上海市曹杨第二中学2021-2022学年高三上学期期中考试数学试卷.docx

上海市曹杨二中2021学年度第一学期
高三年级期中考试数学试卷
命题人： 审核人：
试卷共4页1张
考生注意：
1、答卷前，考生务必将姓名、班级、学号等在指定位置填写清楚。
2、本试卷共有21道试题，满分150分，考试时间120分钟。请考生用水笔或圆珠笔将答案直接写在试卷（或答题卷）上。

一、填空题（本大题共有12题，满分54分，第1~6题每题4分，第7~12题每题5分）
1．已知，设集合，．若，则____________．
2．计算：____________．
3．若复数满足（为虚数单位），则____________．
4．函数的反函数为____________．
5．若圆锥的侧面展开图是一个半径为的半圆，则该圆锥的体积为____________．
6．若双曲线的渐近线与圆相切，则____________．
7．在的展开式中，二项式系数之和为，则展开式中项的系数为____________．
8．已知、均为单位向量，且，则____________．
9．某电子设备有两套相互独立的供电系统A和B，在时间内系统A和系统B发生故障的概率分别为和．若在时间内至少有一个系统不发生故障的概率为，则____________．
10．已知数列的前项和为，若，且，则数列的通项公式为____________．
11．已知函数．若实数、满足，则的最大值为____________．
12．设．若函数在区间上恰有两个零点，则的取值范围是____________．

二、选择题（本大题共有4题，满分20分，每题5分）
13．抛物线的准线方程是（ ）．
A． B． C． D．
14．已知、为实数，则“”是“”的（ ）．
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
15．如图，已知正方体的棱长为，、分别是棱、的中点，点为底面内（含边界）的一个动点．若直线与平面无公共点，则点的轨迹的长度是（ ）．
A． B．
C． D．
16．已知、、、均为锐角，在、、、四个值中，大于的个数的最大值为，小于的个数的最大值为，则（ ）．
A． B． C． D．

三、解答题（本大题共有5题，满分76分）
17．（本题满分14分，第1小题6分，第2小题8分）
如图，在四棱锥中，平面，底面是边长为正方形．
（1）求证：平面；
（2）若，求直线与平面所成角的大小．

18．（本题满分14分，第1小题6分，第2小题8分）
已知椭圆经过点，且短轴的两个端点与右焦点构成等边三角形．
（1）求椭圆的方程；
（2）设过点的直线交椭圆于、两点，求的取值范围．

19．（本题满分14分，第1小题6分，第2小题8分）
从社会效益和经济效益出发，某地投入资金进行生态环境建设，并以此发展旅游产业．根据规划，2021年投入资金万元，以后每年投入比上年减少．预测显示，2021年当地旅游业收入为万元，以后每年旅游业收入比上年增加万元．根据预测，解答以下问题：
（1）从2021年至2030年，该地十年的旅游业收入共计多少万元？
（2）从哪一年起该地的旅游业总收入将首次超过总投入？

20．（本题满分16分，第1小题4分，第2小题6分，第3小题6分）
已知函数．
（1）求函数在区间上的最大值和最小值；
（2）设方程在上的两个解为和（），求的值；
（3）在△中，角、、的对边分别为、、．若，，且，求△的面积．

21．（本题满分18分，第1小题4分，第2小题6分，第3小题8分）
已知函数．若对于给定的非零常数，存在非零常数，使得对于恒成立，则称函数是上的“级类周期函数”，周期为．
（1）已知函数是上周期为的“级类周期函数”，且当时，，求的值；
（2）已知函数是上周期为的“级类周期函数”，且当时，．若函数是上的单调递增函数，求实数的取值范围；
（3）是否存在非零实数，使得函数是上周期为的“级类周期函数”？若存在，求出实数和的值；若不存在，请说明理由．

参考答案：
1． 2． 3． 4． 5． 6．
7． 8． 9． 10． 11． 12．

13．C 14．D 15．B 16．B

17．（1）由于是正方形，故．…………………………………………2分
由于平面，且平面，故．…………………………4分
由于，且平面，平面，
故平面．…………………………………………………………………………6分
（2）（综合几何法：设，转化为得4分，指出得2分，结果对再得2分，共8分；向量法：建立正确空间坐标系，算出平面的法向量得4分，算出夹角的正弦值得3分，结果对再得1分，共8分）

18．（1）由题意知，………………………………………………………………2分
将上式及的坐标代入椭圆方程，得，
由于，解得，进而，……………………………………………………4分
因此椭圆的方程为；………………………………………………………6分
（2）当直线不垂直于轴时，设，
与椭圆方程联立得．……………………………………8分
设，，则，，
且，，
故．………10分
注意，
由于，故．…………………………………………12分
当直线垂直于轴时，，此时．
综上可知，的取值范围是．……………………………………………14分

19．（1）以2021年为第1年，设第年旅游业收入万元，
则，，故．……………………………………2分
，…………………………………………5分
因此从2021年至2030年，该地十年的旅游业收入共计万元．…………………6分
（2）以2021年为第1年，设第年投入资金万元，
则，，故．…………………………………………7分
设数列、的前项和分别为、，
则，，
题目即求最小的正整数，使得．………………………………………………9分
设，则，
令，
则关于递增，且，，
故，，……………………………………………………12分
又，，，
因此该地在2039年的旅游业总收入将首次超过总投入．………………………………14分
（注：若枚举需完整列出前19年的数据，否则扣5分）

20．（1）由题意知，…………………………………………………2分
故当且仅当时，取最大值；当且仅当时，取最小值．……4分
（注：缺少值扣1分）
（2）令，化简得，
解得或．
由于，故，．……………………………7分
于是．
令，则，
因此．………………………………………………………………………10分
（3）由题意知，
由于，解得．……………………………………………………………11分
在△中，由正弦定理知，
故，，
代入题目条件得………………………………………………………………13分
在△中，由余弦定理知，
将上式代入得，
解得，…………………………………………………………………………………15分
因此△的面积．…………………………………………………16分

21．（1）由题意知对恒成立，…………………………………2分
故．……………………………………4分
（2）由题意知对恒成立．
对于任意自然数，当时，
．…………………………6分
由于在上单调递增，故在上单调递增，
因此对于任意自然数均有，解得．………………………………………7分
进一步，对于任意自然数均有，
化简得，注意，解得，
综上知实数的取值范围是．……………………………………………………10分
（3）若存在，则对恒成立．
注意，故函数的值域为，函数的值域为，
因此，．………………………………………………………………………13分
当时，有对恒成立，故；…………15分
当时，有对恒成立，故．………17分
综上可知或…………………………………18分
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