随着的增大而增大，则其图象可能是　　
A． B．
C． D．
8．如图，等腰中，点是底边上的动点（不与点，重合），过点分别作、的平行线、，交、于点、，则下列数量关系一定正确的是　　

A． B． C． D．
9．在中，，，点在直线上，且，则线段的长为　　
A． B． C．或 D．或
10．如图，动点在边长为2的等边的边上．它从点出发，沿的方向以每秒1个单位长度的速度运动．如果点的运动时间为秒，点与点之间的距离记为，那么与之间的函数关系用图象表示大致是　　

A． B．
C． D．
二、填空题（本题共12分，每小题2分）
11．使二次根式有意义的的取值范围是　　．
12．2020年3月北京市16个区的的浓度（单位：微克立方米）统计情况如表：
的浓度
31
32
33
35
36
38
区的个数
3
1
2
4
5
1
下面有三个结论：
①的浓度众数是5；
②的浓度中位数是35；
③的浓度平均数约为34．其中正确的是　　（填写序号）．
13．如图，菱形中，，，交于点，若是边的中点，，则的长等于　　，的度数为　　．

14．如图，三角形花园的边界，互相垂直，若测得，的长度为，则边界的中点与点的距离是　　．

15．图1中菱形的两条对角线长分别为6和8，将其沿对角线裁分为四个三角形，将这四个三角形无重叠地拼成如图2所示的图形．则图1中菱形的面积等于 　　；图2中间的小四边形的面积等于 　　．

16．在平面直角坐标系中，一次函数与的图象如图所示，若它们的交点的横坐标为2，则下列四个结论中正确的是　　（填写序号）．
①直线与轴所夹锐角等于；
②；
③关于的不等式的解集是．

三、解答题（本题共68分，第17一22题，每小题5分，第23-26题，每小题5分，第27-28题，每小题5分）解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程.
17．（5分）
18．（5分）计算：．
19．（5分）如图是小明设计的“利用已知矩形作一个内角为角的平行四边形”的尺规作图过程．

已知：矩形．
求作：，使．
作法：如图，
①分别以点，为圆心，以大于长为半径，在两侧作弧，分别交于点，；
②作直线；
③以点为圆心，以长为半径作弧，交直线于点，连接；
④以点为圆心，以长为半径作弧，交直线于点，连接．
则四边形即为所求作的平行四边形．
根据小明设计的尺规作图过程，填空：
（1）的大小为　　；
（2）判定四边形是平行四边形的依据是　　；
（3）用等式表示平行四边形的面积和矩形的面积的数量关系为　　．
20．（5分）在平面直角坐标系中，一次函数的图象经过，两点．
（1）求这个一次函数的解析式；
（2）将函数的图象平移可得到函数的图象，写出平移的过程．
21．（5分）如图，中，，平分，交于点，，．
（1）求点到直线的距离；
（2）求线段的长．

22．（5分）2017年国务院印发《新一代人工智能发展规划》，将人工智能上升为国家战略，我国人工智能领域迎来新的发展契机．
根据相关信息，回答问题：
（1）图1反映了我国人工智能专利授权量（单位：件）近些年的变化情况年，中国人工智能专利授权量为
　　件；

（2）图2是2017年前20名中国人工智能国内专利权人的专利授权量的频数分布直方图，数据被分成5组，其中在之间的数据分别是：129，154，155，165，170，170，186，190．则20个专利授权量的中位数是　　；
（3）2017年中国人工智能国内专利权人的专利授权量在基础算法、基础硬件和垂直应用三个分支位于前20的统计折线图如图3．依据折线图推断，基础算法、基础硬件和垂直应用三个分支的专利授权量的方差最小的是　　．
（4）下列推断合理的是　　（填写序号）．
①我国人工智能正快速发展；
②在基础硬件方面需要加大创新投入提升竞争力．
23．（6分），，三地都在一条笔直的公路边，在，之间．甲、乙两人相约到地游玩，甲由地出发骑自行车，平均速度是；乙由地出发骑电动自行车匀速行驶．设甲骑行的时间为（单位：，甲、乙与地的距离分别为，（单位：．，都是的函数，其中与的对应关系如图所示．
回答下列问题：
（1），两地之间的距离为　　；
（2）　　先到达地；
（3）与之间的函数表达式是　　，乙出发后到达地之前，与之间的函数表达式是　　；
（4）到达地之前，当　　时，甲、乙两人与地的距离相等；

24．（6分）如图所示的正方形网格中，每个小正方形的边长为1，网格的中心标记为点．按要求画四边形，使它的四个顶点均落在格点上，且点为其对角线交点：
（1）在图1中画一个两边长分别为6和4的矩形；
（2）在图2中画一个平行四边形，使它有且只有一条对角线与（1）中矩形的对角线相等；
（3）在图3中画一个正方形，使它的对角线与（1）中所画矩形的对角线相等．

25．（6分）在平面直角坐标系中，直线与轴交于点．直线与直线交于点，与轴交于点．
（1）当点的纵坐标为2时，
①写出点的坐标及的值；
②求直线，与轴所围成的图形的面积；
（2）当点的横坐标满足时，求实数的取值范围．

26．（6分）如图1，矩形中，，．点在边上，．点为对角线上的动点，连接，．设，两点间的距离为，，．

小华根据学习函数的经验，对的形状进行了探究．
下面是小华的探究过程，请补充完整：
（1）对于点在上的不同位置，画图、测量，得到了线段，的长度的几组值，如下表：

0
1
2
3
4
5
6
7

5.63
4.86
4.19
3.68
3.39
3.38
3.65
4.16

2.63
1.92
1.57

2.44
3.28
4.19
5.13
（2）在同一平面直角坐标系中，描出补全后的表中各组数值所对应的点，，并在图2中画出函数，的图象；
（3）结合函数图象，解决问题：当为等腰三角形时，的长度约为　　（结果保留两位小数）．
27．（7分）如图，将矩形纸片沿过点的直线翻折，使点恰好与其对角线的中点重合，折痕与边交于点．延长交于点，连接．
（1）按要求补全图形；
（2）求证：四边形是菱形；
（3）若，求的长．

28．（7分）已知正方形边长为10，若一个等边三角形的三个顶点均在正方形的内部或边上，则称这个等边三角形为正方形的内等边三角形．
（1）正方形的边长为10，点在边上．
①当点为边的中点时，求作：正方形的内等边（尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）；
②若是正方形的内等边三角形，连接，，则线段长的最小值是　　，线段长的取值范围是　　；
（2）和都是正方形的内等边三角形，当边的长最大时，画出和，点，，按逆时针方向排序，连接，求的长．

参考答案
一、选择题（本题共20分，每小题2分）第1-10题均有四个选项，符合题意的选项只有一个.
1．【分析】利用最简二次根式定义判断即可．
【解答】解：、原式为最简二次根式，符合题意；
、原式，不符合题意；
、原式，不符合题意；
、原式，不符合题意．
故选：．
【点评】此题考查了最简二次根式，熟练掌握最简二次根式的定义是解本题的关键．
2．【分析】根据二次根式的性质和运算法则逐一判断即可得．
【解答】解：．，此选项错误；
．，此选项计算正确；
．，此选项错误；
．，此选项错误；
故选：．
【点评】本题主要考查二次根式的混合运算，解题的关键是掌握二次根式的性质和运算法则．
3．【分析】由勾股定理的逆定理，只要验证两小边的平方和等于最长边的平方即可．
【解答】解：、，不能构成直角三角形，故不符合题意；
、，不能构成直角三角形，故不符合题意；
、，不能构成直角三角形，故不符合题意；
、，能构成直角三角形，故符合题意．
故选：．
【点评】本题考查勾股定理的逆定理：如果三角形的三边长，，满足，那么这个三角形就是直角三角形．
4．【分析】一般地，两个变量，之间的关系式可以表示成形如为常数，且的函数，那么就叫做的正比例函数．
【解答】解：．属于一次函数，不合题意；
．属于正比例函数，符合题意；
．属于二次函数，不合题意；
．属于反比例函数，不合题意；
故选：．
【点评】主要考查正比例函数的定义：一般地，两个变量，之间的关系式可以表示成形如为常数，且的函数，那么就叫做的正比例函数．
5．【分析】根据矩形的性质和等边三角形的判定和性质，可以得到的长，再根据勾股定理，即可得到的长，本题得以解决．
【解答】解：，，
，
四边形是矩形，
，，
是等边三角形，
，
，
，
，
故选：．

【点评】本题考查矩形的性质、等边三角形的判定与性质，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．
6．【分析】根据点的坐标是，可得的长，再根据菱形的四条边都相等即可得点的坐标．
【解答】解：点的坐标是，
，
四边形为菱形，
，
则点的坐标为．
故选：．
【点评】本题考查了菱形的性质、坐标与图形的性质，解决本题的关键是掌握菱形的性质．
7．【分析】先根据一次函数中，随的增大而增大且，判断出与的符号，再根据一次函数的图象与系数的关系进行解答．
【解答】解：一次函数中随的增大而增大，
，
，
，
此函数的图象过一、二、三象限．
故选：．
【点评】本题考查的是一次函数的图象与性质、一次函数图象与系数的关系，用到的知识点：一次函数中），当，时，的图象过一、二、三象限．
8．【分析】证明，得，证明四边形为平行四边形得，进而便可得．
【解答】解：，
，
，
，
，
，，
四边形是平行四边形，
，
，
故选：．

【点评】本题主要考查了等腰三角形的性质与判定，平行四边形的性质与判定，关键证明，．
9．【分析】由勾股定理求出，分两种情况，即可得出答案．
【解答】解：如图所示：
，，点在直线上，且，
；
当点在延长线上时，；
当点在延长线上时，；
故选：．

【点评】本题考查了等腰直角三角形的性质、勾股定理等知识；熟练掌握等腰直角三角形的性质，由勾股定理求出是解题的关键．
10．【分析】分段求出函数表达式即可求解．
【解答】解：（1）当点在上运动时，
，
（2）当点在上运动时，
，
（3）当点在上运动时，

过点作于点，
是等边三角形，
，
则，
当点在点右侧时，
；
该函数为一条曲线，
当点在左侧时，同理函数为一条曲线；
故选：．
【点评】本题考查了动点问题的函数图象，解答本题的关键是分段讨论与的函数关系式．
二、填空题（本题共12分，每小题2分）
11．【分析】根据二次根式有意义的条件可得，再解即可．
【解答】解：由题意得：，
解得：，
故答案为：．
【点评】此题主要考查了二次根式有意义的条件，关键是掌握二次根式中的被开方数是非负数．
12．【分析】中位数是将一组数据从小到大（或从大到小）重新排列后，最中间的那个数（最中间两个数的平均数），众数是一组数据中出现次数最多的数据，据此判断即可．
【解答】解：①的浓度众数是35，错误；
②的浓度中位数是35，正确；
③的浓度平均数约为，
故答案为：②③．
【点评】此题主要考查了众数、中位数的含义和求法，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：将一组数据从小到大（或从大到小）重新排列后，最中间的那个数（最中间两个数的平均数），叫做这组数据的中位数，众数是一组数据中出现次数最多的数据．
13．【分析】根据菱形的性质得出，，，由三角形中位线定理得出，，根据平行线的判定与性质以及角平分线定义即可求出的度数．
【解答】解：四边形是菱形，
，，，
是边的中点，，
是的中位线，
，，
，
，
．
故答案为：5，．
【点评】本题考查了菱形的性质，三角形中位线定理，平行线的判定与性质，角平分线定义，证明出是的中位线是本题的关键．
14．【分析】由勾股定理可得，根据直角三角形斜边中线等于斜边的一半，于是得到结论．
【解答】解：连接，
在中，，，

，
是中点，
，
即边界的中点与点的距离是；
故答案为：40．
【点评】本题考查了勾股定理和直角三角形斜边中线的性质，熟练掌握直角三角形斜边中线等于斜边的一半是解题的关键．
15．【分析】根据菱形的面积等于对角线长乘积的一半，求出图1菱形的面积，再根据菱形的对角线长可得菱形边长为5，进而可得图2中间的小四边形的面积是边长为5的正方形的面积减去菱形的面积．
【解答】解：图1中菱形的两条对角线长分别为6和8，
菱形的面积等于，
菱形的边长等于，
图2中间的小四边形的面积等于．
故答案为：24，1．
【点评】本题考查了图形的剪拼、菱形的性质，解决本题的关键是掌握菱形的性质．
16．【分析】结合一次函数的性质、一次函数与不等式的关系，根据图象观察，得出结论．
【解答】解：由知：直线与坐标轴的截距相等，所以，直线与轴所夹锐角等于，故①的结论正确；
由图知：当时，函数图象对应的点在轴的上方，因此故②的结论不正确；
由图知：当时，函数图象对应的点都在的图象下方，因此关于的不等式的解集是，故③的结论不正确；
故答案为①②．
【点评】本题考查了一次函数与不等式（组的关系及数形结合思想的应用．解决此类问题关键是仔细观察图形，注意几个关键点（交点、原点等），做到数形结合．
三、解答题（本题共68分，第17一22题，每小题5分，第23-26题，每小题5分，第27-28题，每小题5分）解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程.
17．【分析】根据平方差公式进行计算．
【解答】解：原式

．
【点评】本题考查了二次根式的混合运算：先把各二次根式化为最简二次根式，在进行二次根式的乘除运算，然后合并同类二次根式．
18．【分析】先把二次根式化为最简二次根式，然后合并后进行二次根式的乘除法运算．
【解答】解：原式

．
【点评】本题考查了二次根式的混合运算：先把二次根式化为最简二次根式，然后合并同类二次根式即可．在二次根式的混合运算中，如能结合题目特点，灵活运用二次根式的性质，选择恰当的解题途径，往往能事半功倍．
19．【分析】（1）连接，由作图知，是线段的垂直平分线，得到，推出是等边三角形，于是得到结论；
（2）根据矩形的性质得到，推出，得到四边形是平行四边形；
（3）设与交于，根据矩形和平行四边形的面积公式即可得到结论．
【解答】解：（1）连接，
由作图知，是线段的垂直平分线，
，
，
，
是等边三角形，
；
故答案为：；
（2）四边形是矩形，
，
，
，
，
四边形是平行四边形，
故答案为：一组对边平行且相等的四边形是平行四边形；
（3）设与交于，
，，
，
故答案为：．

【点评】本题考查了平行四边形的判定和性质，矩形的性质，线段垂直平分线的性质，正确的识别图形是解题的关键．
20．【分析】（1）根据待定系数法即可求得；
（2）根据平移的规律即可求得．
【解答】解：（1）一次函数的图象经过，两点．
，解得，
一次函数为；
（2）将函数的图向下平移3个单位可得到函数的图象．
【点评】本题考查了待定系数法求一次函数的解析式，一次函数图象与几何变换．解决本题的关键是熟练掌握待定系数法．
21．【分析】（1）作，根据角平分线的性质得到，得到答案；
（2）证明，根据全等三角形的性质得到，根据勾股定理求出，再根据勾股定理列出方程，解方程得到答案．
【解答】解：（1）过点作于，
平分，，，
，
点到直线的距离为1.5；
（2）在和中，
，

，
在中，，
在中，，即，
解得，．

【点评】本题考查的是全等三角形的判定和性质、角平分线的性质、勾股定理，掌握全等三角形的判定定理和性质定理是解题的关键．
22．【分析】（1）根据折线统计图可得答案；
（2）根据中位数的计算方法，求出中位数即可；
（3）根据图3中数据的离散程度，判断方差的大小．
（4）根据题意进行判断．
【解答】解：（1）由折线统计图可知，2017年中国人工智能专利授权量为为17477件，
故答案为：17477；
（2）将20名中国人工智能国内专利权人的排列后，处在中间位置的两个数的平均数为；
因此中位数是141.5，
故答案为：141.5；
（3）根据图3，可以直观得出“垂直应用”的离散程度较小，因此“垂直应用”的方差最小，
故答案为：垂直应用；
（4）由统计图可知，
我国人工智能正快速发展因此①正确，而“垂直应用”数量较小，应加强，因此②不正确，
故答案为：①．
【点评】本题考查折线统计图、频数分布直方图的意义和制作方法，理解中位数、众数、方差的意义和计算方法是正确解答的关键．
23．【分析】（1）根据函数图象中的数据，可以得到，两地之间的距离；
（2）根据函数图象中的数据，可以得到乙的速度，再根据题意，即可得到乙先到达地；
（3）根据题意和函数图象中的数据，可以得到与之间的函数表达式和乙出发后到达地之前，与之间的函数表达式；
（4）由题意可得存在两种情况，第一种甲走的路程为5千米，第二种是甲的路程等于乙的路程，然后计算即可．
【解答】解：（1）由图象可得，
，两地之间的距离为，
故答案为：5；
（2）由图象可得，
乙的速度为：，
甲的速度为，，
乙先到达地，
故答案为：乙；
（3）由已知可得，
与之间的函数表达式是，
设与之间的函数表达式是，
，
解得，，
即与之间的函数表达式是，
故答案为：，；
（4）令，
解得，
令，
解得，
即到达地之前，当或时，甲、乙两人与地的距离相等，
故答案为：或．
【点评】本题考查一次函数的应用，解答本题的关键是明确题意，利用一次函数的性质和数形结合的思想解答．
24．【分析】（1）根据矩形的性质即可得到结论；
（2）根据平行四边形的性质即可得到结论；
（3）根据正方形的性质即可得到结论．
【解答】解：（1）如图1，矩形即为所求；
（2）如图2，平行四边形即为所求；
（3）如图3，正方形即为所求．

【点评】本题考查了作图应用与设计作图，矩形的性质，平行四边形的性质，正方形的性质，正确的作出图形是解题的关键．
25．【分析】（1）①将代入直线，求出，得到点的坐标；把点坐标代入直线，即可求出的值；
②根据直线的解析式，求出，根据直线的解析式，求出．利用三角形面积公式即可求出；
（2）将两条直线的解析式联立得到方程组，解方程组求出点的坐标，根据点的横坐标满足，分别计算与时的值，即可得到实数的取值范围．
【解答】解：（1）①直线过点，点的纵坐标为2，
，解得，
点的坐标为．
直线过点，
，解得；

②，
直线的解析式为：，
．
直线的解析式为：，
．
，
直线，与轴所围成的图形的面积；

（2）解方程组，得，
点的坐标为，．
点的横坐标满足，
当时，，解得，
当时，，解得，
实数的取值范围是．

【点评】本题考查了两条直线的交点问题：两条直线的交点坐标，就是由这两条直线相对应的一次函数表达式所组成的二元一次方程组的解．也考查了一次函数图象上点的坐标特征，三角形的面积．
26．【分析】（1）用光滑的曲线连接的函数图象，测得时，（答案不唯一）；
（2）描点画出函数，的图象即可；
（3）分、、三种情况，分别求解即可．
【解答】解：（1）用光滑的曲线连接的函数图象，
测得时，（答案不唯一），

0
1
2
3
4
5
6
7

5.63
4.86
4.19
3.68
3.39
3.38
3.65
4.16

2.63
1.92
1.57
1.85
2.44
3.28
4.19
5.13
（2）画出函数，的图象如下图：

（3），，，
当时，即，从图象看，无解；
当时，即，从图象看，（答案不唯一）；
当时，即，从图象看，（答案不唯一）；
故的长度约为4.65或（答案不唯一），
故答案为4.65或5.35（答案不唯一）．
【点评】本题考查的是动点问题的函数图象，准确描绘出函数图象是解题的关键．
27．【分析】（1）依照题意补全图形；
（2）由“”可证，可得，可证四边形是平行四边形，由折叠的性质可得，，可得结论；
（3）由勾股定理可求，利用勾股定理列出方程可求的长．
【解答】解：（1）依照题意补全图形，如图所示：

（2）四边形是矩形，
，，
，
点是中点，
，
又，
，
，
四边形是平行四边形，
将矩形纸片沿过点的直线翻折，
，，
四边形是菱形；
（2），
，，
，
四边形是菱形，
，
，
，
．
【点评】本题考查了翻折变换，矩形的性质，菱形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，利用勾股定理列出方程是本题的关键．
28．【分析】（1）①以点，点为圆心，长为半径画弧，两弧交于点，连接，，即是等边三角形；
②由题意可得点在与成的直线上移动，则当时，有最小值，当时，有最小值，当点与点重合时，有最大值，最大值为10，即可求解；
（2）如图3，过点作于，作，交于，解直角三角形求出，，再求出，即可解决问题．
【解答】解：（1）①如图所示，是等边三角形；

②如图2，

是等边三角形，
，
点在与成的直线上移动，
当时，有最小值，
此时，，
，
的最小值为5，
当时，有最小值，
此时，，
，，
当点与点重合时，有最大值，最大值为10，
线段长的取值范围为，
故答案为：5，；
（2）如图3，过点作于，作，交于，

边的长最大，
点在上，点在上，
四边形是正方形，
，，
是等边三角形，
，，
，
，，
设，
，
，，
，，
，
，
，
，
，，
，
又，
，
，，
，
，
，
．
【点评】本题属于四边形综合题，考查了正方形的性质，等边三角形的判定和性质，解直角三角形，全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是理解题意，学会利用参数构建方程解决问题，属于中考压轴题．
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