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题型一 利用正、余弦定理解三角形
例1 (12分)(2021·北京卷)已知在△ABC中，c＝2bcos B，C＝.
(1)求B的大小；
(2)在三个条件中选择一个作为已知，使△ABC存在且唯一确定，并求BC边上的中线的长度.
①c＝b；②周长为4＋2；③面积为S△ABC＝.
[规范答题]
解 (1)由正弦定理＝，得sin C＝，
又c＝2bcos B，所以sin C＝2sin Bcos B＝sin 2B，
又A，B，C为△ABC的内角，C＝，
故C＝2B(舍)或C＋2B＝π，即B＝，
又A＋B＋C＝π，所以A＝.……………………5分
(2)由(1)知，c＝b，故不能选①. ……………………7分
选②，设BC＝AC＝2x，则AB＝2x，
故周长为(4＋2)x＝4＋2，解得x＝1.
从而BC＝AC＝2，AB＝2.……………………9分
设BC中点为D，则在△ABD中，由余弦定理，得
cos B＝＝＝，
解得AD＝.故BC边上的中线长为.……………………12分
选③，设BC＝AC＝2x，则AB＝2x，故
S△ABC＝·2x·2x·sin 120°＝x2＝，
解得x＝，从而BC＝AC＝，AB＝3. ……………………9分
设BC中点为D，则在△ABD中，由余弦定理，得
cos B＝
＝＝，
解得AD＝.故BC边上的中线长为.……………………12分
第一步 利用正弦定理、余弦定理对条件式进行边角互化
第二步 由三角方程或条件式求角
第三步 利用条件式或正、余弦定理构建方程求边长
第四步 检验易错易混、规范解题步骤得出结论
训练1 (2021·株洲一模)在①sin B＝cos B＋1，②2bsin A＝atan B，③(a－c)sin A＋csin C＝bsin B这三个条件中任选一个，补充在下面横线上，并加以解答.
已知△ABC的内角A，B，C所对的边分别是a，b，c，a＝，b＝，若________，求角B的值与△ABC的面积.(注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分)
解 若选①：由sin B＝cos B＋1，
可得sin＝，
因为B∈(0，π)，所以B－＝，所以B＝，
由正弦定理得sin A＝，
又因为a＜b，所以A＝.
所以sin C＝sin ＝sin
＝sin cos ＋cos sin ＝，
所以S△ABC＝absin C＝.
若选②：由2bsin A＝atan B
得2bsin Acos B＝asin B，
结合正弦定理得cos B＝，因为B∈(0，π)，
所以B＝，以下解法与选①相同.
若选③：由正弦定理，(a－c)sin A＋csin C＝bsin B可化简为a2－ac＋c2＝b2，
而cos B＝＝，因为B∈(0，π)，
所以B＝，以下解法与选①相同.
题型二 三角形中角或边的最值、范围问题
例2 (2022·广州一模)在①cos C＋(cos A－sin A)cos B＝0，②cos 2B－3 cos(A＋C)＝1，③bcos C＋csin B＝a这三个条件中任选一个，补充在下面问题中.
问题：在△ABC中，角A，B，C对的边分别为a，b，c，若a＋c＝1，________，求角B的大小和b的最小值.
解 选择条件①：
由cos C＋(cos A－sin A)cos B＝0，
可得－cos(A＋B)＋cos Acos B－sin Acos B＝0，
即－cos Acos B＋sin Asin B＋cos Acos B－sin Acos B＝0，
即sin Asin B－sin Acos B＝0，
因为sin A≠0，所以sin B－cos B＝0，所以tan B＝，
因为B∈(0，π)，所以B＝.
由余弦定理得b2＝a2＋c2－2accos B＝a2＋c2－ac＝(a＋c)2－3ac＝1－3ac，
因为ac≤＝，当且仅当a＝c＝时等号成立，所以b2＝1－3ac≥1－＝，
所以b≥，即b的最小值为.
选择条件②：cos 2B－3cos(A＋C)＝1，
可得2cos2B－1＋3cos B＝1，即2cos2B＋3cos B－2＝0，
解得cos B＝或cos B＝－2(舍)，
因为B∈(0，π)，所以B＝.
下同①.
选择条件③：bcos C＋csin B＝a，
由正弦定理可得sin Bcos C＋sin Csin B＝sin A＝sin(B＋C)
＝sin Bcos C＋cos Bsin C，
即sin Csin B＝cos Bsin C，
因为sin C≠0，
所以sin B＝cos B，即tan B＝，
因为B∈(0，π)，所以B＝.
下同①.
感悟提升 涉及求边的最值或取值范围，一般思路是
(1)利用正弦定理把边转化为角，利用三角函数的性质求出范围或最值.
(2)利用正、余弦定理把角转化为边，利用基本不等式求出范围或最值.
训练2 在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，a＋b＝1且满足条件________.
(1)求C；
(2)求c的取值范围.
请从下列两个条件：①S＝(a2＋b2－c2)；②tan Atan B－tan A－tan B＝中选一个条件补充到横线上并解决问题.
解 (1)补充①S＝(a2＋b2－c2).
由余弦定理可知2abcos C＝a2＋b2－c2，
则S＝·2abcos C＝·abcos C，
又S＝·absin C，故可得tan C＝，
所以C＝.
补充②tan Atan B－tan A－tan B＝.
由tan Atan B－tan A－tan B＝，
可得tan(A＋B)＝－，故tan C＝，
所以C＝.
(2)由余弦定理可知c2＝a2＋b2－2abcos C，
又cos C＝，a＋b＝1，∴c2＝a2＋b2－2abcos C＝a2＋b2－ab＝(a＋b)2－3ab＝1－3ab.
又a＋b≥2，a＞0，b＞0，
∴0＜≤，
∴≤1－3ab＜1，∴≤c2＜1，
∴≤c＜1，∴c的取值范围为.
题型三 三角形面积(周长)的最值或范围问题
例3 (2021·昆明质检)△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知2(c－acos B)＝b.
(1)求角A；
(2)若a＝2，求△ABC的面积的取值范围.
解 (1)由2(c－acos B)＝b及正弦定理得2(sin C－sin Acos B)＝sin B，所以2sin(A＋B)－2sin Acos B＝sin B，即2cos Asin B＝sin B，
因为sin B≠0，所以cos A＝，
又0＜A＜π，所以A＝.
(2)因为a＝2，所以由正弦定理得
b＝4sin B，c＝4sin C，
所以S△ABC＝bcsin A＝bc＝4sin Bsin C，
因为C＝π－(A＋B)＝－B，所以sin C＝sin.
所以S△ABC＝4sin Bsin
＝4sin B
＝2sin Bcos B＋2sin2B
＝sin 2B－cos 2B＋
＝2sin＋.
因为0＜B＜，所以－＜2B－＜.
所以－＜sin≤1，
所以0＜S△ABC≤2＋，
即△ABC的面积的取值范围是(0，2＋].
感悟提升 三角形的面积(周长)的取值范围或最值的解法
(1)三角函数法：通过正、余弦定理将边转化为角，再根据三角恒等变换及三角形内角和定理转化为“一角一函数”的形式，最后结合角的范围利用三角函数的单调性和值域求解.
(2)基本不等式法：利用正、余弦定理，面积(周长)公式建立a＋b，ab，a2＋b2之间的等量关系，然后利用基本不等式求解.
训练3 已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.2a＋b＝2ccos B，c＝.
(1)求角C；
(2)延长线段AC到点D，使CD＝CB，求△ABD周长的取值范围.
解 (1)∵2a＋b＝2ccos B，
∴根据余弦定理得
2a＋b＝2c×，
整理得a2＋b2－c2＝－ab，
∴cos C＝＝－.
∵C∈(0，π)，∴C＝.
(2)由题意得△BCD为等边三角形，
∴△ABD的周长为2a＋b＋.
∵＝＝＝＝2，
∴a＝2sin A，b＝2sin B，
∴2a＋b＝4sin A＋2sin B
＝4sin A＋2sin＝2sin.
∵A∈，∴A＋∈，
∴sin∈，
∴2a＋b∈(，2).
∴△ABD周长的取值范围是(2，3).
1.(2020·新高考山东卷)在①ac＝，②csin A＝3，③c＝b这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，若问题中的三角形存在，求c的值；若问题中的三角形不存在，说明理由.
问题：是否存在△ABC，它的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且sin A＝sin B，C＝，__________？
注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.
解 由C＝和余弦定理得＝.
选条件①.
由sin A＝sin B及正弦定理得a＝b.
于是＝，
由此可得b＝c.
由①ac＝，解得a＝，b＝c＝1.
因此，选条件①时问题中的三角形存在，此时c＝1.
选条件②.
由sin A＝sin B及正弦定理得a＝b.
于是＝，
由此可得b＝c，B＝C＝，A＝.
由②csin A＝3，所以c＝b＝2，a＝6.
因此，选条件②时问题中的三角形存在，此时c＝2.
选条件③.
由sin A＝sin B及正弦定理得a＝b.
于是＝，由此可得b＝c.
由③c＝b，与b＝c矛盾.
因此，选条件③时问题中的三角形不存在.
2.(2020·全国Ⅱ卷)△ABC中，sin2A－sin2B－sin2C＝sin Bsin C.
(1)求A；
(2)若BC＝3，求△ABC周长的最大值.
解 (1)由正弦定理和已知条件得
BC2－AC2－AB2＝AC·AB.①
由余弦定理得BC2＝AC2＋AB2－2AC·ABcos A.②
由①②得cos A＝－.
因为0<A<π，所以A＝.
(2)由正弦定理及(1)得＝＝＝2，
从而AC＝2sin B，
AB＝2sin(π－A－B)＝3cos B－sin B.
故BC＋AC＋AB＝3＋sin B＋3cos B
＝3＋2sin.
又0<B<，所以当B＝时，△ABC周长取得最大值3＋2.
3.(2022·泰安一模)已知函数f(x)＝sin xcos＋cos2x.
(1)求f(x)在上的最值；
(2)在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，f＝1，a＝2，△ABC的面积为，求sin B＋sin C的值.
解 (1)f(x)＝sin x＋cos2x＝sin xcos x－sin2x＋cos2x＝sin 2x－＋＝sin 2x＋cos 2x＋＝sin＋.
∵x∈，∴≤2x＋≤，
∴≤sin≤1，
∴当x∈时，f(x)min＝，
f(x)max＝.
(2)f＝sin＋＝1，
则sin＝，
∵A∈(0，π)，∴A＋∈，∴A＝.
∵S△ABC＝bcsin A＝bc＝，∴bc＝4.
又a＝2，∴cos A＝
＝＝＝，
∴(b＋c)2＝24，∴b＋c＝2，
又＝＝＝4，∴sin B＋sin C＝(b＋c)＝.
4.(2022·武汉质检)在△ABC中，它的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且B＝，b＝.
(1)若cos Acos C＝，求△ABC的面积；
(2)试问＋＝1能否成立？若能成立，求此时△ABC的周长；若不成立，请说明理由.
解 (1)由B＝，得A＋C＝，
则cos(A＋C)＝cos Acos C－sin Asin C，
即＝cos Acos C－sin Asin C.
又∵cos Acos C＝，∴sin Asin C＝，
∵＝＝＝2，
∴a＝2sin A，c＝2sin C，
∴S△ABC＝acsin B＝·2sin A·
2sin Csin B＝4sin Asin Bsin C
＝4××＝.
(2)假设＋＝1成立，∴a＋c＝ac.
由余弦定理得6＝a2＋c2－2accos ＝a2＋c2＋ac＝(a＋c)2－ac，
代入可得(ac)2－ac－6＝0，∴ac＝3或ac＝－2(舍)，
此时a＋c＝ac＝3，不满足a＋c≥2，
∴＋＝1不成立.
5.(2020·济宁模拟)现给出两个条件：①2c－b＝2acos B，②(2b－c)cos A＝acos C.从中选出一个条件补充在下面的问题中，并以此为依据求解问题：
在△ABC中，a，b，c分别为内角A，B，C所对的边，________.
(1)求A；
(2)若a＝－1，求△ABC面积的最大值.
解 选择条件①：2c－b＝2acos B，
(1)∵由余弦定理可得
2c－b＝2acos B＝2a·，
∴整理可得c2＋b2－a2＝bc，
可得cos A＝＝＝，
∵A∈(0，π)，∴A＝.
(2)∵a＝－1，A＝，
∴由余弦定理a2＝b2＋c2－2bccos A，
可得(－1)2＝b2＋c2－2bc·，
∴4－2＝b2＋c2－bc≥2bc－bc，可得bc≤2，
∴S△ABC＝bcsin A≤×2×＝，
即△ABC面积的最大值为.
选择条件②：(2b－c)cos A＝acos C.
(1)∵由题意可得
2bcos A＝acos C＋ccos A，
∴2sin Bcos A＝(sin Acos C＋sin Ccos A)＝sin(A＋C)＝sin B，
∵sin B≠0，∴cos A＝，
∵A∈(0，π)，∴A＝.
(2)下同选择条件①.
6.在①＝；②2bsin A＝atan B；③(a－c)sin A＋csin(A＋B)＝bsin B这三个条件中任选一个，补充在下面的横线上，并加以解答.
已知△ABC的内角A，B，C所对的边分别是a，b，c，若________.
(1)求角B；
(2)若a＋c＝4，求△ABC周长的最小值，并求出此时△ABC的面积.
解 (1)选①，由正弦定理得
＝，
∵sin A≠0，∴sin B－cos B＝1，
即sin＝，
∵0＜B＜π，∴－＜B－＜，
∴B－＝，∴B＝.
选②，∵2bsin A＝atan B＝，
∴由正弦定理可得
2sin Bsin A＝sin A·，
∵sin A≠0，且sin B≠0，∴cos B＝，
∵B∈(0，π)，∴B＝.
选③，∵sin(A＋B)＝sin(π－C)＝sin C，
由已知结合正弦定理可得，
(a－c)a＋c2＝b2，
∴a2＋c2－b2＝ac，
∴cos B＝＝＝，
∵B∈(0，π)，∴B＝.
(2)∵b2＝a2＋c2－2accos B
＝(a＋c)2－3ac＝16－3ac，
即3ac＝16－b2，∴16－b2≤3，
解得b≥2，当且仅当a＝c＝2时取等号，
∴bmin＝2，△ABC周长的最小值为6，
此时△ABC的面积S＝acsin B＝.
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